工程力学理论力答案_第二章

1、2-4曲柄OA 以角速度wO = 2.5rad / s 绕半径是 r2 = 15cm 的固定齿轮的轴O 转动，并带动 装 在 曲 柄 A 端 的 、 半 径 是 r1 = 5cm 的 齿 轮 。 已 知 CE BDA、B、C、D、E 各点的速度大小。， 求 动 齿 轮 上习题 2-4解：由图可知，B 点在固定的齿轮上，所以：vB = 0曲柄 OA 以角速度w0 转动，可求得：vA = (r1 + r2 )w0 = 50cm / s由此可求得小齿轮的角速度为：w = vA = 10 1r1s因为vB = vA + ´ rABrAB = 5n所以 ´ n = - 50 = -1

2、05则：vD = vA + ´ rAD = 50 + 50 = 100vE = vA + ´ rAE = 50 + 5´ = 50 + 50n vC = vA + ´ rAC = 50 - 5´ = 50 - 50n综上所述：vA = 50cm / s vB = 0vD = 100cm / svC = vE = 70.7cm / s2-5 曲柄长OA = 20cm ，以角速度2rad / s 绕垂直于图面的固有半径等于10cm 的齿轮 2 ，后者与定齿轮1处于内啮合，而齿轮BD OC ，求齿轮 2 边缘上 B、C、D、E 各点的速度大小。O 转

3、动。在曲柄末端 A 装1 则与曲柄同轴。已知习题 2-5解：根据题意,齿轮 2 作刚体平面运动：vC = 0vA = 2 ´ 0.2 = 0.4(m / s)w = 0.4 / 0.1 = 4(rad / s)由于 C 是速度瞬心，因此：vD = vB = 10 2 ´ 4 = 40 2(cm / s)vE = 20 ´ 4 = 80(cm / s)的角速度与角q 的2-6已知杆 AB 恒与半径为 R 的半圆台相切， A 端速度为常量；关系。DC习题 2-6解：杆 AB 与圆台相切于 AB 上的点 C， C 沿 AB 方向，又知道点 A 的速度沿水平方向，从而得到

4、 AB 的瞬时速度中心为从而有：的点 D。n A = wAB AD又，OA = OC / sinq = R cosqAD =tanqtanqsin2 q得到：= v sin q2w= n A / AD(逆时针)ABR cosq2-7已知OA 杆以匀角速度we = w 逆时针转动，圆盘 B 相对 AB 杆以wr = 4w 作顺时针纯滚动，圆盘半径为 r ， OP = 3r 。求圆盘中心 B 的速度大小。w×rvrqr习题 2-7解：圆盘中心的速度 v = ve + vr = ´ r + vr ，其中 vr = wr r = 4wr ,q = p - tg -13 ，因此 B

5、点的速度大小为：ve = 10wr ,v =vr + ve + 2vr ve cosq = 3 2wr22图示四连杆机构OABO 中， OA = O B = 1 AB ，曲柄OA 的角速度w = 3rad / s 。当2-8112j = 90° 而曲柄O1B 重合于OO1 的延长线上时，AB 及曲柄O1B 的角速度。习题 2-8解：假设 A 点的速度为vA ，B 点的速度为vB ，AB 杆的角速度为AB 。根据基点法，可知 B 点的速度和 A 点的速度为：vB = vA + AB ´ rAB当j 为90o 时，根据几何关系可得：wAB × 2r sin 30 =

6、vA那么w AB 的大小为：3rw= 3(rad / s)AB2r sin 30ovB = w AB ´ 2r cos 30 ，即：o= 2r cos 30 ´woABw= 5.2(rad / s)Br2-9图示机构中，当杆 AB 之 B 端沿铅垂墙滑下时，通过 A 端铰推动轮沿水平直线作纯滚动。如已知 A 点的速度，试将 AB 杆中点C 的速度及杆的角速度表示为vA 及角q 的函数。已知杆长为l 。习题 2-9解：，建立直角坐标系 OXYZ （ OZ 垂直于纸面指向纸外），设 X ,Y, Z 方向单位向量分别为 i, j, k 。杆 AB 运动的角速度为AB （其方向垂直

