第2章 测量误差与数据处理

1、测量误差与数据处理测量误差与数据处理 测量的目的是获取测量的目的是获取被测量的真实值被测量的真实值。但由于种。但由于种种原因，例如，传感器种原因，例如，传感器本身性能本身性能不十分优良，不十分优良，测量测量方法方法不十分完善，不十分完善，外界干扰外界干扰的影响等，都会造成被的影响等，都会造成被测参数的测量值与真实测参数的测量值与真实值不一致，两者不一致程度值不一致，两者不一致程度用测量误差表示。用测量误差表示。 测量误差与数据处理测量误差与数据处理 2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念2.2 2.2 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理2.3 2.3 测量不确定度测量不确定度2.4

2、 2.4 最小二乘法与回归分析最小二乘法与回归分析2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念一、误差的定义及表示法一、误差的定义及表示法测量误差：测量误差：就是测量结果测量结果与被测量真值真值之间的差。 0XX 被测量的真值被测量的真值理论真值理论真值：绝对真值规定真值规定真值：国际上公认的某些基准量值。相对真值相对真值：计量器具的上下等级之间。测量误差测量误差测量结果测量结果测量误差与数据处理测量误差与数据处理真值真值测量误差的表示方法有多种，含义各异。测量误差的表示方法有多种，含义各异。 1 1、绝对误差：、绝对误差： 可正可负，是有单位的物理量。可正可负，是有单位的物理量。 注：采用绝

3、对误差表示测量误差，不能很好说明注：采用绝对误差表示测量误差，不能很好说明测量质量的好坏。测量质量的好坏。2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念一、误差的定义及表示法一、误差的定义及表示法 测量误差与数据处理测量误差与数据处理某采购员分别在三家商店购买某采购员分别在三家商店购买100kg大米、大米、10kg苹苹果、果、1kg巧克力，发现均缺少约巧克力，发现均缺少约0.5kg，但该采购员但该采购员对卖巧克力的商店意见最大，是何原因？对卖巧克力的商店意见最大，是何原因？ 0XX 2 2、相对误差、相对误差 可正可负，是无单位的物理量。可正可负，是无单位的物理量。 2.1 2.1 误差的基本概

4、念误差的基本概念一、误差的定义及表示法一、误差的定义及表示法 %100%10000XX注：由于被测量的真实值注：由于被测量的真实值X0无法知道，实际测量时用无法知道，实际测量时用测量值测量值X代替真实值代替真实值X0进行计算，这个相对误差称为进行计算，这个相对误差称为标称相对误差标称相对误差。测量误差与数据处理测量误差与数据处理3 3、引用误差、引用误差 2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念一、误差的定义及表示法一、误差的定义及表示法 引用误差引用误差是一种简化和实用方便的是一种简化和实用方便的相对误差相对误差，是，是仪表仪表中中通用通用的一种误差表示方法。它是的一种误差表示方法。它是

5、相对仪表相对仪表满量程满量程的一种误差，一般也用百分数表示，即：的一种误差，一般也用百分数表示，即：%100mfX式中：式中： Xm为测量仪表的量程。为测量仪表的量程。可正可负，是无单位的物理量。可正可负，是无单位的物理量。测量误差与数据处理测量误差与数据处理3 3、引用误差、引用误差 2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念一、误差的定义及表示法一、误差的定义及表示法 测量仪表的精度等级测量仪表的精度等级是根据是根据最大引用误差最大引用误差来确定的，即绝来确定的，即绝对误差的最大绝对值对误差的最大绝对值 与量程之比。与量程之比。电测量电测量仪表的精度等级指数仪表的精度等级指数分为分为7级

