第一章行列式线性代数

1、线性代数线性代数l授课人授课人: :陈陈 琪琪l主讲课程主讲课程: :生产运营管理生产运营管理管理学原理管理学原理项目管理项目管理高等数学高等数学线性代数线性代数等等l联系方式：联系方式：电话：电话：627585627585作业上传与讲义下载地址作业上传与讲义下载地址用户名用户名:cq3;:cq3;密码：密码：04042022-3-302111212122211nnmmmnAXBaaaaaaAaaa其中11 112 21121 122 2221 12 2n nn nmmmn nma xa xa xba xa xa xba xa xa

2、xb 前言前言l线性代数的理论和方法已成为科学研究及处理各线性代数的理论和方法已成为科学研究及处理各个领域问题的强有力工具（个领域问题的强有力工具（线性：主要指有关变量是线性：主要指有关变量是一次的。）一次的。）l考研数学试卷中比例已占：考研数学试卷中比例已占：2022-3-3032010年考研数学大纲（线性代数）z一、行列式z二、矩阵z三、向量z四、线性方程组z五、矩阵的特征值和特征向量z六、二次型 2022-3-304本课程主要学习内容：第一章行列式第一章行列式第二章矩阵第二章矩阵第三章向量与线性方程组第三章向量与线性方程组第四章矩阵的特征值与特征向量第四章矩阵的特征值与特征向量第五章第五

3、章 二次型二次型2022-3-305第一章第一章 行列式行列式 要求要求:1.了解行列式的概念，掌握行列式了解行列式的概念，掌握行列式 的性质的性质 2.会应用行列式的性质和行列式按会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式行（列）展开定理计算行列式3、会用克莱姆法则解线性方程组、会用克莱姆法则解线性方程组 2022-3-3061. 二阶、三阶行列式 (一)二阶三阶行列式1.消元法解线性方程组，引入二行列式消元法解线性方程组，引入二行列式22221211212111bxaxabxaxa 消元法211112221122211122221121122211)()(ababxaaaaab

4、abxaaaa）（ 12022-3-3072211DDxDDx简记为简记为2221121121122211aaaaaaaaD其中其中2221211222211ababababD2211112111122babaababD 二阶的二阶的（ 系数）系数）行列式行列式2022-3-308121201,DDDxxDD当时，方程组（）的解记为：注注:即克莱姆法则即克莱姆法则 时的情形。时的情形。2n 2022-3-3092、二阶行列式计算方法：（对角线法则）、二阶行列式计算方法：（对角线法则）（1 1）2221121121122211aaaaaaaaD取取“-”号号（副（副对角线对角线）取取“+”号号（

5、主（主对角线对角线）2022-3-3010（2 2）2221211ababD 22211211aaaaD 2211112babaD 换为常数列的系数列1x换为常数列的系数列2x2022-3-3011（3 3）例题：解线性方程组）例题：解线性方程组52102yxyx解：解：，）（052211 1221D，20152101D15521012D故方程组的解为：故方程组的解为：3,421DDyDDx2022-3-3012（二）三阶行列式及其对角线法则1.1.消元法解线性方程组消元法解线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa 消元法

6、332211DDxDDxDDx 哇！好简洁啊！ 注意写法规律！（1）2022-3-3013其中：312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaD3221333212322313221332312332211baaabaaabababaaaabD3121333211323113211331231332112abaaabbaabaaaababaD3122132112322113221131212322113aabbaaabaaabababaaD2022-3-301431212302,DDDDxxxDDD当时，方程组（ ）的解为：，注注:

7、克莱姆法则克莱姆法则 时情形时情形.3n 2022-3-30152.三阶行列式的引入333231232221131211aaaaaaaaaD 令 三阶的三阶的（系数）（系数）行列式行列式2022-3-3016行列式引入图333231232221131211aaaaaaaaaD 换为常数列的系数列1x换为常数列的系数列3x3333123221131112abaabaabaD 3332323222131211aabaabaabD 3323122221112113baabaabaaD 换为常数列的系数列2x2022-3-3017333231232221131211312213332112322311

