新北师大131正方形的性质习题含详细的复习资料解析

1、1.3.1正方形的性质习题解答一、选择题（共 13 小题）1、如图，ABC 是一个等腰直角三角形，DEFG 是其内接正方形,所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）E、F分别是正方形 ABCD 的边 CD, AD 上的点，且CE=DF AE，BF 相交于点 0,下列结论 AE=BF;）2 个D、4 个ABCD 中，AB=4，E 为 CD 上一动点，AE 交 BD 于 F，过 F 作 FH 丄 AE 于 H，过 H 作 GH 丄 BD 于G， AF=FH， / HAE=45，BD=2FG，CDE, BE 与 AC 相交于点 M，则/ AMD 的度数是（）C 54 D、67.5 6、在平面直角

2、坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是CA、C4、一个围棋盘由B、D、18x1 个边长为盖了一部分或全部的小方格共有A、4B 6C 10D、121 的正方形小方格组成，n 个，则 n 的最大值是（一块边长为 1.5 的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆）H 是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段2、如图所示，AE 丄 BF;A0=0E;SAOBFS四边形DEOF中，错误的有（C 3 个3、 如图， 在正方形 下列有四个结论： CEH 的周长为定值，其中正确的结论有（以 CD为边作2 / 25C 17D、257、在同一平面上，正方形 ABCD 的

3、四个顶点到直线 I 的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3 倍，这样的直线 I 可以有()A、4 条B 8 条C 12 条D、16 条A、V2V2飞10CD、V212169、搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD,彩线 BD、AN、CM 将正方形 ABCD 分成六部分，其中 M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点，AN 与 CM 交于 0 点.已知正方形 ABCD 的面积为 576cm2,ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，在BD 上截取 BE=BC 连接 CE 点 P 是 CE 上任意一点, )ADF为 BP中点，10、如图，正方

4、形PM 丄 BD 于 M , PN 丄 BC 于 N,若正方形 ABCD 的边长为 1 ,贝 U PM+PN=( )1，E 为 AD 中点，P 为 CE 中点,3 / 25BXNC4 / 2511、顶点为 A (6, 6), B (- 4, 3), C (- 1,- 7), D ( 9, - 4)的正方形在第一象限的面积是(A、25C 49D、30PC+PE 的和最小，则这个最小值为()A、4B 2 .:C 2D、2二、填空题(共 8 小题)14、如图，所示，将五个边长都为 1cm 的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D 分别是正方形对角线的交点、如果有 n 个这样大小的正方形这样摆放，

5、则阴影面积的总和是 _ cm2.15、如图，若正方体的边长为a，M 是 AB 的中点，则图中阴影部分的面积为_JCA hf B16、如图，以矩形 OABC 的顶点 0 为原点，0A 所在的直线为 x 轴，0C 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系、 已知 OA=3，A、C1V22B . :D、1+ . :12、ABCD 是边长为 1 的正方形, BPC 是等边三角形，则 BPD 的面积为A、二BC 丄D、13、如图，正方形 ABCD 的面积为16， ABE 是等边三角形，点E 在正方形 ABCD 内，在对角线 BD 上有一点 P,使5 / 25OC=2,点 E 是 AB 的中点，在 OA

6、上取一点。，将厶 BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，若 在 y 轴上存在点 P,且满足 FE=FP 贝 U P 点坐标为 _ .6 / 2517、如图，边长为 a 的正方形 ABCD 和边长为 b 的正方形 BEFG 排放在一起，O1和 02分别是两个正方形的中心，则 阴影部分的面积为_ ，线段 O1O2的长为_ .GFA BE18、已知正方形纸片 ABCD 的面积为 2007cm1 2 3 4.现将该纸片沿一条线段折叠 (如图)，使点 D 落在边 BC 上的点 D处, 点 A 落在点 A 处，A与 AB 交于点 E-则厶 BD E 的周长等于 _ cm.三、解答

7、填空题(共 6 小题)22、如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O, AF 平分/ BAC,交 BD 于点 F.2求证：此 OF 二 AC；3 点 A1、点 C1分别同时从 A、C 两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分/BA1C1, 交BD 于点 F1,过点 F1作 F1E 丄 A1C1，垂足为 E，请猜想 EFF，AB 与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；4 在(2)的条件下，当 A1E1=6, C1E1=4 时，贝 U BD 的长为 _一 .DC7 / 2519、已知正方形 ABCD 在直角坐标系内，点A (0, 1)，点 B (

