类比推理课件

1、北师大选修北师大选修2-2第一章第一章 复习回顾复习回顾 简言之简言之, ,归纳推理是由归纳推理是由部分到整体部分到整体、由、由个别到一个别到一般般的推理。的推理。 根据一类事物的部分对象具有某种性质根据一类事物的部分对象具有某种性质, ,推出这推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理类事物的所有对象都具有这种性质的推理, , 称为称为归纳归纳推理推理( (简称简称归纳归纳). ).1.归纳推理：归纳推理：2.归纳推理的步骤：归纳推理的步骤：实验观察实验观察概括推广概括推广猜想一般性结论猜想一般性结论注意：归纳推理的结论不一定正确注意：归纳推理的结论不一定正确 春秋时代鲁国的鲁班，木匠业的祖

2、师。一春秋时代鲁国的鲁班，木匠业的祖师。一次去林中砍树被一株齿形的茅草割破了手。这次去林中砍树被一株齿形的茅草割破了手。这件事给了他启发，从而发明了锯子件事给了他启发，从而发明了锯子. .一年夏天，鲁班上山砍树，因为坡陡路滑，而且横七竖八地长满一年夏天，鲁班上山砍树，因为坡陡路滑，而且横七竖八地长满了小树、杂草，行走非常不便。鲁班只好搀着树木、拽着茅草往上了小树、杂草，行走非常不便。鲁班只好搀着树木、拽着茅草往上爬。忽然，脚底一滑，身体便顺着山坡往下滚去，鲁班急中生智，爬。忽然，脚底一滑，身体便顺着山坡往下滚去，鲁班急中生智，急忙抓住一把茅草，由于没有抓牢，反而感到手掌心疼痛无比。滑急忙抓住一

3、把茅草，由于没有抓牢，反而感到手掌心疼痛无比。滑到山脚，鲁班狼狈地爬了起来，伸开手掌一看，掌心已是鲜血淋漓。到山脚，鲁班狼狈地爬了起来，伸开手掌一看，掌心已是鲜血淋漓。鲁班非常惊奇，为何一把茅草能够划破人的手掌。鲁班顾不得疼痛，鲁班非常惊奇，为何一把茅草能够划破人的手掌。鲁班顾不得疼痛，沿着滑下来的山坡，爬上去一看，这丛茅草与别的草没有两样。鲁沿着滑下来的山坡，爬上去一看，这丛茅草与别的草没有两样。鲁班不甘心，便揪下一根茅草仔细地观察起来。这茅草的叶子很怪，班不甘心，便揪下一根茅草仔细地观察起来。这茅草的叶子很怪，叶子两边都长着锋利的小细齿，人手握紧它一拽，手掌就会被划破。叶子两边都长着锋利的

4、小细齿，人手握紧它一拽，手掌就会被划破。鲁班又试着用茅草在他的手指上拉了一下，果然又划开一道血口。鲁班又试着用茅草在他的手指上拉了一下，果然又划开一道血口。鲁班从这件事中得到启发，心想：如果仿照茅草细齿，来做一件鲁班从这件事中得到启发，心想：如果仿照茅草细齿，来做一件边缘带有细齿的工具，用它来锯树，岂不比斧砍更快、更好吗？鲁边缘带有细齿的工具，用它来锯树，岂不比斧砍更快、更好吗？鲁班忘记疼痛，转身下山，做起试验来。在金属工匠的帮助下，鲁班班忘记疼痛，转身下山，做起试验来。在金属工匠的帮助下，鲁班做了一把带有许多细齿的铁条。鲁班将这件工具拿去锯树，果然又做了一把带有许多细齿的铁条。鲁班将这件工具

5、拿去锯树，果然又快又省力。锯子就这样发明了。快又省力。锯子就这样发明了。探究一：探究一：鲁班从茅草割破手这件事得到启鲁班从茅草割破手这件事得到启发，而发明了锯子。他当时的思发，而发明了锯子。他当时的思维过程是不是归纳推理？维过程是不是归纳推理？ 相似点相似点: :功能功能 （前提）（前提） 形状形状 ( (猜想的结论猜想的结论) )能割破手能割破手能割断木头能割断木头齿形齿形齿形齿形茅茅 草草锯锯 子子探究二：火星上是否存在生命探究二：火星上是否存在生命简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理类比具有发现的功能类比具有发现的功能平面向量平面向量空间向量空

