线性代数：5-7 正定二次型

1、二次型的标准形不是唯一的二次型的标准形不是唯一的,但是标准形中所但是标准形中所含非零项数是唯一确定的含非零项数是唯一确定的,等于等于二次型的矩阵的秩二次型的矩阵的秩。对于对于实实二次型的标准形二次型的标准形,不仅如此不仅如此,其中正系数其中正系数的项数也是的项数也是不变的不变的(从而负系数的项数也不变从而负系数的项数也不变),也就也就是有以下是有以下惯性定理惯性定理。 证明略证明略实实二次型的标准形中正系数的个数称为二二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的次型的，负系数的个数称为，负系数的个数称为科学技术上用得较多的二次型是正惯性指科学技术上用得较多的二次型是正惯性指实二次型的正实二次型的正

2、(负负)惯性指数唯一确定惯性指数唯一确定.若若 n 元元实实二次型二次型 f 的正惯性指数为的正惯性指数为 p，f 的的秩为秩为 r, 则则 f 的的为为f = y12 + + yp2 yp+12 yr2 . 数为数为 n 的的 n 元实二次型，即元实二次型，即.以下从以下从函数函数的角度研究的角度研究实实二次型。二次型。211112121313112222232322222222nnnnnnnaaaaaaaaxx xx xx xxx xx xx12(,)nn元实二次型f x xxTT（其中）x AxAA多项式形式多项式形式矩阵乘积形式矩阵乘积形式112212,(nnncccc ccRxxx(

3、1)令实数域)，则21211 112 1 213 1 311222223 2 3222( ,)22222nnnnnnnnc cca ca c ca c ca c ca ca c ca c ca cf12nncccRx(2)令，则121212( ,)( ,)nnnccc ccc cccfA如：如：(0,0,0)0f11(1,0,0)af111222(1,1,0)2aaaf两种写法两种写法:思考：下列命题正确吗？思考：下列命题正确吗？22212312113223331.( ,)2,3,xcxcxf x xcxxxxR设恒有123( ,0)f c c c111312322233222313.( ,)

4、,20,xcxxcf x x xxccxccR设，且恒有22211123123223332132.( ,)23, 0 xcxcxccccf x x xxxxR 且设恒有123( ,0)f c c c123( ,)0f c c c, ;半正定半负定负定正定二次型正定二次型221212(,)3 f x xxx负定二次型负定二次型例如例如2212123(,)3f x xxxx221212(,)3f x xxx221212(,)3f x xxx2212123(,)3 f x xxxx不定不定半正定二次型半正定二次型半负定二次型半负定二次型 22211220,1,2,ninnddddin元实标准形正定y

5、yy,n若均为阶正定矩阵 则也是正定矩阵。A BAB,首先，因为均为实对称矩阵 所以也是A BAB,实对称矩阵。其次，由于为正定矩阵任意，所以A B()0TTTx AxxxxBxAB0,0,0,TnTR有给从而定x Axx Bxxx故是正定矩阵.ABk 、也是正定矩阵吗ABAAB n它的标准形的它的标准形的 n 个个系数系数全为正全为正 设设实实 0 A思考：思考： +1 A E1*、A AA正正定定也也正正定定+22nAE正惯性指数正惯性指数= 实实;00011112221121111nnnnaaaa,aaaa,a实实111110,1.kkk ki ii iki ii iaaiinaa思考：

6、思考：TA A正正定定也也正正定定 0(1) AA正正定定0,1,2,ijn niiaain(2)A正正定定 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 解解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf,524212425 , 05 5210,21 52421210,425 1224121243010122111221212122112211214（都不是正定的）（都不是正定的）1111( 1)0 (1 2)rrrrraar, ,naa AA定定正正定定负 xzxyzyxf44465222 解解 的矩阵为的矩阵为, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080