8、0, 0),则点 C, D 坐标分别为 _ 和_ .(只写一组)20、如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1 的小正方形，点 A 与点 B 在两个格点上.在格点上存在点C,使厶 ABC 的面积为 2,则这样的点 C 有_ 个.21、已知正方形内接于圆心角为90 半径为 10 的扇形(即正方形的各顶点都在扇形上)L1，则这个正方形的边长为8 / 2525、如图，正方形 ABCD 中，AB=.；，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且 / BAE=30 / DAF=15 度.(1) 求证：DF+BE=EF(2) 则/ EFC 的度数为 _ 度；(3)_ 则厶 AEF 的面积为.26、已知正方形

9、 ABCD 的边长为 4cm, E, F 分别为边 DC, BC 上的点，BF=1cm, CE=2cm, BE, DF 相交于点 G,则 四边形CEGF 的面积为_cm2.n _tcD _ CBLA(逅)2+4X_2=-E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，点F 是 CB 的延长线上一点，且 EA 丄 AF.求证：DE=BF如图，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 DC BC 上,AG 丄 EF,垂足为 G,且 AG=AB,贝 U / EAF=23、( 1)计算:24、9 / 2527、如图，正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 n后得到正方形 AEFG 边 EF 与 CD 交于

10、点 0.(1)以图中已标有字母的点为端点连接两条线段 (正方形的对角线除外)，要求所连接的两条线段相交且互相垂直,并说明这两条线段互相垂直的理由；(2)若正方形的边长为 2 cm，重叠部分(四边形AEOD)的面积为，则旋转的角度n=_ 度.10 / 2511 / 25答案与评分标准一、选择题（共 13 小题）1、如图，ABC 是一个等腰直角三角形，DEFG 是其内接正方形，H 是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质。分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，

11、可以根据斜边长的不 同确定对数，可以做到不重不漏.解答：解：设 AB=3,图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1 的有 5 个，它们组成 10 对全等三角形；斜边长为的有 6 个，它们组成 15 对全等三角形；斜边长为 2 的有 2 个，它们组成 1 对全等三角形；共计 26 对.故选 C.点评：本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判 定方法并做到不重不漏.2、如图所示，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD, AD 上的点，且 CE=DF AE, BF 相交于点 0,下列结论 AE=BF；AE 丄 BF；A0=0E；SA

12、0B=S四边形DE0冲，错误的有（）C 3 个D、4 个考点：正方形的性质。分析：根据四边形 ABCD 是正方形及 CE=DF 可证出 ADEABAF,则得到：AE=BF，以及 ADE 和厶 BAF 的面 积相等，得到；SAAOB=S四边形DE0F可以证出/ ABO+ZBAO=90，则AE 丄 BF 一定成立.错误的结论是：A0=0E . 解答：解：四边形 ABCD 是正方形， CD=AD-CE=DFDE=AF ADEB BAFAE=BF,SAADE=SA BAF,ZDEA=ZAFB,ZEAD=ZFBASA0B=S四边形DEOF-ZABF+ZAFB=ZDAE+ZDEA=90 ZAFB+ZEAF

13、=90AE 丄 BF 一定成立. 错误的结论是：AO=OE . 故选 A.2 个12 / 25点评：本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质.3、如图，在正方形 ABCD 中，AB=4, E 为 CD 上一动点，AE 交 BD 于 F,过 F 作 FH 丄 AE 于 H,过 H 作 GH 丄 BD 于 G, 下列有四个结论： AF=FH ,/ HAE=45 ,BD=2FG ,ACEH 的周长为定值，其中正确的结论有()4AZECA、B、CD、考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：动点型。分析：(1 )作辅助线，延长 HF 交 AD 于点 L,连接 CF,通过证明 ADFACD