8、322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD记： 三阶（系数）行列式取“-”号（副对角线及平行线）取“+”号（主对角线及平行线）Go 212022-3-30181231231232413502241315180111xxxxxxxxxD 解例：解三元线性方程组例：解三元线性方程组2022-3-3019123141015362112113051812124131018112DDD 2022-3-3020112233362181811818118DxDDxDDxD，2022-3-30211.1.2 n2 n阶行列式阶行列式（一）一）n n阶行列式的定

9、义阶行列式的定义1.1.观察三阶观察三阶( (二阶二阶) )行列式的特点行列式的特点（1 1） 表示一个数。表示一个数。一般项：取自不同行不同列一般项：取自不同行不同列的的3 3 元素之积，共元素之积，共3 3！=6=6项（二阶：项（二阶：2 2！=2=2项）。项）。 （2 2）各项下标：某一个三级排列（）各项下标：某一个三级排列（6 6种）种）（3 3）各项符号：三项正三项负正负号与行标自）各项符号：三项正三项负正负号与行标自然顺序排列时的列标排列顺序有关然顺序排列时的列标排列顺序有关. .（注意：在各项乘积中（注意：在各项乘积中，调整元素的位置，总可以使行标成为自然顺序排列！），调整元素的

10、位置，总可以使行标成为自然顺序排列！）问：正负号如何确定？为此引进问：正负号如何确定？为此引进“逆序逆序”概念。概念。Go 17Go 172022-3-3022（1 1）n n级（级（元元）排列排列 （前）n个自然数1、2、3、 n的一个有序数列称为一个n级排列。如32415是一个5级排列;213546是一个6级排列.排列与逆序2022-3-3023 所有n级(元)排列共有n!种； 如：三级排列有3！=6种： 123，132；213，231；312，321。 五级排列有5！=120种： 14325，15342，等 （）逆序与逆序数n逆序：一个排列中，任意两数大前小后排列构成一个逆序；如 132

11、中32构成一个逆序 14325中43、42、32各构成一个逆序n逆序数：一个排列的逆序总数；n级排列逆序数记为）（njjj.212022-3-3024例 A.（123）=0， （132）=1； （ 213）=1， （231）=2； （312）=2， （321）=3。 （14325）=3，（15432）=6；go 无逆序43、42、32各构成一个逆序21构成一个逆序32构成一个逆序 5454、5353、5252、4343、4242、3232各构成一个逆各构成一个逆序序B. 逆序数计算方法：由后往前，算大数： （14325）=0+2+1=3由前往后，算小数： （15342） =0+3+1+1=52

12、022-3-302531114123）（601311263145）（）（321) 1( nn123)2() 1( nn) 1(21nn逆序数计算例逆序数计算例022-3-3026（3）奇偶排列及其性质奇偶排列及其性质 n奇偶排列：逆序数为奇（偶）数的排列奇偶排列：逆序数为奇（偶）数的排列称奇（偶）排列。称奇（偶）排列。n对换：某两数位置互换称排列的一次对换。对换：某两数位置互换称排列的一次对换。定理定理. .：任意一个排列经过一次对换奇偶性改变。：任意一个排列经过一次对换奇偶性改变。例：确定奇偶排列；例：确定奇偶排列；幻灯片幻灯片 3232证明证明:(1):(1)相邻情形相邻情形

13、 jiij逆序数增加或减少逆序数增加或减少1,1,都改变奇偶性都改变奇偶性; ;(2)(2)一般情形一般情形 ikkjkjkkikss2121相邻两数对换相邻两数对换2s+1次次,改变奇偶性。改变奇偶性。2022-3-3027定理定理1.2:1.2:所有所有n!n!个个n n级级排列中奇偶排列各占一半。排列中奇偶排列各占一半。证明：证明：，个偶排个奇排设kmnkm!njjnjjjBjjjA 122121：得偶排：取奇排交换 用这种方法，每一个不同的奇排将对应着用这种方法，每一个不同的奇排将对应着一个不同的偶排，故一个不同的偶排，故km 同理可证同理可证mk 从而从而2! nkm2022-3-3