6、：级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及及5.0。最大引用误差不能超过仪表精度等级指数。最大引用误差不能超过仪表精度等级指数的百分数，即：的百分数，即：例如，例如，0.5级表的引用误差的最大值不超过级表的引用误差的最大值不超过0.5%，1.0级级表的引用误差的最大值不超过表的引用误差的最大值不超过1%。 m%100mmfmX%fm测量误差与数据处理测量误差与数据处理3 3、引用误差、引用误差 2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念一、误差的定义及表示法一、误差的定义及表示法 %100mmfmXxXxmmm%100测量误差与数据处理测量误差与数据处理最大引用误差最大引用误差:

7、当示值为当示值为x时可能产生的最大相对误差为时可能产生的最大相对误差为:用仪表测量示值为用仪表测量示值为x的被测量时，比值越大，测量结果的的被测量时，比值越大，测量结果的相对误差越大。相对误差越大。3 3、引用误差、引用误差 2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念一、误差的定义及表示法一、误差的定义及表示法 测量误差与数据处理测量误差与数据处理思考：思考：如果要测量一个如果要测量一个40V左右的电压，现有两块左右的电压，现有两块电压表，其中一块量程为电压表，其中一块量程为50V、1.5级，另一块量程级，另一块量程为为100V、1.0级，问应选用哪一块表测量比较合适？级，问应选用哪一块表测

8、量比较合适？2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念二、误差的来源二、误差的来源 1、装置误差：标准器具误差、仪器仪表误差、附件、装置误差：标准器具误差、仪器仪表误差、附件误差。误差。2、环境误差：基本误差、附加误差。、环境误差：基本误差、附加误差。3、方法误差、方法误差4、人员误差、人员误差测量误差与数据处理测量误差与数据处理2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念三、三、*误差的分类误差的分类 根据测量数据中的误差所呈现的规律，将误差根据测量数据中的误差所呈现的规律，将误差分为三种：分为三种： 系统误差系统误差 随机误差随机误差 粗大误差粗大误差测量误差与数据处理测量误差与数据处理

9、2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念三、误差的分类三、误差的分类 测量误差与数据处理测量误差与数据处理夏天摆夏天摆钟钟变慢的变慢的原因是什么？原因是什么？系统误差：对同一被测量进行多次重复系统误差：对同一被测量进行多次重复测量时（测量时（等精度测量等精度测量），绝对值和符号），绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差称为系统误差。例如，标律变化的误差称为系统误差。例如，标准量值的不准确及仪表刻度的不准确而准量值的不准确及仪表刻度的不准确而引起的误差。引起的误差。2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念三、误差的分类三、误差的分类

10、测量误差与数据处理测量误差与数据处理随机误差：对同一被测量进行多次重复测量时（随机误差：对同一被测量进行多次重复测量时（等等精度测量精度测量），绝对值和符号不可预知的随机变化，），绝对值和符号不可预知的随机变化，但就误差的总体而言，具有一定的统计规律性的误但就误差的总体而言，具有一定的统计规律性的误差称为随机误差。差称为随机误差。2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念三、误差的分类三、误差的分类 测量误差与数据处理测量误差与数据处理粗大误差：明显偏离测量结果的误差称为粗大误差，粗大误差：明显偏离测量结果的误差称为粗大误差，又称疏忽误差。这类误差是由于测量者疏忽大意或又称疏忽误差。这类误差

11、是由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化产生的。对于粗大误差，首先环境条件的突然变化产生的。对于粗大误差，首先应设法判断是否存在，然后将其剔除。应设法判断是否存在，然后将其剔除。测量误差与数据处理测量误差与数据处理2.1 2.1 误差的基本概念误差的基本概念三、表征测量结果质量的指标三、表征测量结果质量的指标 正确度：由于系统误差而使测量结果与被测量值的正确度：由于系统误差而使测量结果与被测量值的 偏离程度。偏离程度。 精密度：相同条件下，多次重复测量所得结果彼此精密度：相同条件下，多次重复测量所得结果彼此 间符合的程度。间符合的程度。 准确度：测量结果与被测真值偏离的程度。准确度：测量结果与