14、F,可得：AF=CF 故需证明 FC=FH 可证：AF=FH(2) 由 FH 丄 AE, AF=FH,可得：/ HAE=45 ;(3)作辅助线， 连接 AC交BD于点0,证BD=2FG只需证 OA=GF即可， 根据AOF FGH,可证OA=GF,故可 证BD=2FG;(4)作辅助线，延长 AD 至点 M ,使 AD=DM,过点 C 作 Cl/ HL,则 IL=HC 可证 AL=HE 再根据 ME4 MIC , 可证：CI=IM ,故厶CEM 的周长为边 AM 的长，为定值.解答：解：(1)连接 FC 延长 HF 交 AD 于点 L , BD 为正方形 ABCD 的对角线， /ADB=ZCDF=

15、45./ AD=CD, DF=DF, ADFACDF.FC=AF / ECF=/ DAF./ALH+ZLAF=90, ZLHC+ZDAF=90/ZECF=/ DAF, ZFHC=Z FCH,FH=FCFH=AF.(3)连接 AC 交 BD 于点 0,可知：BD=20A,/ZAFO+ZGFH=ZGHF+ZGFH, ZAFO=ZGHF./ AF=HF, ZAOF=ZFGH=90 AOFAFGH. OA=GF.13 / 25/ BD=20A,(4) 延长 AD 至点 M，使 AD=DM,过点 C 作 Cl/ HL,则：LI=HC, 根据 MEWAMIC，可得：CE=IM,同理，可得：AL=HEHE+

16、HC+EC=AL+LI+IM=AM=8 CEM 的周长为 8，为定值.故( 1) (2) (3) ( 4)结论都正确.故选 D.LDEHC点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等.4、一个围棋盘由 18X1 个边长为 1 的正方形小方格组成， 一块边长为 1.5 的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n 个，则 n 的最大值是()A、4B 6C 10D、12考点：正方形的性质。专题：作图题。分析：要 n 取最大值，就让边长为 1.5 的正方形卡片边与小方格的边成一定角度.解答：解：卡片的边长为 1.5，卡片的对角线长为 2v : v

17、3 ,且小方格的对角线长.:-X 1.5.故该卡片可以按照如图所示放置：图示为 n 取最大值的时候，n=12 .故选 D.点评：本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n 为最大值，是解题的关键.5、如图，四边形 ABCD 是正方形，以 CD 为边作等边三角形 CDE, BE 与 AC 相交于点 M，则/ AMD 的度数是() BD=2FG14 / 25考点：正方形的性质。专题：几何综合题；转化思想。分析：连接 BD,根据 BD, AC 为正方形的两条对角线可知 AC 为 BD 的垂直平分线， 所以/ AMD=AMB ,要求/ AMD, 求/ AMB

18、即可.解答：解：如图，连接 BD,/BCE=Z BCD+ZDCE=90+0 =150,BC=EC /EBC=Z BECA（180- ZBCE =152/ZBCM-/ BCD=45, /BMC=180- （ /BCM+ZEBC =120 ZAMB=180- ZBMC=60/ AC 是线段 BD 的垂直平分线，M 在 AC 上, ZAMD=ZAMB=60故选 B.点评：本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得ZAMD=ZAMB,确定 AC 和 BD垂直平分是解题的关键.6、在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是考点

19、：正方形的性质；坐标与图形性质。专题：计算题。分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点.解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1,2）、（2，1 ）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（ 4，1 ）、15 / 25（5，2）、（1, 4）、 （2， 5）、 （3, 6）；16 / 25在其内的整点有(1,3)、(2,2)、(2, 3)、(2,4)、(3,1)、( 3, 2)、(3, 3)、(3,4)、(3, 5)、(4, 2 )、(4, 3)、(4, 4 )、( 5, 3).故选 D.点评：本题考查的是正方形四条边上整点的计算

20、，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键.7、在同一平面上，正方形 ABCD 的四个顶点到直线 I 的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3 倍，这样的直线 I 可以有()A、4 条B 8 条C 12 条D、16 条考点：正方形的性质；点到直线的距离。分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3 倍，所以本题需要分类讨论，1该直线切割正方形，确定直线的位置；2该直线在正方形外，确定直线的位置.解答：解：符合题目要求的一共16 条直线，下图虚线所示直线均符合题目要求.V210V216考点：正方形的性质；三角形的面积。专题：计算题；转化思想。分析：图中，F 为 BP 的中点，所以BDF=2SA