14、028例例1 1：求：求i i，j j使使2525i4j1i4j1为偶排列。为偶排列。解：解：6 6级排列使级排列使i i、j j只能取只能取3 3或或6 6；由于；由于例例2:2:解：解：，（7)253461（偶数）（10)256431所以，所以，i i=6,j=3=6,j=3。)1121jjjsjjjnnn （，求（若都是顺序，则若njjj 21 奇排列奇排列 偶排列偶排列; 11njjn前的逆序数为对换到, 211njjn前的逆序数为对换到为依此类推，得到逆序数, 2022-3-3029111(1)2nnj jjn n（）故，逆序将变顺序，对换后，顺序将变逆序，（而sjjjn )21sn

15、njjjnn ) 1(21,11）（有了逆序数及奇偶排列的概念有了逆序数及奇偶排列的概念,再来再来分析三阶行列式各项的符号与列标排分析三阶行列式各项的符号与列标排列的关系列的关系.2022-3-3030333231232221131211312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 取“-”号（副对角线及平行线）取“+”号（主对角线及平行线）行标成自然排列时行标成自然排列时,列标排列的奇偶性决定符号列标排列的奇偶性决定符号.2022-3-3031( (二二) ) n n阶行列式的阶行列式的定义定义1.2P51.

16、2P5（1 1）一般项：取自不同行不同列的）一般项：取自不同行不同列的n n个个元素之积；元素之积；（2 2）各项下标：使行标成自然顺序，则列标为）各项下标：使行标成自然顺序，则列标为n n级级排列，共有排列，共有n!n!项，奇偶排列各半；项，奇偶排列各半；（3 3）各项符号：列下标奇排列为负，偶排列为正。）各项符号：列下标奇排列为负，偶排列为正。nnnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211nnnnjjjjjjjjjaaa 21212121)() 1( n n阶阶行列式行列式 行列式展开行列式展开式、一个数式、一个数请：用一阶、二阶和三阶行列式验证。请：用一阶、二阶和三阶行列式

17、验证。1122324355a a a a a请问是否是五阶行列式中的元素?2022-3-3032例题：计算上三角行列式例题：计算上三角行列式nnnnaaaaaaD 00022211211解：根据定义，从每一项元素取自不同行列解：根据定义，从每一项元素取自不同行列入手，可知其值等于主对角线元素之积。入手，可知其值等于主对角线元素之积。121212()12(12)11221122( 1)( 1)nnnj jjjjnjj jjnnnnnDaaaaaaaaa 2022-3-3033结论：上、下三角、对角行列式的值都等于结论：上、下三角、对角行列式的值都等于 主主对角线元素之积！这提供了一种简便对角线元

18、素之积！这提供了一种简便 常用的行列式计算方法。常用的行列式计算方法。nnnnaaaaaa 21222111000nnnnaaaaaaD 0002221121111221122000000nnnnaaaaaa2022-3-3034结论：副上下三角、副对角行列式的值都等于结论：副上下三角、副对角行列式的值都等于 副副对角线元素之积，并考虑相应的符号！对角线元素之积，并考虑相应的符号！121212111121( (1).21)121121(1)212112100000011nnnnnnnnnnnnnnn nnnnnn nnnnnaaaDaaaaaaaaaaaaaaa （）（）2022-3-3035

19、 n n阶行列式的等价定义阶行列式的等价定义（行列下标都可任意排列）（行列下标都可任意排列）（1 1）（2 2）nnnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211nnnnnjijjjjijijjjiiiaaa 2122112121)()() 1( 行标行标逆序逆序 列标逆序列标逆序niiiiiiiiinnnnaaaD 21212121)() 1( 行标行标逆序逆序 视情况视情况灵活选用灵活选用定义定义2022-3-3036例题例题求四阶行列式中，含求四阶行列式中，含4123aa解：所求一般项应为解：所求一般项应为41323131aaaajj31jj 、只能取只能取2 2或或4 4，确

20、定，确定而而31jj 、使使) 13(31jj奇数，即可得所求项奇数，即可得所求项41342312aaaa且带负号的项。且带负号的项。2022-3-3037小结：小结：1.1.二、三阶行列式、对角线法则；二、三阶行列式、对角线法则；2.2.排列的逆序数、奇偶排列；排列的逆序数、奇偶排列；3.3.n n阶行列式定义及其计算。注意，阶行列式定义及其计算。注意， 三阶以上行列式无对角线法则！三阶以上行列式无对角线法则！作业布置：作业布置： P351.1.T5T52.2.T10T103.3.T12(2T12(2）（）（4 4）2022-3-3038 2022-3-3039）（321) 1( nn213

