平面向量基本定理

1、平面向量基本定理学习目标1理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义2在平面内，当组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一平面向量基本定理定理：如果ei,02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向_a,有且只有一对实数入，d使a=Xiei+202.(1) 基底：把不共线的向量ei,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.思考如图所示，ei,e2是两个不共线的向量，试用©,e表示向量AB,CD,EF,GH,HG,a.答案通过观察，可得：AB=2ei+3e2,CD=ei+4勺，EF=4ei4e2,G

2、H=2ei+5e2,HG=2ei5e2,a=2ei.知识点二两向量的夹角与垂直(i)夹角：已知两个非零向量a和b,如图，作OA=a,OB=b,则/AOB=0(0°i80°,叫做向量a与b的夹角.范围：向量a与b的夹角的范围是0°i80°. 当0=0°寸，a与b同向. 当0=180°时，a与b反向.垂直：如果a与b的夹角是90°则称a与b垂直，记作a丄b.思考在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角. AB、AC；ABCA:BA、CA；Ab、BA.答案AB与Ac的夹角为60°AB与CA的夹角为120° B

3、A与CA的夹角为60°AB与BA的夹角为180°题型探究重点突破题型一对向量的基底认识例1如果e1,e2是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是. ？ei+血2（入让R）可以表示平面a内的所有向量；对于平面a内任一向量a，使a=砂+e的实数对（人2有无穷多个； 若向量入亀+we2与辰汁ee2共线，则有且只有一个实数入使得Xie1+we2=Xe1+仪代）；若存在实数人使得沦1+虔2=0,则=尸0.答案解析由平面向量基本定理可知，是正确的.对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的.跟踪训练1设6、e2是不共线的

4、两个向量，给出下列四组向量：ei与e“+e?;&2勺与e22e仁ei2e?与4e22e仁ei+e?与eie?.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是.（写出所有满足条件的序号）答案解析对于4e?2ei=2ei+4e?=2(ei2e2),ei2e?与4e?2ei共线，不能作为基底.题型二用基底表示向量例2如图所示，已知？ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若AB=a,AD=b,试以a、b为基底表示DE、BF.解四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，Ad=Bc=2Be,Ba=Cd=2CF,ififififi.BE=AD=b,CF=BA=AB=尹.>

5、;>>>>>>.DE=DA+AB+BE=AD+AB+BE=b+a+?b=a如,-f-f-f-f-fiBF=BC+CF=AD+CF=b2a.跟踪训练2如图，已知ABC中，D为BC的中点，E,F为BC的三等分点，若AB=a,AC=b,用a、b表示Ad、Al、Af.解Ad=Ab+BD=Ab+bc=a+|(ba)=；a+fb;ffffifAE=AB+BE=AB+3BC,121=a+3（b_a）=§a+3b;ffff2fAF=AB+BF=AB+3BC3,212=a+3（ba）=§a+3b.题型三向量夹角问题ab与a的夹角ab与a的夹角例3已知|a|

6、=|b|=2，且a与b的夹角为60°设a+b与a的夹角为a,是求a+3解如图，作f=a,Ofe=b,且/AOB=60°以OA、OB为邻边作?OACB,则Oc=a+b,BA=OAOB=ab,BC=OA=a.因为|a|=|b|=2，所以OAB为正三角形，所以/OAB=60°=/ABC,即ab与a的夹角3=60°因为|a|=|b|,所以平行四边形OACB为菱形，所以OC丄AB,所以/COA=90°60°=30°即a+b与a的夹角a=30°所以a+3=90°.flA解由向量运算的几何意义知a+b,ab是以a、b为

