多元多项式的概念和运算

1、一、多元多项式的概念和运算一、多元多项式的概念和运算二、二、n元多项式的字典排列法元多项式的字典排列法三、三、 n n元多项式的有关结论元多项式的有关结论令令nxxx,21是是n个文字个文字. .形式如形式如nknkkxxax2121的表示式，其中的表示式，其中 是非负整数，叫做是非负整数，叫做数环数环R上上 的一个的一个单项式单项式. 数数 a 叫做这个单叫做这个单项式的项式的系数系数.如果某一如果某一 ，那么，那么 可以不写，可以不写，约定约定nkkkRa,21nxxx,210ikikixniiniiknkikikknkiikikxxxaxxxxxax1111111111011因此，因此，

2、m (m n)个文字的单项式总可以看成个文字的单项式总可以看成n个文个文字的单项式字的单项式. 特别，当特别，当 时，我们时，我们有有021nkkkRaxxaxn00201一、多元多项式的概念和运算一、多元多项式的概念和运算（1） 我们还约定，我们还约定，Rxxxnknkk 002121一些（有限个）单项式用加号联结起来而得到的一一些（有限个）单项式用加号联结起来而得到的一个形式表达式个形式表达式Raxxxaxxxaxxxaiknkksknkknnkksnssn,21222211211212121211 是非负整数是非负整数 ，叫做，叫做R上上n个个文字文字 的一个多项式，或简称的一个多项式，

3、或简称R上一个上一个n元元多项式多项式.在不致发生混淆的情况下，也可以简称为多在不致发生混淆的情况下，也可以简称为多项式项式.ijknjsi, 2 , 1;, 2 , 1nxxx,21我们常用符号我们常用符号 等来表示等来表示R上上n个文字个文字 的多项式的多项式. nnxxxgxxxf,2121nxxx,21在一个在一个n元多项式（元多项式（1）里，组成这个多项式的单项）里，组成这个多项式的单项式叫做这个多项式的式叫做这个多项式的项项.各项的系数也叫做这个多项各项的系数也叫做这个多项式的式的系数系数.R上两个单项式上两个单项式 和和 叫做同叫做同类项，如果类项，如果 . 两个单项式说是相等，

4、两个单项式说是相等，如果它们是同类项并且系数相等如果它们是同类项并且系数相等.nknkkxxax2121nlnllxxbx2121nilkii, 2 , 1,现在定义现在定义R上上n元多项式的运算元多项式的运算.R上两个上两个n元多项式元多项式 的的和和指的是把分别出现在这两个多项式中对应的指的是把分别出现在这两个多项式中对应的同类项的系数相加所得到的同类项的系数相加所得到的n元多项式，记作元多项式，记作f + g . nnxxxgxxxf,2121与例如例如 33232322133132133232322132213132152,23,xxxxxxxxxxgxxxxxxxxxxxxf的和是的

5、和是23232213221313313213214222,xxxxxxxxxxxxxgxxxf为了定义两个多项式的为了定义两个多项式的乘积乘积，先定义两个单项式的，先定义两个单项式的乘积乘积.R上两个上两个n元单项式元单项式 与与 的积指的是单项式的积指的是单项式nknkkxxax2121nlnllxxbx2121112212.nnklklklnabxxx现在设现在设f与与g都是都是R上上n个文字的个文字的 多项式多项式.把把f的每一项与的每一项与g的每一项相乘，然后把这些乘积相的每一项相乘，然后把这些乘积相加（合并同类项）而得到的一个加（合并同类项）而得到的一个n元多项式叫做元多项式叫做f与

6、与g的的积积，记作，记作 fg .3223212313, 213222132213, 213,2,xxxxxxxxxgxxxxxxxxxxf的乘积是的乘积是2332232213421322313241233221232413225132262xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfg例如，多项式例如，多项式nxxx,21这样定义的多项式的加法和乘法就是中学代数里熟这样定义的多项式的加法和乘法就是中学代数里熟知的多项式的运算，并且容易看出，知的多项式的运算，并且容易看出，n元多项式的元多项式的运算满足下列条件：运算满足下列条件：设设f, g, h都是某一数环都是某一数环R上上n个文字个文字

7、 的多项式，那么的多项式，那么nxxx,21i）hgfhgf（加法的结合律）（加法的结合律）ii)fggf（加法的交换律）（加法的交换律） iii)ghfhfg（乘法的结合律）（乘法的结合律）iv）gffg （乘法的交换律）（乘法的交换律） v）ghfhhgf（分配律）（分配律） 我们把一个数环我们把一个数环R上一切上一切n个文字的多项式个文字的多项式 所成的集合，连同如上定义的加法和乘法叫做所成的集合，连同如上定义的加法和乘法叫做R上上n个文字个文字 的的多项式环多项式环，简称，简称R上上n元多项元多项式环，记作式环，记作: .nxxx,21nxxx,21nxxxR,21二、二、n元多项式的

8、字典排列法元多项式的字典排列法设设 是数环是数环R上一个不等于零的上一个不等于零的n元多项元多项式式. 设设nxxxf,21（2） ，nknkkxxax21210a（3） nlnllxxbx21210b是是 的两个不同的项，那么在这两项对的两个不同的项，那么在这两项对应的幂指数的差应的幂指数的差 中，至少有一个不中，至少有一个不等于零等于零.如果在这些差中，第一个不等于零的数是一如果在这些差中，第一个不等于零的数是一个正数，换句话说，如果存在这样一个个正数，换句话说，如果存在这样一个 i ,使得使得nxxxf,21nilkii1ni 1iiiilklklk但,1111那么就说，项（那么就说，项

9、（2）大于项（）大于项（3），或者说，项（），或者说，项（3）小于项（小于项（2）.对于对于 的任意两个不同的任意两个不同的项，总有一个大于另一个，并且若项（的项，总有一个大于另一个，并且若项（2）大于）大于项（项（3），而项（），而项（3）又大于另外一项）又大于另外一项nxxxf,21（4）02121cxxcxnmnmm那么项（那么项（2）也大于项（）也大于项（4）.这样，只要把两项中较这样，只要把两项中较大的一项排在前面，多项式大的一项排在前面，多项式 的各项的各项就有了完全确定的次序就有了完全确定的次序.这种排列多项式的项的方法这种排列多项式的项的方法很像字典里字的排列法，所以通常把这种

10、排列法叫很像字典里字的排列法，所以通常把这种排列法叫做做多项式的字典排列法多项式的字典排列法.例如例如nxxxf,2123,42324322133221414321xxxxxxxxxxxxxf就是按字典排列法书写的一个四元多项式就是按字典排列法书写的一个四元多项式. 数环数环R上两个上两个n元多项式元多项式 与与 的乘积的首项等于这两个多项式首项的乘积的首项等于这两个多项式首项的乘积的乘积. 特别，两个非零多项式的乘积也不等于零特别，两个非零多项式的乘积也不等于零.nxxxf,21nxxxg,21定理定理 2.9.12.9.1数环数环R上两个不等于零的上两个不等于零的n元多项式的乘积的次数等元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的和于这两个多项式次数的和.定理定理 2.9.22.9.2设设 是数环是数环R上一个上一个n元多项式元多项式.如果对如果对于任意于任意 都有都有 ，那，那么么 .nxxxf,21nnRccc,210,21ncccf0,21nxxxf定理定理 2.9.32.9.3三、三、 n n元多项式的有关结论元多项式的有关结论设设 与与 是数环是数环R上上n元多元多项式项式.如果对于任意如果