7、于纸面）。由刚体平面运动的速度公式可知：B = A + AB ´ rAB即uBi = uA j +wABk ´(l cosq i - l sinq j )这样uB = wABl sinqìíu+ w l cosq = 0î AAB于是uAw= - (1)ABl cosq再由刚体平面运动的速度公式：C = A + AB ´ rAC即uA = u j + æ-ö k ´æ l cosq i - l sinq j öCAçl cosq ÷ç 2÷

8、32;øè2ø化简= - uA tanq i + uAjC22这样= uA u(2)2 cosqC（1）、（2）两式为所求。2-10在曲柄滑块机构中，长为 r 的曲柄以匀角速度wo 绕O 轴转动，连杆长为l 。试求当曲柄转角j = 0 和 p时，滑块 B 和连杆中点 M 在该瞬时的速度。2习题 2-10解：根据基点法，可以得到 A、B 两点速度的关系为V = V + ´ r ，当j = 0o 时，BAABAB由几何关系可以得到 AB 杆的角速度大小为w= w0 r ，此时 B 点速度为 0，杆中点 M 的ABl速度为：V = V + ´ r=

9、1 w rjMAABAM02p当j =时，A、B 两点的速度均为水平方向且无其他分量，所以此时杆 AB 为瞬时平动，2所以 B 点、M 点的速度均和 A 点相等，为：VB = VM = -w0ri2-11反平行四边形机构中， AB = CD = 2a AC = BD = 2c ， a > c 。求 BD 杆的动瞬心轨迹和轨迹。习题 2-11解：显然，P 点为 BD 杆的速度瞬心。连结 AD，则DADC DADB ，故ÐDAB = ÐCDA ，PA = PD ， PB = PC ，可知： PA + PC = PD + PB = 2a ，即速度瞬心 P 到 A，C 两点及

10、到 D，B两点的距离之和始终为，因此 P 点的动瞬心轨迹和轨迹分别为以 B，D 为焦点的椭圆和以 A，C 为焦点的椭圆。2-12半径是 R 的沿平面滚动而不滑动。轮心O 作匀速vo 运动。长l = 3R 的杆 AB 在点 A 与较接。杆的另一端 B 沿平面滑动，AB 在图示位置时的角速度大小、角加速度大小，以及点 B 的速度、度大小。yx习题 2-12解：建立的坐标系。分析的运动：v = -v i + ´ r = -v i +k ´( 3 Ri + 1 Rj) = - 3 v i +v3 v0j（1）A0OA000R22221 v23 v2aA = ´( 

11、0; rOA ) = -0 j -0 i（2）2 R2 R分析杆 AB 的运动：假设 AB 杆角速度和角度分别为： AB = wAB k ， AB = e AB kB 点的速度和角度分别为： vB = vB i ， aB = aB i则：v = v + ´ r = (v - 3 Rw )i - 3 3 Rwj（3）ABABABBABAB2233 v23 3v2aA = aB + AB ´ rAB + AB ´(AB ´ rAB ) = (aB - Re AB +0 )i - (Re AB + 0 ) j（4）26 R26R对比（1）、（3）两式可得：v0

12、3Rwv= 2v=ABB0对比（2）、（4）两式可得：5 3 v2v22 3e AB=o 9R=o aBR2272-13边长是 a 的正方形 ABCD 在图面内作平面运动。已知在图示瞬时其定点 A、B 的加速度大小相等且等于10cm / s2 ，其方向分别沿正方形的一边。求此时正方形的瞬时度中心位置及其定点C、D 的度。习题 2-13解:由已知，正方形作刚体平面运动，度瞬心在正方形对角线的交点处，并且aA = aB = 10(cm / s ) ，由问题的对称性可知：2a = a = 10(cm / s2 )（方向均位于其所处正方形的一边）CD2-14在四连杆机构中，长为 r 的曲柄OA 以匀角