21、 BDF,所以要求 F 到 BD 的距离，求出 P 到 BD 的距离即可. 解答：解：连接 DP,/ F 为 BP 的中点， P 到 BD 的距离为 F 到 BD 的距离的 2 倍.二 SABDP=2SABDF,S丄-SA BDF=W7,设 F 到 BD 的距离为 h,根据三角形面积计算公式，SABDF=XBDX-h=,丄.计算得：h=8、如图，正方形 ABCD 的边长为 1 , E 为 AD 中点,P 为 CE 中点,F为 BP中点，D、点评：本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键.CSABDP=SA BDC SA DPC SABPC17 / 25 .:CD、1+

22、.:2考点：正方形的性质。专题：分析：解答:SABCE=1-计算题；转化思想。连接 BP, PM、PN 分别为 BPE 和厶 BCP 的高，且底边长均为 1,因此根据面积计算方法可以求PM+PN.解：连接 BP,作 EH 丄 BC,贝 U PM、PN 分别为 BPE 和厶 BCP 的高，且底边长均为 1,丄-SA CDE/ DE=BD BE=：1, CDE 中 CD 边上的高为二（-）, SACDFCD（-：）=-;2241.1s近-SACDE= 1；SABCE=1-PM+PN19 / 25点评：本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分20

23、 / 25线的性质，面积转换思想是解决本题的关键.11、顶点为 A （6, 6）, B （- 4, 3）, C （- 1,- 7）, D （ 9, - 4）的正方形在第一象限的面积是（）A、25B 36C 49D、30考点：正方形的性质；坐标与图形性质。分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD 的方程，由方程式知 AD 与 x 轴的交点 E 的坐标，同理求得 AB 与 y 轴的交点 F 的坐标，连接 0A,再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积.解答：解：连接 0A，过 A、D 两点的直线方程是三一，即 y=x+16，解得它与 x 轴的交点 E 的横坐标是 x=7.8，|-4-

24、t 9_卜3同理求得过 A、B 两点的直线方程是 y=-.x+4.2，解得它与 y 轴的交点 E 的纵坐标是 y=4.2，10 SAAOE= i, P =23.4，SAAFO=-= r =12.6， SAAOE+SAAFO=23.4+12.6=36，即顶点为 A （6，6），B （- 4，3），C （- 1，- 7），D （9，- 4）的正方形在第一象 限的面积是 36.点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在 本题中，借助直线方程求的点E、F 在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果.12、 ABCD 是边长

25、为1 的正方形， BPC是等边三角形， 则 BPD 的面积为（）V418考点：正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质。专题：计算题；转化思想。21 / 25分析：根据三角形面积计算公式，找到BPD 的面积等于BCP 和厶 CDP 面积和减去BCD 的面积的等量关系，并进行求解.解答：解：BPD 的面积等于BCP 和厶 CDP 面积和减去BCD 的面积因此本题求解BCP CDP 面积和 BCD 的面积即可，s, 乂翻翻SA厂一=一，22 / 25故选 B.点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2 个全等的等腰直角三角形.解决本题的关键是找到 BPD 的面积等于 B

26、CP 和厶 CDP 面积和减去 BCD 的面积的等量关系.13、如图，正方形 ABCD 的面积为 16, ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 BD 上有一点 P,使 PC+PE的和最小，则这个最小值为（）A、4B 2 . :C 2i，D、 2 考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质。专题：计算题。分析：根据正方形的性质，推出C、A 关于 BD 对称，推出 CP=AP,推出 EP+CP=AE 根据等边三角形性质推出AE=AB=EP+CP 根据正方形面积公式求出AB 即可.，/正方形 ABCD, AC 丄 BD, OA=OC C、A 关于 BD 对称

27、，即 C 关于 BD 的对称点是 A,连接 AE 交 BD 于 P,则此时 EP+CP 的值最小，/ C、A 关于 BD 对称，CP=APEP+CP=AE等边三角形 ABEEP+CP=AE=AB正方形 ABCD 的面积为 16 ,AB=4 ,EP+CP=4故选 A.点评：本题考查了正方形的性质，轴对称-最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出 EP+CP 的最小值是 AE,题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力.解答：解：SBPD=23 / 25二、填空题（共 8 小题）24 / 2514、如图，所示，将五个边长都为 1cm 的正方

