垂直平分线与角平分线典型题

1、线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质(1 )垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等定理的数学表示：如图1,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且AM BD,若点C在直线m上，贝V AC= BC.定理的作用：证明两条线段相等(2)线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔记：2、线段垂直平分线性质定理的逆定理(1)线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上定理的数学表示：如图2,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且AD= BD若AC= BC则点C在直线m上.课堂笔记:3、关于三角形三边垂直平分线的定理(

2、1)关于三角形三边垂直平分线的定理:三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等定理的数学表示：如图3,若直线i,j,k分别是ABC三边AB BC CA的垂直平分线，则直线i, j,k相交于一点0,且OA= OB= OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上B(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点 在三角形外部反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形

3、内部，则该三角形是锐角三角形；三角 形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交 点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形经典例题：例 1 如图 1,在厶 ABC 中，BO 8cm AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交边 AC 于点 BCE 的周长等于18cm 则 AC 的长等于（ ）A. 6cmB. 8cmC. 10cm D . 12cm课堂笔记：针对性练习：已知：1）如图，AB=AC=14cm,A 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC /；于点长是 24cm 那么 BC=_2） 如图，AB=AC=14cm,A 的垂直平分线交 AB 于点 D,

4、交 AC 于点 E,如果 BC=8cm 那么 EBC的周长是_3）如图，AB=AC,AB 勺垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,如果/ A=28 度，那么/ EBC 是_课堂笔记:针对性练习：已知：在厶 ABC 中, ON 是 AB 的垂直平分线，OA=OC求证：点 O 在 BC 的垂直平分线例 3.在厶 ABC 中, AB=AC AB 的垂直平分线与边 AC 所在的直线相交所成锐角为 ABC 的底角/ B的大小为_。课堂笔记:针对性练习:1._在厶 ABC 中, AB=AC AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 40,则底角 B 的大小为 。例 4、如图8,已知

5、ADgABC的BC边上的高，且/C=2ZB,求证：BD= AO CD.AB图8D证明：在BD上取一点E,使DE=DC,连接AE,贝V AE=AC,课堂笔记:课堂练习：1. 如图，ACAD BC=BQ 贝 U（）A. CD 垂直平分 AD B. AB 垂直平分 CDC.CD 平分/ ACBD.以上结论均不对2. 如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形3. 下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P 在线段 AB

6、 外且 PA=PB,过 P 作直线 MN则 MN 是线段 AB 的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1 个B.2 个 C.3 个 D.4 个4. ABC 中, AB 的垂直平分线交 AC 于 D,如果 AC=5 cm BC=4cm 那么 DBC 勺周长是（ ）A.6 cm5. 已知如图，求证：ACLBC.6. 如图，在 ABC 中, AB=AC, / A=120, AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC AB 于点 M N 求证：CM=2BM课后作业：1.如图7,在厶ABC中,AC= 23,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点ACE的周长为50,求BC边的长.2.已知：

7、如图所示，/ ACB / ADB 都是直角，且 AC=AD P 是 AB 上任 意一点，求证：CP=DP线段的垂直平分线与角平分线（2）知识要点详解4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4,已知OE是/AOB的平分线，F是OE上一点，若CF丄OA于点C,DF丄OB于点D,贝V CF=DF.定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题;角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线 课堂笔记:B.7 cm C.8 cm D.9 cm在厶 ABC 中, ABAC, O 是厶 ABC 内一点，且 OB=OCNB图7E选CR5、角

8、平分线性质定理的逆定理:角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线定理的数学表示：如图5，已知点P在/AOB勺内部，且PCL0A于C, PD丄0B于D,若PC=PD,则点P在/AOB勺平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系课堂笔记：6、关于三角形三条角平分线的定理：(1)关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等定理的数学表示：如图6,如果AP BQ CR分别是ABC的内角/BACZABCZACB的平分线，那么：AP、BQ CR相交于

9、一点I;若ID、IE、IF分别垂直于BC CA AB于点D E、F，贝V DI=EI=FI.定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部j. 1 r 一 7 1 匸一1 t j、i一一l J- i、 一 7 i t r ”7 r r一 1 i r j r * 一 a7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:(1)会作已知线段的垂直平分线；(2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.课堂笔记:经典例题:例 1、 已知：如图，点 B、

10、C 在ZA 的两边上，且 AB=AC P 为ZA 内一点，PB=PCPELAB PFLAC 垂足分别是 E、F 求证：PE=PF课堂笔记：针对性练习：已知：PA、PC 分别是 ABC 外角ZMAC 和ZNCA 平分线，它们P，PDLBM 于 D, PFLBN 于 F,求证：BP 为ZMBN 勺平分线。BFI例 2、如图10,已知在直角梯形ABCD中,AB/ CD,AB丄BC, E为BC中点，连接AE DE DE平分/ADC求证：AE平分/BAD.课堂笔记:针对性练习：如图所示，AB=AC BD=CD DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F,求证：DE=DF例 3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分/ABC且ZBAD与ZBCD互补，求证：AD= CD.课堂练习：1. ABC 中，AB=AC AC 的中垂线交 AB 于 E,AEBC 的周长为 20cm AB=2BC 则腰长为2._ 如图所示，AB/CD, O 为ZA、ZC 的平分线的交点，OEL AC 于E,且 OE=2 贝 U AB 与 CD 之间的距离等于。3已知：如图，ZB=ZC=90, DM 平分ZA