7、邻边的平行四边形两条对角线.如图，/|a|=|b|=|ab|,/BOA=60°又OC=a+b,且在菱形OACB中,对角线OC平分/BOA,a与a+b的夹角是30°题型四平面向量基本定理的应用例4如图所示，在OAB中，OA=a,OB=b,点M是AB上靠近B的一个三等分点，点fifiN是OA上靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P,求OP.4ffff2ff2ff12解OM=OA+AM=OA+3AB=OA+3QBOA)=3a+_b,因为OP与Om共线，故可设Op=tOM=3a+又NP与NB共线，可设NP=sNB,OP=ON+sNB=4<5a+s(ObON)=3(1s)

8、a+sb,所以31-s=3,所以OP=备+5b.105f1f跟踪训练4如图所示，在厶ABC中，点M是AB的中点，且AN=?NC,liliBN与CM相交于E,设Ab=a,AC=b,试用基底a,b表示向量Ae.易得AN=1ac=1b，由N,E,B三点共线，设存在实数m,满足AE=mAN+(1-m)AB=gmb+(1m)a.3由C,E,M三点共线，设存在实数n满足：AE=nAM+(1n)AC=*na+(1n)b.1所以§mb+(11m)a=qna+(1n)b,由于a,b为基底，所以11m=2n,13m=1n,解得3m弋,4n=5,所以AE=|a+1b.易错易误向量夹角概念不清致误例5已知O

9、)A=2a,O)B=2b,O)C=a+3b,求向量BA与BC的夹角.错解由已知得，BA=O)AO)B=2a2b,Be=O)CO)B=(a+3b)2b=a+b,显然BA=2Bc，可见BA与BC共线，故BA与BC的夹角为0°错因分析两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，当两个向量同向共线时，其夹角为0°当两个向量反向共线时，其夹角为180°上面的解答没有注意到这个问题，导致出错.正解由已知得，E3A=(5AOfe=2a2b,BC=OCOfe=(a+3b)2b=a+b.显然BA=2BC,可见BA与BC共线，且是反向共线，故BA与BC的夹角为180°.1设

10、ei,e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）C.ei+2e?和2ei+e?C.ei+2e?和2ei+e?B.3ei4e?和6ei8e?D.ei和ei+e?4.设向量m=?a3b,5.如图所示，已知梯形设AD=a,AB=b,试用a、b为基底表示DC、BC、EF?.如图，已知AB=a,AC=b,BD=3DC，用a,b表示AD，则AD等于（）B.1a+4b443.在直角三角形ABC中，/BAC=30°,则AC与BA的夹角等于（）A.30°B.60°C.1?0°D.150°n=4a?b,p=3a+?b,试用m,n表示p,

11、p=ABCD中，AB/DC，且AB=?CD,E、F分别是DC、AB的中点,课时箱练一、选择题1.下列关于基底的说法正确的是（）平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； 基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.A.B.C.D.如图所示，矩形ABCD中，BC=5ei,DC=3e2,则O）C等于（）B2(5ei-3e2)d*2(5e23ei)A.2(5ei+3e2)C2(3e25ei)如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G,若AB=Aa11a4a+4b3 1C.a-b4 411B.3a+3bD.4a+

12、4b4.设向量e1和e是某一平面内所有向量的一组基底，则实数y的值为（）右3xe1+(10y)es=(4y-7)&+2xe,13若D点在三角形ABC的边BC上，且CD=4DB=rAB+sAC，则3r+s的值为（）A.16512B.yc.8D'4、填空题已知&、e2不共线，a=ej+2e2,b=2ej+，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数入的取值范围为.5. 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点AO=（用a和b表示）.&若|a|=|b|=|ab|=r(r>0)，贝Ua与b的夹角为>>>9. 如图，在平行四边形ABCD中，E和F

13、分别是边CD和BC的中点，若AC=4E+AF,HFHF其中入吐R，贝U?d-10. 设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，AD=AB,BE=£bC,若DE=W+W)23(入，b为实数)，贝y入+的值为三、解答题11判断下列命题的正误，并说明理由：(1) 若aei+be2=c®+de2(a、b、c、dR)，贝Ua=c,b=d;e1+e2、e1+e2、(2) 若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1e2表示出来.12. 如图，平面内有三个向量6A、OBoC，其中弘与觅的夹角为120°O)A与O)C的夹角为30°且|OA