12、被测真值偏离的程度。不确定度：合理赋予被测量之值的分散性。不确定度：合理赋予被测量之值的分散性。测量误差与数据处理测量误差与数据处理测量误差与数据处理测量误差与数据处理2.2 2.2 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理一、一、 随机误差随机误差随机误差为：随机误差为： 式中，式中， xi 测量值；测量值； X0 真值；真值； 0Xxii测量误差与数据处理测量误差与数据处理2.2 2.2 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理概念：测量列对同一量值进行多次反复测量时，得到的一概念：测量列对同一量值进行多次反复测量时，得到的一 系列不同的测量值。系列不同的测量值。一、一、 随机误差服从或近

13、似服从正态分布随机误差服从或近似服从正态分布正态分布的概率密度函数：正态分布的概率密度函数：测量误差与数据处理测量误差与数据处理1 1 随机误差的分布规律（正态分布）随机误差的分布规律（正态分布）对称性：分布曲线关于纵坐标对称，表明绝对值相对称性：分布曲线关于纵坐标对称，表明绝对值相等的正、负随机误差出现的机会相等。等的正、负随机误差出现的机会相等。单峰性：绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误单峰性：绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的概率大。差出现的概率大。有界性：测量（在一定的测量条件下）的随机误差有界性：测量（在一定的测量条件下）的随机误差总是有一定的界限而不会无限大。总是有一定

14、的界限而不会无限大。抵偿性：由特征和不难推出抵偿性：由特征和不难推出，当测量次数当测量次数n时时， 随机误差的代数和趋近于零随机误差的代数和趋近于零。该性质极为重要该性质极为重要，利用这一性质建立的数据处理法可以有效的减少随机利用这一性质建立的数据处理法可以有效的减少随机误差的影响误差的影响。测量误差与数据处理测量误差与数据处理由于随机误差大部分按正态分布规律出现的，具由于随机误差大部分按正态分布规律出现的，具有统计意义，通常以正态分布曲线的两个参数算有统计意义，通常以正态分布曲线的两个参数算术平均值和标准差作为评价指标。术平均值和标准差作为评价指标。 （1）算术平均值）算术平均值 （2）标准

15、差）标准差2、 随机误差的评价指标随机误差的评价指标 算数平均值算数平均值对被测量进行等精度的对被测量进行等精度的n次测量，得次测量，得n个测量值个测量值x1，x2，xn，它们的算术平均值为：，它们的算术平均值为：n时，时，因此，算术平均值是诸测量值中最可信赖的。因此，算术平均值是诸测量值中最可信赖的。 niinxnxxxnx1211)(101011)(11XXnxnxniniinii测量误差与数据处理测量误差与数据处理测量误差与数据处理测量误差与数据处理随机误差为：随机误差为： 式中，式中， xi 测量值；测量值； X0 真值；真值； 0Xxiixxvii 一般情况下，由于被测量的真值未知，

16、常用算术一般情况下，由于被测量的真值未知，常用算术平均值来代替其真值，称：残余误差（简称残差）平均值来代替其真值，称：残余误差（简称残差）iv 标准差标准差 测量的标准偏差称为标准差，也称为均方根误差测量的标准偏差称为标准差，也称为均方根误差。 *算术平均值是反映随机误差的分布中心，而标准算术平均值是反映随机误差的分布中心，而标准差则反映随机误差的分布范围。差则反映随机误差的分布范围。 标准差的特性与估计：标准差的特性与估计： 测量列中单次测量值的标准差测量列中单次测量值的标准差 测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差 测量误差与数据处理测量误差与数据处理测量误差与数据处理测量误差与

