微分中值定理11年论文

1、-本 科 生毕 业论文微分中值定理推广及其应用院 系：数学与应用数学系 专 业： 数学与应用数学班 级：学 号：指导教师：职称或学位：2021年5月原创性声明本人重声明：所呈交的论文设计，是本人在导师的指导下，独立进展研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的容外，本论文设计不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本论文设计的研究做出重要奉献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学生签名： 年 月 日指导声明本人指导的同学的毕业论文设计题目大小、难度适当，且符合该同学所学专业的培养目标的要求。本人在指导过程中，通过网上文献搜索及文献比对等

2、方式，对其毕业论文设计容进展了检查，未发现抄袭现象，特此声明。指导教师签名： 年 月 日. z-目 录1引言22中值定理的容及联系22.1根本容22.2三个中值定理之间的关系23定理的推广34定理的应用54.1利用定理证明方程根零点的存在性54.2用定理求极限74.3证明不等式84.4定理推广的应用105结论116致11微分中值定理推广及其应用摘要：本文首先介绍了微分中值定理之间的在联系，以及它们的推广；接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根零点的存在性 ,“ 求极限和“证明不等式等方面的应用。关键词：微分中值定理；联系；推广；应用Abstract:This paper desc

3、ribes theintrinsic link between the differential mean value theorem, and their promotion; then look at the differential mean value theorem in solving problems, such as: the discussion of the roots (zero) in e*istence, limit and proof of in equality.Keywords:Differential mean value theorem; Contact;

4、Promotion; Application1 引言通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的局部。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最根本的定理，也是构成它理论根底知识的一块非常重要的容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅提醒了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的根底。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系1-3以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根零点

5、的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。2 中值定理的容及联系2.1 根本容45对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进展探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔Rolle定理、拉格朗日Lagrange定理和柯西Cauchy定理。这三个定理的具体容如下：1) Rolle 定理 假设在上连续，在可导，且，则至少存在一点，使。2) Lagrange定理 假设在上连续，在可导，则至少存在一点，使3) Cauchy定理设，在上连续，在可导，且，则至少存在一点，使得。2.2 三个中值定理之间的关系现在我们

6、来看这三个定理，从这三个定理的容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢.我们又如何来探讨呢.这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进展观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的这一条件给去掉的话，则定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系.我们先对柯西定理进展观察，从观察中

7、会是我们作出这样的假设，如果令定理中的的话，发现定理成为了拉格朗日定理。这使得我们发现他们二者之间的联系， 拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块容的基石，而拉格朗日定理则是这一块容的核心，则柯西定理是这一块容的推广应用。如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的话，那它们之间又是如何的呢.在这里我们不具体的给予研究，而是直接给予结果。假设用几何解释：“假设一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于轴相交的

8、夹角不为直角；则像这一类曲线具有共同的属性曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行。3 定理的推广67前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的容我们知道，这三个定理都要求函数在上是连续，在是可导。则我们如果把定理中的闭区间，把它推广到无限区间或，再把开区间推广到无限区间或的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢.通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。定理1 假设在上连续，在可导，且，则至少存在一点，使成立。证明：令，则，即可得到关于参数函

9、数当时，则即，再令在上连续，在可导，且，由Rolle定理可得到，使成立令，有，而.，使成立 证毕定理2 假设在上连续，在可导，并且，至少存在一点，使成立。定理2的证明可以参照定理1。定理3 假设在上连续，在可导，并且，则至少存在一点，使成立。证明：设，则，即可得到关于参数函数当时，则即，再令在上连续，在可导，由Lagrange定理得，使成立即令，有，而，使 成立. 证毕4 定理的应用通过上面对定理的研究和探讨，加深了我们的理解。我们知道中值定理在解题中具有十分广泛的应用，现在我们来看看这三个定理的具体运用。我们学知识，不仅仅是为了让我们知道，更主要的是学了要会用，这才是最关键的。4.1 利用定

10、理证明方程根零点的存在性例1 假设在上连续，在可导，证明在方程。分析：由于题目是要求方程是否有根存在，所以可以先对方程进展变形，把方程变为。则方程有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有存在，所以可以利用不定积分把方程，转变为。现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道在区间上连续，在区间可导，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数在上连续,在可导，则我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。证明:令，显然在上连续,在可导，而.根据Rolle定理,至少存在一点，使. 证毕本文主要在于辅助函数的构造，我们从结论出发，构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定

11、理中的哪一个即可。对于构造辅助函数我们可以得到，所以选在利用罗尔定理证明。这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。下来我们继续看两道例题：例2 设在，在，证明：在存在一点，使成立。分析：对于等式，则可以两边同除以，即等式左端为，这个商式可看为函数在上的改变量与自变量的改变量之商，则会考虑利用Lagrange定理，则可构造辅助函数。证明:，则在，在，由Lagrange定理，存在一点，使，即，即 证毕例3 设在，在，证明:在存在一点，使成立。分析:等式两边同除以，即该等式的左端为，这个商式可看为函数与在闭区间上的改变量之商，则我们会想到利用柯西定理来证明