14、|=|QB|=1,|QC|=2逅若OC=bOA+pOB(入卩R)，求H卩的值.13. 已知单位圆0上的两点A、B及单位圆所在平面上的一点P,OA与0B不共线.(1)在厶OAB中，点P在AB上，且AP=2PB,若AP=rOB+sOA,求r+s的值;P满足0P=mP满足0P=m0A+OB(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值.当堂检测答案答案B解析B中，t6ei8e?=2(34e2),(6ei8e2)/(3ei4e2),3ei4e2和6©i8e2不能作为基底.1. 答案B解析AD=AB+BD=AB+4BC=AB+4(AC-AB)=4AB+沁=4a+1b2. 答案D解析由向量

15、夹角定义知，AC、BA的夹角为150°4.答案7134m+百n解析设p=xm+yn，则3a+2b=x(2a3b)+y(4a2b)=(2x+4y)a+(3x2y)b,得2x+4y=3,3x2y=2得2x+4y=3,3x2y=27x一4,5.解连接FD,/DC/AB,AB=2CD,E、F分别是DC、AB的中点,DC綊FB.四边形DCBF为平行四边形.依题意，DC=FB=2AB=KBC=FD=AD-AF=AD-?AB2b,1fEF=DFDE=FDDE=BC2DC=(a2b)x2b=ba.课时精练答案一、选择题1. 答案C错，正确.错，正确.解析零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的

16、向量，故答案A->1->1->->1解析0C=2AC=2(BCBA)=2(5ei+3e2).2. 答案D解析易知CF=1cD,CE=2cB.设CG=力A,则由平行四边形法则可得CG=XCB+CD)=2QE+2QF,由于E,G、F三点共线，则2入+2匸1,即匸1，从而CG=1CA,从而Ag=3Ac=3(a+b).3. 答案B解析因为3xe1+(10y)e2=(4y7)e1+2xe2,所以(3x4y+7)e1+(10y2x)e2=0,3x4y+7=0,x=3,又因为e1和e是某一平面内所有向量的一组基底，所以芒解得/故10y2x=0,ly=4,选B.4. 答案C解析/CD=

17、4DB=rAB+sAC,f4f4ffCD=§CB=5(AB-AC)=rAB+sAC,r=-545'-3r+12二、填空题5. 答案(4)U(4,+R)解析若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线.a=ei+2e2,b=2ei+型，由kb即得入工4.6. 答案3a+3b解析设AO=2AC,>>>>1->->1->则AO=XAD+DC)=XAD+2AB)=；AD+?AB.因为D,O,B三点共线，所以入+妇1，所以入=3,所以AO=|ad+3ab=|a+3b.0A&答案60°解析作OA=a,Ob=b,则BA=ab,/AOB

18、为a与b的夹角，由|a|=|b|=|a口知厶AOB为等边三角形，则/AOB=60°.AnE9. 答案3解析设Ab=a,Ad=b,f1f1则AE=2a+b,AF=a+b,又TAC=a+b,f2f>24二AC=3(AE+AF),即=尸3，入+尸3.1io.答案2>1>2f1->2f->1->2f解析易知DE=2AB+3BC=?AB+§(ACAB)=-AB+勺AC.所以入+&=2.三、解答题解（1）错，当e1与e2共线时，结论不一定成立.正确，假设e1+e2与e1e2共线，则存在实数入使e1+e2=Xe1e2）,即（1/）e1=（1+证2.因为1入与1+入不同时为0,所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾.所以e1+e2与e1e2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1+e2、e1e?表示出来.OAM11. 解如图，以OC为对角线作？OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上,则存在入p,使Om=?Oa,ON=QB,即Oc=OM+O