17、数据处理 （1）测量列中单次测量值的标准差）测量列中单次测量值的标准差0Xxii测量误差与数据处理测量误差与数据处理 （1）测量列中单次测量值的标准差）测量列中单次测量值的标准差可见：标准差可见：标准差越小，越小，测量数据越集中，测量数据越集中，曲线越陡，测量精度越高。曲线越陡，测量精度越高。测量误差与数据处理测量误差与数据处理 （2）测量列算术平均值的标准差）测量列算术平均值的标准差但当n10时， 值的减小不明显，并且加大工作量，还可能因时间长而破坏等精度测量的条件。因此，测量次数n一般取10。测量误差与数据处理测量误差与数据处理3 3测量值的置信区间与置信概率测量值的置信区间与置信概率置信

18、区间：估计真值以多大概率包含在某一数值区间置信区间：估计真值以多大概率包含在某一数值区间. .置信限：置信限：置信区间的界限。 K是置信系数是置信系数（置信因子置信因子）置信概率（置信水平）置信概率（置信水平） ：置信区间包含真值的概率。置信度：置信区间置信度：置信区间与置信概率置信概率合起来说明了测量结果的可靠程度，称为置信度。klim)k( )()()(kdPkPPkka是标准差是标准差一般用一般用3 3作为随机误差限，如果某误差大于作为随机误差限，如果某误差大于3 3，则认为该测量误差为坏值，予以剔出。则认为该测量误差为坏值，予以剔出。 k0.674511.9622.5834Pa0.50

19、.68260.950.95450.990.99730.99994几个典型的置信系数几个典型的置信系数k值及其相应的概率值及其相应的概率Paxxx3)9973. 0(P置信概率 测量结果可表示为（计算得到的真值和真值的测量结果可表示为（计算得到的真值和真值的均方根偏差）：均方根偏差）：测量误差与数据处理测量误差与数据处理值算术平均值的均方根算术平均值xx例题：例题： 对某一温度进行对某一温度进行10次精密次精密测量，测量数据如表所示，设测量，测量数据如表所示，设这些测得值已消除系统误差和这些测得值已消除系统误差和粗大误差粗大误差, 求测量结果求测量结果 和相应和相应的概率的概率 。序号测量值xi

20、残余误差vivi2185.710.030.0009285.63-0.050.0025385.65-0.030.0009485.710.030.0009585.690.010.0001685.690.010.0001785.700.020.0004885.6800985.66-0.020.00041085.680068.85x0iv0062. 02iv测量误差与数据处理测量误差与数据处理xPaxxxxxx301. 0008. 010026. 0nx%73.9903. 068.853%26.6801. 068.85PxxPxxxx，或，测量误差与数据处理测量误差与数据处理026. 01100062

21、. 0121211)(ninivxxnini二、二、 系统误差系统误差1. 系统误差的根源系统误差的根源 系统误差是在一定的测量条件下，测量值中含有固系统误差是在一定的测量条件下，测量值中含有固定不变或按一定规律变化的误差。系统误差不具有抵偿定不变或按一定规律变化的误差。系统误差不具有抵偿性，重复测量也难以发现，在工程测量中应特别注意系性，重复测量也难以发现，在工程测量中应特别注意系统误差。统误差。 系统误差常见的变化规律 综合误差分布特征测量误差与数据处理测量误差与数据处理1. 系统误差的根源：系统误差的根源： 所用传感器、测量仪表或组成元件是否准确可靠。传感器所用传感器、测量仪表或组成元件

22、是否准确可靠。传感器仪表安装、调整或放置是否正确合理。如，没有调好仪表水平仪表安装、调整或放置是否正确合理。如，没有调好仪表水平位置，安装时仪表指针偏心等都会引起系统误差。位置，安装时仪表指针偏心等都会引起系统误差。 测量方法是否完善。如，用电压表测量电压，电压表的内测量方法是否完善。如，用电压表测量电压，电压表的内阻对测量结果有影响。阻对测量结果有影响。 传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。如，传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。如，环境、环境、 温度、温度、 湿度、气压等的变化也会引起系统误差。湿度、气压等的变化也会引起系统误差。 测量者的操作是否正确。如，读数时的