21、132321666278118) 1(21nn12)2(1nn）（2022-3-3040nnnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211nnnnnjijjjjijijjjiiiaaa 2122112121)()() 1(2022-3-3041nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211nnnnnnTaaaaaaaaaD 2122212121112022-3-3042nnnnnnaaaaaaaaa 212221212111nnnnnnTbbbbbbbbbD 212222111211njiabjiij, 2 , 1, nnnnjjjjjjjjjTbbbD 21212121

22、)() 1(njjjjjjjjnnjnaaa 21212121)() 1(D2022-3-3043nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD 21212111211nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaaD 212121112112022-3-3044 ，有DD。故0Dnnnniniinaaakakakaaaa 212111211nnnniniinaaaaaaaaa 212111211k2022-3-3045。nnnnininiiiinaaabababaaaa 21221111211nnnniniinaaaaaaaaa 212111211nnnniniinaaabbbaaa

23、 2121112112022-3-3046nnnninjnijijiniinaaakaakaakaaaaaaaa 2122112111211nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD 21212111211 k2022-3-30472022-3-304871110251020215214D52140251020217111）（ 1232307085051107111D）（ 10）（ 4532022-3-30493850095130051107111）（2385001930051107111）（ 201001930051107111010019000501070113）（ 12022-

24、3-305019000010051107111192022-3-3051199919981997199619951994199319921991D）（ 1）（ 1111997111994111991D03214214314324321D321421431432101010102022-3-3052321421431432111110）（ 2）（ 3）（ 4123012101210111110）（ 134400040012101111104000040012101111101602022-3-305310001030012321 nnD）（ 2）（ 3）（ n100001000010323212

25、22 nnD2022-3-3054222321n )321 (22222n ) 12)(1(612nnn6) 12)(1(12nnn2022-3-3055yyxxD1111111111111111yyyxxx110110101101）（ 1）（ 1yxxy111011101011101122)(yxyxxy）（ 111010000111000 xxyy）（ 1）（ 12022-3-3056xaxaxaaDnn00010000100011210 止。，依此类推到最后一行加到下一行，第二行再乘以加到第二行后，第一行乘以.xx00001000001000011211023120100 nnnnnna

26、xaxaaxaxaaxaa2022-3-3057，都加到第一列列乘以第，第三列乘以第二列乘以23120100.nnnaxaxanaxaa000010000001000001012110 nnnaxaxa式第一行，化为对角行列次对换换至行作将第1nn2022-3-3058）（）（）（12110121 nnnnaxaxa12110 nnnaxaxa10000010000001000001121101 nnnnaxaxa）（112110111 nnnnnaxaxa）（）（2022-3-3059nnnnD 00000330000221321列，得列加到第，第列，第列加到列，第列加到第将第12211 n

27、nnn2022-3-3060nnnnnnnD 00000030000020) 1(3221)32(1)21 (1nnn ）（!) 1(21) 1(1nnnn2022-3-3061 1. 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开ijM1.1 余子式与代数余子式余子式与代数余子式P21定义定义6 在在 n阶行列式阶行列式 nD中划去元素中划去元素ija 所在的第所在的第i行和第行和第j 列的元素列的元素,剩下的剩下的 (1) (1)nn个元素按原来的排法构成一个个元素按原来的排法构成一个 1n阶的行列式阶的行列式,称为元素称为元素ija的余子式的余子式,记作记作ijM .对对冠以冠以符号符号ji

28、) 1(后称为元素后称为元素 ija的代数余子式的代数余子式,记为记为ijA ,即即ijjiijMA) 1(2022-3-3062 11a1210231111110112D11311111112M1 11111121314311( 1)111121129;5;2AMAAA 同理 2022-3-3063niAaAaAaAaDnjijijininiiii, 2 , 112211 njAaAaAaAaDniijijnjnjjjjj, 2 , 112211 2022-3-306411220()isissninDa Aa Aa Asi11220()jsjsnjnsDa Aa Aa Ajs2022-3-3