13、速度wo 转动。连杆 AB 长l = 4r 。设某瞬时ÐO1OA = ÐO1BA = 30° ，试求在此瞬时曲柄O1B 的角速度和角度，并求连杆中点M 的度。习题 2-14的动系 Bx1 y1 。在图示状态A 点速度A 和 B 点速度B 的方向，解：建立。从而有 = 0 ，即n = w O B = 0 ，得到：从而得到速度瞬心为点 BBBO B 11w= 0O B 1由n A =nB +wAB AB = w0 R ，得到：w= w0 （逆时针）（1）AB4由 OA 杆匀角速度w0 转动，得到：a = w ri2（2）A0 1而 B 点的度为：eO BeO B 3a

14、 = w 2 rn + eO B = eO B =O B 1i +O B 1j（3）112BO1BO1B 1O1B 1112以 B 为基点分析 A 点的度，得到：a = a + (-w ABi ) + e ABj2（4）ABAB1AB1将式（1），（2），（3）代入式（4）得到：eO B3eO Bw ri =O B 1O B 1j + (-w ABi ) + e ABj2i +2（5）1120111AB1AB12= 53 r ， AB = 4r 得到：由O B = 5r / cos 30133e=w （顺时针）2（6）O1BO25 3e=-w （顺时针）2（7）ABO16同样以 B 为基点分析

15、 M 点的度，得到：a = a + (-w AMi ) + e AMj2（8）MBAB1AB1由 AM = 2r ，将（2），（6），（7）代入（8），得到：9+ 5 38a = rw iw j2r2MO 1O 18从而，95 3w ) + (rw ) = 1.56rwa=( r2 22 22MOOO883答：w= 0,e=w （顺时针），2O1 BO1 BO29+ 5 38w 。w j ， a= 1.56r2w ia = r22rMO 1O 1MO82-15图示直杆 AB 在铅垂面内沿固定半圆柱滑下时，如果 A 端沿水平轴 x 向右运动的速度vA = const ，试求在任意位置q 处：直杆

16、 AB 的角速度及角（1）度；（2） 杆与圆柱接触点C 的速度及度；（3） 直杆 AB 运动时的动、轨迹。Dw×rwvC习题 2-15解：(1) 由于 C 点速度 vC = vA + ´ rC ,又由刚体上任两点速度在它们的连线上的分量相等，有vC = vA cosq ，因此w ´ rC = vA - vC = vA sinq ，可得杆 AB 的角速度：w = vA sin qtgqr而角度：ö2dw dtæ vve = A (cosqtgq + sin q sec2 q )w = ç A ÷(1 + sec2 q ) si

17、n 2 qtgqrrèø(2) C 点速度vC = vA cosq ，即：v= v cos2 q ,v= - vA sin 2qCxACy2度得：度 aC = aA + ´ r + ´(´ r) ，代入角速度，角2va= erctgq sin q + w 2 rctgq cosq = A sin 3 q (2 + sec2 q )Cxr2va= erctgq cosq - w 2 rctgq sin q = 2 A sin 2 q cosqCyr(3) AB 杆的瞬心为点 D，由于 xD = r / sin q ,迹为：yD = r cosq

18、/ sin q ，因此2轨x 4 - r 2 (x 2 + y 2 ) = 0在随体坐标系 Ax1y1 中， x = rctg 2q ,y = rctgq ， 因此动瞬心轨迹为:11y 2= rx112-16 已知题图所示机构中 AB = 19.53cm ， vA = 15cm/ s ， aA = 10cm / s 试求此瞬时：2（1） 杆 AB 的角速度及 B 点的速度；（2） 杆 AB 的角度及 B 点的度。习题 2-16解：建立如图 2-16 所示的杆 AB 的随体坐标系，e1, e2 , e3 是该坐标系的向量（图中e3未画出，它垂直于纸面指向纸外。又设aA 和 rAB 的夹角为q 。