23、视差、视力疲劳等测量者的操作是否正确。如，读数时的视差、视力疲劳等都会引起系统误差。都会引起系统误差。 测量误差与数据处理测量误差与数据处理2. 2. 系统误差的发现系统误差的发现（1）不变的系统误差）不变的系统误差 实验对比法：这种方法是通过改变产生系统误差的条件实验对比法：这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量，以发现系统误差。这种方法适用从而进行不同条件的测量，以发现系统误差。这种方法适用于发现固定的系统误差。于发现固定的系统误差。测量误差与数据处理测量误差与数据处理 例如，一台测量仪表本身存在固定的系统误差，即使进行例如，一台测量仪表本身存在固定的系统误差，即使进行

24、多次测量也不能发现，只有用精度更高一级的测量仪表测量，多次测量也不能发现，只有用精度更高一级的测量仪表测量，才能发现这台测量仪表的系统误差。才能发现这台测量仪表的系统误差。 （2 2）变化的系统误差）变化的系统误差残余误差观察法：这种方法是根据测量值的残余误差的大残余误差观察法：这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形判断小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形判断有无变化的系统误差。有无变化的系统误差。 下图中把残余误差按测量值先后顺下图中把残余误差按测量值先后顺序排列，图（序排列，图（a）的残余误差排列后有递减的变值系统误差，的残余误差排列

25、后有递减的变值系统误差，图（图（b）则可则可能有周期性系统误差。能有周期性系统误差。 测量误差与数据处理测量误差与数据处理xxvii（2 2）变化的系统误差）变化的系统误差残余误差观察法：残余误差观察法： 这种方法只适用于系统误差比随机误差大的情况。这种方法只适用于系统误差比随机误差大的情况。 当系统误差比随机误差小时，不能通过观察来发现系统当系统误差比随机误差小时，不能通过观察来发现系统误差。此时就要通过一些判断准则误差。此时就要通过一些判断准则 来发现系统误差。来发现系统误差。 这些准则实质上是这些准则实质上是校验误差的分布是否偏离正态分布校验误差的分布是否偏离正态分布。测量误差与数据处理

26、测量误差与数据处理常用的有：马利科夫准则、阿贝赫梅特准则常用的有：马利科夫准则、阿贝赫梅特准则 马利科夫准则：把同一条件下马利科夫准则：把同一条件下n次测得值的残余误差次测得值的残余误差v1，v2，vn，依测量次序，分为前后两组求和，然后，依测量次序，分为前后两组求和，然后把两组残差和相减，即：把两组残差和相减，即： K=n/2 ； n为偶数为偶数 K=(n+1)/ 2 ； n为奇数为奇数测量误差与数据处理测量误差与数据处理nKiikiivvM11若若M显著不为零，则测量中存在线性系统误差；显著不为零，则测量中存在线性系统误差；若若M近似等于零，说明测量中不存在线性系统误差；近似等于零，说明测

27、量中不存在线性系统误差；M=0时，无法判断是否存在系统误差。时，无法判断是否存在系统误差。结论结论马利科夫准则适用于发现线性系统误差。马利科夫准则适用于发现线性系统误差。阿贝准则适用于发现周期性系统误差阿贝准则适用于发现周期性系统误差 检查残余误差是否偏离正态分布，若偏离，则检查残余误差是否偏离正态分布，若偏离，则可能存在周期变化的系统误差。可能存在周期变化的系统误差。具体：将测量值的残余误差按测量顺序排列，且设具体：将测量值的残余误差按测量顺序排列，且设 若若 ，则可能含有周期性系统误差。，则可能含有周期性系统误差。 测量误差与数据处理测量误差与数据处理111niiivvA 3. 系统误差的