28、形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D 分别是正方形对角线的交点、如果有 n 个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是二_ cm2.考点：正方形的性质。专题：计算题。分析：求面积问题，因为点 A、B、C、D 分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，由此便可求解.4解答：解：点 A、B、C、D 分别是正方形对角线的交点 两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的 -,4即丄x1x亀44当有三个三角形时，其面积为-=-a 4 4所以当 n 个三角形时，其面积为故答案为 丁 点评：熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题.15、如图，若正方体

29、的边长为a, M 是 AB 的中点，则图中阴影部分的面积为考点：正方形的性质；三角形的面积。分析：AC, DM 交于点 0,连接 BO,可以证明 OADBA0AB,又 OAD 和厶 0CM 面积相等，图中阴影部分面 积可以转化为0AD 和厶 0AB 的面积.解答：解：找到 CD 的中点 N,连接 BN.正方形 ABCD 中，AC 为 BD 的垂直平分线， 0B=0D,在 0AD 和厶 0AB 中, AB=AD, 0A=0A 0ADBA0AB,又-14,所以阴影部分面积为0AD 和0AB 的面积和.根据中位线定理 M、N 分别为 AB CD 的中点，CE=E0=0A - 0 到 AD 的距离为

30、CD 长度的._=一;4 42a23当有四个时，其面积为25 / 25故答案为点评：本题考查中位线定理的灵活应用，以及正方形对角线垂直平分，本题证明CE=EO=OA 是解题的关键.16、如图，以矩形 OABC 的顶点 O 为原点，OA所在的直线为 x 轴，OC 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系、 已知 OA=3，OC=2,点 E 是 AB 的中点，在OA上取一点。，将厶 BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，若 在 y 轴上存在点 P,且满足 FE=FP 贝 U P 点坐标为（0，4）, （ 0, 0） .考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与

31、性质。 专题：几何图形问题。分析：连接 EF, CF=BE=1 若 EF=FP 显然 RtAFCP RtAFBE 由此确定 CP 的长. 解答：解：连接 EF, / OA=3, OC=2, AB=2,点 E 是 AB 的中点， BE=1,/ BF=AB, CF=BE=1/ FE=FPRtAFCP RtAFBE,PC=BF=2P 点坐标为（0, 4）或（0, 0）, 即图中的点 P 和点 P.故答案为：（0 , 4）, （0 , 0）JCfa&RiFr*d0DA点评：本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题.17、如图，边长为 a 的正方形 ABCD 和边长为 b 的正

32、方形 BEFG 排放在一起，O1和 O2分别是两个正方形的中心，则 阴影部分的面积为 _-丄-!卜,线段。1。2的长为二J亠：J .GZD C二ADO+SA ABC=2$A ADO=2xlx226 / 25阴影部分的面积厂X齢(4)勒(4=2业=g =_4(2)H01亠，H02=：， 根据勾股定理 0102=|$ j -故答案为：-士；丄: 亠：GZDCKrrT01BE点评：本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角 三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形H0102.18、已知正方形纸片 ABCD 的面积为 2007cm2.现将该纸

33、片沿一条线段折叠 (如图)，使点 D 落在边 BC 上的点 D处, 点 A 落在点 A 处，A与 AB 交于点 E-则厶 BD E 的周长等于cm .考点：正方形的性质。专题：计算题；转化思想。分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求 求解.解答：解：做 OiH/AE,使 02H 丄 OiH,交 BG 于 P, K 点,(1) BP-，又T02H 丄 H01, KP/ H02, PKOsHO2O1,2 个三角形面积即可；线段 0102的长根据勾股定理KP=眄一-a皿2 H0a-+bKPa+b27 / 25 BD/ x 轴，AC/ x 轴，这样画出正方形，即可得出C 与 D 的坐标

34、,分别为：C (1, 0), D (1, 1).故答案为：(1, 0), (1, 1).1D耳C0X点评：本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它 顶点的坐标是解决问题的关键.20、如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为考点：正方形的性质；翻折变换(折叠问题) 。专题：计算题。分析：设正方形边长a=j2007, / DDCa则/BDE=2aCD(1 -tana)(1+tan 2a+sec2)a化简可得BDE 的周长为2a.解答：解：设正方形边长a=200亍,/ DDCa则/ BDE=2a所以，BD啲周长为 a (1- tana)(1+ta