29、0651210231111110112D11111212131314141122 91502Da Aa Aa Aa A （）（）（）=112022-3-306610000100000111111aaDaa 1111( 1)( 1)1nnnnnDaDaD 2022-3-306712223231211211(1)1111111111nnnnnnnnnnnDaDa aDa Daa DaaaDaaaaaanaaaa2022-3-30681x123122222123111111123111111nnnnnnnnnnnnxxxxxDxxxxxxxxxx2022-3-3069nixxi.,3 , 21，11

30、2)(nininDxxD21311112213311111222222133111111111100()()()()0()()()()nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxDx xxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxx2022-3-3070221312)()( njnjininDxxxxD)()(121xxxxxxnnnnn )1mknkmxx （)()(1121xxxxnnn )(1323xxxx )(12xx 2022-3-3071111152432 541 691 2 586 42 7D5254532423433 1 221112D （） （） （）（） （） （）（）

31、 （）2022-3-30725100065100065100065100065D2022-3-3073510650060650651065006161055106510655165D4805313018531）（2022-3-30742022-3-30751.5 1.5 克莱姆法则克莱姆法则 一、复习一、复习（一）行列式性质（一）行列式性质1.1.转置转置相等。相等。 2.2.互换变号。互换变号。3.3.公因子外提：某行公倍数公因子外提：某行公倍数4 4。两数和两数和拆成拆成两行列式和两行列式和。5.5.乘加法则：虚乘实加乘加法则：虚乘实加值不变值不变。6。值为零：成比例值为零：成比例2022

32、-3-3076（二）行列式展开（降阶）（二）行列式展开（降阶）1.1.余子式、代数余子式余子式、代数余子式2.2.行列式按某行展开行列式按某行展开niAaAaAaAaDnjijijininiiii, 2 , 112211 3。拉普拉斯定理：若在。拉普拉斯定理：若在n阶行列式阶行列式D中，中， 任意选取任意选取k行行k列，这样组成的所有列，这样组成的所有k阶子式阶子式 与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式 D的值。的值。2022-3-3077二、定理二、定理1.7(1.7(克莱姆法则克莱姆法则) )：若非齐次线性方程组：若非齐次线性方程组 nnnnnnnn

33、nnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111系数行列式不为零，则它有唯一解：系数行列式不为零，则它有唯一解：niDDxii,.,2, 1例：例：P31 P31 例例1 1 利用行列式计算（解略）利用行列式计算（解略）1（）2022-3-3078定理定理1.81.8：若齐次线性方程组（也称（：若齐次线性方程组（也称（1 1）的导出组）的导出组） 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa系数行列式不为零，则它有唯一解：系数行列式不为零，则它有唯一解：nixi,.,2, 10（2）2022-3-3079

34、推论：齐次线性方程组推论：齐次线性方程组 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是0D例：例：P34 P34 例例2,2,例例3 3 利用充要条件判定利用充要条件判定. .（2）2022-3-3080例例3 3 取何值时取何值时02033502231321321xxxxxxxx）（）（）（有非零解？有非零解？解：利用充要条件求解，注意行列式的解：利用充要条件求解，注意行列式的 计算技巧计算技巧作业布置：作业布置：1.1.P40. T29P40. T292.2.T33T333.3.T40(7)(8)T

35、40(7)(8)2022-3-3081 线性方程组线性方程组的矩阵表示法的矩阵表示法 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 真简洁！BAX 2022-3-3082线性代数2010年考研数学大纲一、 行列式 z考试内容 n行列式的概念和基本性质 n行列式按行（列）展开定理 z考试要求:1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质 2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式 2022-3-3083二、矩阵 考试内容:z 矩阵的概念 z 矩阵的线性运算 z 矩阵的乘法 z 方阵的幂 z 方阵乘积的行列式 z 矩阵的转置 z 逆矩阵的概念和性质 z 矩阵可逆的充分必要条件 z 伴随矩阵 z 矩阵的初等变换 z 初等矩阵 z 矩阵的秩 z 矩阵的等价 z 分块矩阵及其运算 2022-3-3084二、矩阵 考试要求 1理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质 2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