28、减小系统误差的减小（1 1）从产生误差的根源上减小系统误差：选择准确度等级高）从产生误差的根源上减小系统误差：选择准确度等级高的设备；使设备在规定条件下工作的设备；使设备在规定条件下工作（2）利用修正方法减小系统误差：预先得到设备的系统误差，）利用修正方法减小系统误差：预先得到设备的系统误差，将实际测量值加上误差的修正值将实际测量值加上误差的修正值（3）减小不变系统误差的方法）减小不变系统误差的方法 替代法：在不改变实验条件下，用标准量代替被测量替代法：在不改变实验条件下，用标准量代替被测量 抵偿法：使两次测量所产生的系统误差相互抵消抵偿法：使两次测量所产生的系统误差相互抵消 交换法：交换某些

29、实验条件，以减小系统误差交换法：交换某些实验条件，以减小系统误差测量误差与数据处理测量误差与数据处理3. 系统误差的减小系统误差的减小（4）减小线性系统误差的对称法：）减小线性系统误差的对称法： 若被测量随时间的变化系统误差线性增加，则若被测量随时间的变化系统误差线性增加，则选定测量时间内的某点为中点，取对称于此点的两选定测量时间内的某点为中点，取对称于此点的两次读数的算术平均值作为测量值。次读数的算术平均值作为测量值。（5）减小周期性系统误差的半周期法：）减小周期性系统误差的半周期法： 对于周期性系统误差，相隔半周期进行测量，对于周期性系统误差，相隔半周期进行测量，取两次读数的平均值作为测量

30、值。取两次读数的平均值作为测量值。测量误差与数据处理测量误差与数据处理三、三、 粗大误差粗大误差1. 3（莱以特）准则（莱以特）准则 通常把等于通常把等于3的误差称为极限误差，作为鉴别限。的误差称为极限误差，作为鉴别限。3准准则就是如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对则就是如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值值|vi|3时，则该测量值为可疑值（坏值），应剔除。时，则该测量值为可疑值（坏值），应剔除。 2. 格罗布斯准则格罗布斯准则 某个测量值的残余误差的绝对值某个测量值的残余误差的绝对值|vi|g0（n, ），则判，则判断此值中含有粗大误差，应予剔除，即格罗布斯准则。断此值中

31、含有粗大误差，应予剔除，即格罗布斯准则。 其中：其中：g0 （n, ）值与重复测量次数值与重复测量次数n和显著性水平和显著性水平有关，有关，见表。见表。测量误差与数据处理测量误差与数据处理格罗布斯准则中的格罗布斯准则中的g0 （n, ）值值测量误差与数据处理测量误差与数据处理四、测量结果的数据处理步骤四、测量结果的数据处理步骤 例：对一轴径等精度测量例：对一轴径等精度测量9 9次，测量数据见表，求测量结果。次，测量数据见表，求测量结果。测量误差与数据处理测量误差与数据处理解：解：1）求算术平均值）求算术平均值2）求残余误差）求残余误差Vi（i=1, 2, , n）3）求单次测量值的标准差估计值

32、）求单次测量值的标准差估计值4）判断系统误差）判断系统误差5）判别并剔出粗大误差）判别并剔出粗大误差6）求算术平均值的标准差估计值）求算术平均值的标准差估计值7）求算术平均值的置信限）求算术平均值的置信限8）写出最后测量结果（表示方法算术平均值置信限）写出最后测量结果（表示方法算术平均值置信限） 测量误差与数据处理测量误差与数据处理测量误差与数据处理测量误差与数据处理解：解：1）求算术平均值）求算术平均值mmx775.249974.2222）求残余误差）求残余误差Vi（i=1, 2, , n）3）求单次测量值的标准差估计值）求单次测量值的标准差估计值mm0029. 0mm8000069. 01