35、n2a+sec 2)a=atanaBD =a( 1 - tana),故， BDE的周长为 aCD =atan,BD =a( 1-tana).cosQ. - sin acos2 Q +sln2 d +1戸casCIcosZQ=6 ”；* :cm.故答案为 6 “ ：. 点评：本题考查了正方形各边长相等的性质， 2 a +sec 2)是解题的关键.19、已知正方形 ABCD 在直角坐标系内，点 U.(只写一组) 考点：正方形的性质；坐标与图形性质。 专题：开放型。分析：首先根据正方形 ABCD 的点 A ( 0, 可以确定 C, D 的坐标.解答：解：正方形 ABCD 的点 A (0, 1)，点

36、B ( 0, 0),考查了整式的化简,本题中正确化简BD 啲周长=a( 1 - tana)(1+tanA (0, 1),点 B (0, 0),则点 C, D 坐标分别为(1 , 0)和_(1,1),点 B (0, 0),在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而1 的小正方形，点 A 与点 B 在两个格点上.在格点上存在点C,28 / 252,则这样的点 C 有 5 个.29 / 25考点：专题：止方形的性质；三角形的面积。 计算题；作图题。分析：要使得 ABC 的面积为 2，即 S=-ah，则使得 a=2、h=2 或者 a=4、b=1 即可，在图示方格纸中找出C 点即可.解答：解：图中标

37、出的 5 个点均为符合题意的点.故答案为 5.点评：本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全 C 点是解题的关键,考生容易漏掉一个或者几个答案.21、已知正方形内接于圆心角为90 半径为 10 的扇形(即正方形的各顶点都在扇形上)，则这个正方形的边长为5 二或 2i_.考点：垂径定理；勾股定理；正方形的性质。专题：分类讨论。分析：根据题意画出图形，由于正方形内接于扇形，故应分两种情况进行讨论.解答：解：如图 1 所示：连接 0D,设正方形 OCDE 的边长为 X,则在 RtAOCD 中，OD2=OC2+CD2,即 102=x2+x2,解得 x=5 . :;

38、如图 2 所示，过 0 作 0G 丄 DE,交 CF 于点 H,连接 0D,设 FH=x,/四边形 CDEF 是正方形， 0H 丄 CF, FH=CH=x/ / A0C=9O CH=0H,0G=3x,在 RtA0DG 中，0D2=GD2+0G2, 即卩 102=x2+ ( 3x)2,解得 x=.CF=2x=2 :：.故答案为：5 或 2 i：i.|邑LJ2iSt i30 / 25点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，再进行解答.三、解答填空题(共 6 小题)22、如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O,

39、 AF 平分/ BAC,交 BD 于点 F.(1) 求证：处 一 OF 二(2)点 Ai、点 C1分别同时从 A、C 两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分/BA1C1, 交BD 于点 R,过点 F1作 F1E 丄 A1C1，垂足为 E,请猜想 EF , AB 与_三者之间的数量关系，并证明你的猜想；(3) 在(2)的条件下，当 A1E1=6, C1E1=4 时，贝 U BD 的长为 一.n _CDj_CX AA考点:正方形的性质。B分析：(1 )可通过构建全等三角形来求解，过F 作 FG 丄 AB 于 G,那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出 OF=FG

40、 通过全等三角形 AOF 和 AGF 可得出 AO=AG,那么 AB=AO+OF,而 AC=20A,由此可得证；(2)本题作辅助线的方法与(1)类似，过 F1作 F1G1丄 AB, F1H1丄 BC,那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EFF=F1G1=F1H1，那么可得出 F1就是三角形 A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1= (A1B+BC1 - A1C1)+2然后根据用 AB 分别表示出 A1B, BC1,最后经过化简即可得出 AB- EF1卡 A1C1;(3)求BD 的长，首先要求出 AB 的长，本题可借助(2)中，F1是三角形 A1BC1的内心来解，那么我们不难