6、间向量a bab ab ab 112233(,) a bab ab ab 112233(,) aaaaR 123(,)()a b ababab 1 12 23 3 a bab ab abR 112233/,() ababa ba b 1 12 23 30若若 ， 则则 aa a a123( , , )bb b b123( , , )abab ab1122(,)1122abab ab(,)aaaR 12(,)()a ba ba b1 122 a bab abR 1122/,()aba ba b1 1220若若 ， 则则 12aa a (,)bb b12(,)2212|aaa222123|aaaa

7、 检验猜想。检验猜想。观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤: 找出两类对象之间可以确切表述的找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；类对象的特征，从而得出一个猜想；2、试根据等式的性质猜想不等式的性质。、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2; 猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(

8、3) aba2b2;问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？合作探究合作探究试将平面上的圆和空间里的球进行类比试将平面上的圆和空间里的球进行类比球球. .合作探究合作探究1.类似特征类似特征圆圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形是平面内封闭的曲线所围成的对称图形 球球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形是空间中封闭的曲面所围成的对称图形. .圆圆球球的定义：空间里，到定点的距离等于定长的点的集合的定义：空间里，到定点的距离等于定长的点的集合圆圆的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合 弦弦 直径直径 切线切线周长周长

9、（封闭曲线的长）（封闭曲线的长）面积面积（封闭曲线围成的面积）（封闭曲线围成的面积）试将平面上的圆和空间里的球进行类比试将平面上的圆和空间里的球进行类比截面圆截面圆过球心的截面圆过球心的截面圆( (大圆大圆) )切面切面表面积表面积（封闭曲面的面积）（封闭曲面的面积）体积（体积（封闭曲面围成的体积）封闭曲面围成的体积）球球. .合作探究合作探究2.类比类比. .圆圆圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y

10、0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面( (圆面圆面) )的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积与球心距离不相等的两截面面积不相等不相等, ,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心, r, r

11、为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积3 34 4V = RV = R3 3球的表面积球的表面积2 2S = 4RS = 4R圆的周长圆的周长 S = 2RS = 2R圆的面积圆的面积2 2S =RS =R等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式前前n项和项和12)nnaadn（()nmaanm d11()2(1)2nnn aaSn nnad1:2)nnaaqn（n mnmaa

12、q11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaa q等差数列等差数列等比数列等比数列中项中项任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项 ，为，为2ba当且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项 ，为，为ab232,mmmmmSSSSS成等差数列成等差数列232,mmmmmSSSSS成等比数列成等比数列 我们要根据实际情况选择适当我们要根据实际情况选择适当的类比对象如：的类比对象如：平面平面空间空间正方形正方形正方体正方体圆圆球球三角形三角形三棱锥三棱锥四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）球球线线几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三

13、角形三角形圆圆代数中常见的类比对象代数中常见的类比对象平面几何平面几何立体几何立体几何点点, , ,S,_.ABCa b cABC例例1 1：已已知知三三边边长长为为面面积积为为 则则内内切切圆圆半半径径r r= =2Sabc 分析：面积法分析：面积法1234,A-BCD,R_.S SSSV 根根据据类类比比推推理理的的方方法法 若若一一个个四四面面体体四四个个面面的的面面积积分分别别为为体体积积为为 ，则则四四面面体体的的内内切切球球半半径径12343VSSSS , , ,S,2.ABCa b cSABCabc 变变式式： 已已知知三三边边长长为为面面积积为为 则则内内切切圆圆半半径径r r

14、= =ABCDOO（1010年全国卷第年全国卷第1515题）题）在平面几何里在平面几何里, ,有勾股定理有勾股定理:“:“设设ABCABC的两边的两边ABAB、ACAC互互相垂直，则相垂直，则ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2.”.”拓展到空间，类比平面几何拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是可以得出的正确结论是“设三棱锥设三棱锥A-BCDA-BCD的三个侧面的三个侧面ABCABC、ACDACD、ADBADB两两互相垂直，则：两两互相垂直，则：_.”DABC2222BCDABCACDADBSSSSABC 484128161216412,.,_,_,.(09)nnnnanSSSSSSSSbnTTTT 设设等等差差数数列列的的前前 项项和和为为则则，成成等等差差数