33、)(12nxxnii)4）判断系统误差）判断系统误差 马利科夫准则：因为马利科夫准则：因为n=9，则：，则： 因为差值因为差值M较小，可以判断该测量列无线性系统误差。较小，可以判断该测量列无线性系统误差。mm001. 0mm)001. 0(09651iiiivvM解：解：5）判别并剔出粗大误差）判别并剔出粗大误差按格罗布斯准则判别：按格罗布斯准则判别：经检查，所有的经检查，所有的 故可判断测量列中不存在粗大误差。故可判断测量列中不存在粗大误差。6）求算术平均值的标准差估计值）求算术平均值的标准差估计值006. 00029. 011. 2)05. 0 , 9(),(00gngKG测量误差与数据处

34、理测量误差与数据处理)9,.,2 , 1( iKvGix0.001mmmm90029. 0nx)解：解：7）求算术平均值的置信限）求算术平均值的置信限当当P=0.95、v=n-1=8时，查表得时，查表得ta=2.31（因为测量数据少，（因为测量数据少，采用采用t分布值），于是有分布值），于是有8）写出最后测量结果）写出最后测量结果最后测量结果通常用算术平均值及其置信限来表示，即最后测量结果通常用算术平均值及其置信限来表示，即测量误差与数据处理测量误差与数据处理mm0023. 0mm001. 031. 2limxaxtmm)0023. 0755.24(limxxLn10.002 ta0.50.2

35、0.10.050.020.010.0050.001113.0786.31412.70631.82163.657127.321318.309636.61920.8161.8862.924.3036.9659.92514.08922.32731.59930.7651.6382.3533.1824.5415.8417.45310.21512.92440.7411.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.6150.7271.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.86960.7181.441.9432.4473.1433.7074.3175.

36、2085.95970.7111.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.40880.7061.3971.862.3062.8963.3553.8334.5015.04190.7031.3831.8332.2622.8213.253.694.2974.781100.71.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587110.6971.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437120.6951.3561.7822.1792.6813.0553.4283.934.318130.6941.351.7712.1

37、62.653.0123.3723.8524.221140.6921.3451.7612.1452.6242.9773.3263.7874.14150.6911.3411.7532.1312.6022.9473.2863.7334.073160.691.3371.7462.122.5832.9213.2523.6864.015170.6891.3331.742.112.5672.8983.2223.6463.965180.6881.331.7342.1012.5522.8783.1973.613.922190.6881.3281.7292.0932.5392.8613.1743.5793.883

38、200.6871.3251.7252.0862.5282.8453.1533.5523.85t 分分 布布 值值 表表五五、不等精度测量的权与误差、不等精度测量的权与误差 前面讲述的内容是等精度测量的问题。即多次重前面讲述的内容是等精度测量的问题。即多次重复测量得的各个测量值具有相同的精度，可复测量得的各个测量值具有相同的精度，可用同一个用同一个均方根偏差均方根偏差值来表征值来表征，或者说具有相同的可信赖程或者说具有相同的可信赖程度。度。 在科学实验或高精度测量中，为了提高测量的可在科学实验或高精度测量中，为了提高测量的可靠性和精度，往往在不同的测量条件下，用不同的测靠性和精度，往往在不同的测

39、量条件下，用不同的测量仪表，不同的测量方法，不同的测量次数以及不同量仪表，不同的测量方法，不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，则认为它们是的测量者进行测量与对比，则认为它们是不等精度不等精度的的测量。测量。测量误差与数据处理测量误差与数据处理 1. “权权”的概念的概念 在不等精度测量时，对同一被测量进行m组测量，得到m组测量列（进行多次测量的一组数据称为一测量列）的测量结果及其误差，它们不能同等看待。精度高的测量列具有较高的可靠性，将这种可靠性的大小称为“权” 。 “权权”可理解为各组测量结果相对的可信赖程度。可理解为各组测量结果相对的可信赖程度。测量次数多，测量方法完善，测量仪表