12、，则构造辅助函数。证明：令，对 ，在上运用Cauchy定理，得，即，即. 证毕4.2 用定理求极限在求极限的题目里，有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话，则会使我们在解题过程中出现很大的计算量，或者比较繁琐的解题过程。但是应用中值定理的话，会为这一类题目提供一种简单有效的方法。而用中值定理来解题，最关键在于辅助函数的构造，然后在运用中值定理解题，即可求出极限。例1 求，其中。分析：由于题目中有和，则可以试着构造辅助函数，则就可以得到在连续，在可导，即可以利用Lagrange定理解题了。解：根据题意，由Lagrangge定理，有其中，例2 ，试求。解： 令，则对于函数在上满足Lagrangg

13、e定理可得： ， 当时，把得到的上述个不等式相加得： 即故4.3 证明不等式对于数学体系来说不等式是一块很重要的容。故不等式的证明对数学是很重要的。当我们学习了中值定理，知道了它在不等式的证明中起着巨大的作用。“我们可以根据不等式两边的代数式选取一个来构造辅助函数，再应用中值定理得出一个等式后，对这个等式根据自变量的取值围的不同进展讨论，得到不等式。下面我们来通过例子来说明定理在证明中的运用。例1 设，对的情况，求证。分析：证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。那我们是否能通过变形是，他们可以应用做差或是做商呢.我们来看下不等式，不难发现当时，

14、等式两边就相等了，所以接下来排除，分两步讨论。在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比较复杂，则是否可以把左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值定理解题呢.不妨设，。利用Cauchy定理即可证明。证明：当时结论显然成立，当时，取或，在该区间设，由Cauchy定理得：或即当时，即又故，即当时，则故，即由此，不等式得证例2 在满足，且在取最大值，试证：。 分析：假设能找到点，使，则要证的结论便转化为变量的形式：，则根据 Lagrangge 定理证之即可。然而对于的寻找，应该从题目中条件的在开区间取到最大值入手。4.4 定理推广的应用对于中值定理推广到无限区间上，在于求解一些题目，如果

15、应用了中值定理的该推广会比较方便的得到解题，下面我们来看一个例子：例1 如果函数，求证：，使得。分析：对于该题目我们通常会采用这样一种证法，令，有，即可得证。这种证明的方法，可以说是利用极限方法来证明的，我们现在考虑是否还可以运用其它的方法来证明。假设要运用中值定理来证明是否可以呢.下面给出该方法。证明： 由题得在连续，在可导，且可得：则，由推广定理的定理1，得到：，使得 证毕例 2 设在上可得，且，证明：，使得。证明 问题相当于要找，使，因函数在可导，故，即又，即所以由定理2知，使得，即题目得证。 证毕中值定理的应用广泛，本文从几个方面介绍了该定理的运用。通过以上的例题让大家知道，应用这几定

16、理的关键和解题的难点，是在于对辅助函数的构造。在论文过一些题目的解题过程让大家了解到对于一道题目来说，他的解题的方法具有多样性，对于方法的选择是解题过程繁简的关键，选择一种简便的方法可以使我们快速有效的作答。也希望通过这几道例子能让大家对定理加深理解和应用。5 结论本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习，和一些相关学科容的知识的学习，并结合一些相关的参考图书资料，以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关容，其中还包括自己对这些容的理解，还通过多方面的了解和研究，且在和教师和同学们的一起探讨下，我们了解到微分中值定理的在联系，也对微分中值定理的推广做了探讨，接着对微分中值定理的应

17、用做了归纳总结。对微分中值定理本课题主要是以罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，三个定理之间的联系为主要的研究对象，希望通过本课题能让大家加深了对的这三个定理的理解和应用，也希望通过例题的解析，能使得大家在应用微分中值定理上更加的娴熟。6 致完本钱论文，我要特别感我的指导教师林教师的热怀和指导。在我撰写论文的过程中，美琳教师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了美琳教师教诲和帮助在此表示真诚地感和深深的意。最后，向在百忙中抽出时间对本文进展评审并提出珍贵意见的各位专家表示感！参考文献：1盛晓兰.例谈微分中值定理的证题技巧J.技术监视教育学刊,2021，1：16-19.2党艳霞.浅谈微分中值定理及其应用J.师学院学报(自然科学版),2021,1:28-31.3章辉.微分中值定理及其应用J.大学学报(自然科学版),2007,23(2): 79-81.4欧中 朱学炎.复旦大学数学系.数学分析第三