41、看出E,G1, H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出 A1E+A1G 仁 A1C1+A1B- C1E- BG1,由于 C1E=ClH1, BG1=BH1, A1E=A1G1因此式子可写成 2A1E=AIC1+A1B- BC1,而(A1B- BG)正好等于 2A1A,由此可求出 A1A 的长，那么可根据勾股定 理用 AB 表示出两条直角边，求出 AB 的长，然后即可得出 BD 的值.解答：解：(1) 过 F 作 FG 丄 AB 于 G,/AF 平分/ CAB, F0 丄 AC, FG 丄 AB, OF=FG/AOF=ZAGF=90 , AF=AF, OF=FG AOFAAGF,AO=AG,直

42、角三角形 BGF 中，/ DGA=45 ,FG=BG=OFAB=AG+BG=AO+OF=AC+OF,31 / 252AB - OF=AC.2(2) 过 F1作 F1G1丄 A1B ,过 F1作 F1H1丄 BC1,则四边形 F1G1BH1是矩形.同(1)可得 EF=F1G ,因此四边形 F1G1BH1 是正方形.EF1=G1F1=F1H1,即：F1是三角形 A1BC1 的内心，EF1= (A1B+BQ - A1C1) + 232 / 25/ A1B+BC=AB+A1A+BC- CCl,而 CC=A1A, AiB+BC=2AB,因此 式可写成：EFi= (2AB-A1C1)-2即 AB EF1

43、= lAiCl2(3)由(2)得，Fi是三角形 A1BC1的内心，且 El、G1、Hl都是切点.AiE=(A1C1+A1B- BC1)-2如果设 CC| =AiA=x,AlE=AlCl+ (AB+x) ( AB x) - 2=10+2x) - 2=6x=1,在直角三角形 AIBCI中，根据勾股定理有 A1B2+BC12=AC12即：(AB+1)2+ (AB 1)2=100,解得 AB=7,BD=7 】:.点评：本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解 会使问题更简单.23、(2005?扬州)(1)计算:-：二 亠；考点：实数的运算；直角三角

44、形全等的判定；正方形的性质。 分析：(1)按有理数的运算法则计算即可；(2)由同角的余角相等知，/ FAB=ZDAE,由正方形的性质知, AFB ADE?DE=BF解答： 解: (1)解：原式=3 2 8=(2)证明：/ / FAB+ZBAE=90 , / DAE+ZBAE=90 , /FAB=ZDAE,/ZAB=AD,ZABF=ZADE, AFBAADE,DE=BF.点评：此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质学生对学过的知识要系统起来.24、如图，点E、F 分别在正方形ABCD 的边 DC、BC 上,AG 丄 EF,垂足为G,且 AG=AB,贝 UZEAF= 45E 是正方形 ABCD

45、 的边 CD 上一点，点 F 是 CB 的延长线上一点，且EA 丄 AF.求证：DE=BF/ AB=AD, / ABF=ZADE=90，贝 U ASA 证得33 / 25考点：正方形的性质；全等三角形的判定。分析：根据角平分线的判定，可得出ABFAAGF,故有/ BAF=/ GAF,再证明 AGEAADE,有/ GAE=/ DAE;所以可求/ EAF=45解答：解：在 RtAABF 与 RtAAGF 中，/ AB=AG, AF=AF, / B=ZG=90 , ABFAAGF(HL), /BAF=ZGAF,同理易得： AGE ADE, 有 / GAE=ZDAE;即 / EAF=ZEAG+ZFAG

46、=- / DAG+一- / BAG / DAB=45 ,2 2 1故ZEAF=45 .点评：主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定.25、如图，正方形 ABCD 中，AB3，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且ZBAE=30ZDAF=15 度.(1) 求证：DF+BE=EF(2) 则ZEFC 的度数为 30 度；(3)则AEF 的面积为洱考点：正方形的性质。分析：(1)延长 EB 至 G,使 BG=DF,连接 AG.利用正方形的性质， 证明AGE AFE, FAE GAE,得出 DF+BE=EF(2)根据AGEAFE 及角之间的关系从而求得ZEFC 的度数；(3)AEF=S正方形ABCD-SAADFSAAEBSACEF=S正方形ABCCTSAAEFSACEF,关键求 SCEF解答：解：(1)延长 EB 至 G,使 BG=DF,连接 AG,/正方形 ABCD,AB=AD,ZABG=ZADF=ZBAD=90/ BG=DF, ABGAADF,AG=AF,