40、精度高，测量的环境条件好， 测量人员的水平高，则测量结果可靠，其权也大。权是相比较而存在的。 测量误差与数据处理测量误差与数据处理 权的计算方法：权的计算方法： 权用符号权用符号p表示，有两种计算方法：表示，有两种计算方法： 用各组测量列的测量次数用各组测量列的测量次数n的比值表示，并取测量的比值表示，并取测量次数较小的测量列的权为次数较小的测量列的权为1，则有，则有 p1 p2 pm= n1 n2 nm 用各组测量列的标准差平方的倒数的比值表示，并用各组测量列的标准差平方的倒数的比值表示，并取误差较大的测量列的权为取误差较大的测量列的权为1，则有，则有 p1 p2 pm=22221)1( :

41、.:)1( :)1(m测量误差与数据处理测量误差与数据处理 2. 加权算术平均值加权算术平均值 加权算术平均值不同于一般的算术平均值，应考加权算术平均值不同于一般的算术平均值，应考虑各测量列的权的情况。若对同一被测量进行虑各测量列的权的情况。若对同一被测量进行m组不组不等精度测量，得到等精度测量，得到m个测量列的算术平均值个测量列的算术平均值，相，相应各组的权分别为应各组的权分别为p1, p2, , pm，则加权平均值可用下，则加权平均值可用下式表示：式表示：ix miimiiimmmpppxppppxpxpxx 11212211测量误差与数据处理测量误差与数据处理miimiiipxpmvp1

42、12)1( 3 加权算术平均值的标准误差加权算术平均值的标准误差 当进一步计算加权算术平均值的标准误差时，当进一步计算加权算术平均值的标准误差时，也要考虑各测量列的权的情况，可由下式计算：也要考虑各测量列的权的情况，可由下式计算：px测量误差与数据处理测量误差与数据处理2.4 2.4 * *最小二乘法与回归分析最小二乘法与回归分析一、最小二乘法一、最小二乘法 测量误差与数据处理测量误差与数据处理最小二乘法最早称为回归分析法。由著名的英最小二乘法最早称为回归分析法。由著名的英国生物学家、统计学家道尔顿（国生物学家、统计学家道尔顿（F.Gallton）达尔文的表弟所创。达尔文的表弟所创。早年，道尔

43、顿致力于化学和遗传学领域的研究。早年，道尔顿致力于化学和遗传学领域的研究。他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间的关他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间的关系时，建立了回归分析法。系时，建立了回归分析法。对被测量进行等精度的对被测量进行等精度的n次测量，得次测量，得n个测量值个测量值x1，x2，xn，它们的算术平均值为：，它们的算术平均值为：测量误差与数据处理测量误差与数据处理 niinxnxxxnx1211)(1niixna11niiniiaxaax112)(2)(设设a为任意值，则有为任意值，则有令令0)(12aaxnii可得可得即即ninitiiniixxvxx112212)(min)(测

44、量结果的最可信赖值应在测量结果的最可信赖值应在残差平方和为最小残差平方和为最小的条件下求出。的条件下求出。任意其他量任意其他量2.4 2.4 最小二乘法与回归分析最小二乘法与回归分析一、最小二乘法一、最小二乘法 最小二乘法原理是一数学原理，它在误差的数据处理中最小二乘法原理是一数学原理，它在误差的数据处理中作为一种数据处理手段。最小二乘法原理就是要获得最可信作为一种数据处理手段。最小二乘法原理就是要获得最可信赖的测量结果，使各测量值的残余误差平方和为最小。赖的测量结果，使各测量值的残余误差平方和为最小。 在等精度测量和不等精度测量中，用在等精度测量和不等精度测量中，用算术平均值算术平均值或或加权加权算术平均值算术平均值作为多次测量的结果，因为它们符合最小二乘法作为多次测量的结果，因为它们符合最小二乘法原理。原理。 最小二乘法在组合测量的数据处理，实验曲线的拟合及最小二乘法在组合测量的数据处理，实验曲线的拟合及其它多种学科等方面，均获得了广泛的应用。其它多种