19、再AB 的角速度和角度为, ，由题意可判定它们的方向都垂直于纸面。在下面解答中，除非特别指明，长度和位移的rad/s2。为 cm，速度cm/s，度cm/s2，角速度为 rad/s，角度由题意可知：= 7.52 +102 = 12.5ADsinq = 10 12.5 = 0.8 ， cosq = 0.6A = -uA sinq e1 -uA cosq e2 = -15´0.8e1 -15´0.6e2 = -12e1 - 9e2aA = aA sinqe1 + aA cosqe2 = 10´0.8e1 +10´0.6e2 = 8e1 + 6e2rAD = 1

20、2.5e2 ， rAB = 19.53e2由刚体平面运动的速度公式可知：uDe2 = D = A + ´ rAD = -12e1 - 9e2 +we3 ´12.5e2这样-12 -12.5w = 0即w = -0.96或写作向量式 = -0.96e3于是再由刚体平面运动的速度公式B = A + ´ rAB = -12e1 - 9e2 + (-0.96e3 )´19.53e2 = 6.75e1 - 9e2如图(a)所示：h = 10cm(1)(2)cotq = x h2xhx2(x2 + h2 )2hxq = -+x2 + h2DqA图(a)带入x = 7

21、.5 cm， x = -uA = -15 cm/s， x = aA = 10 cm/s2得q = 2.02 rad/s2即e = 2.02或写作向量式 = 2.02e3(3)再由刚体平面运动的度公式hxE-(-0.96)2 ×19.53ea = a + ´ r -w2r= 8e + 6e + 2.02e ´19.53e= -31.45e -12e(4)BAABAB1232212（1）、（2）、（3）、（4）即为所求。半径为10cm 的轮 B 由曲柄OA 和连杆 AB 带动在半径为40cm 的固定轮上作纯滚动。2-17设OA 长10cm ， AB 长40cm ，OA

22、 匀速转动，角速度w =10rad/s 。求在图示位置轮 B 滚动的角速度和角度。yx习题 2-17解：如图 2-17 所示，建立直角坐标系 Oxyz，Oz 垂直于纸面指向纸外。Ox、Oy、Oz 轴心为 O1， rOA = rDB = R 。的向量分别为 i, j, k 。设固定AABOB由题意，在图示位置，A / B ，杆 AB 的速度瞬心在无穷远处，因此杆 AB 作瞬时平动，wAB = 0 ，且B = A = -wRi(1)轮 B 做纯滚动，D 点为其瞬心，故B = -wB Ri(2)联立式（1）和（2）得wB = wA = 10 rad/s即B = 10k rad/s(3)Aa AOBa

23、BtaBn以 A 点为基点，B 点的度为a = a + ´ r - w2 rBAABABAB ABk ´(r i - Rj )= -w 2 Rj + eAABOB= e Ri + (e r - w 2 R) jABAB OBAB 点在半径为 r = 50cm 的圆周（圆心为 O1）上做圆周运动，故aB = aBn + aBtv2= - B j - v i(为何 B 的切线度即为 R)rBR2w 2= -Re i -B jrB联立以上两式，得e AB = -eBR w2 2e r -w R = -2 B rAB OBA故有()rw - RwR22ABe = -e= -= -2

24、0.7 rad/s2BABr rOB即B = -20.7k rad/s2(4)（3）、（4）即为所求。度大小 aB 。细杆沿半径为 R 的固定圆柱作无滑动滚摆运动，上接触点 B 的2-18习题 2-18解：在本章例题 2-5 中，以 O 为基点，得轮上与轮相切点 C 的度为：l 2æl ö()w n -wrn = l 1 -w na = l222ç÷ 1C11r2èør若的半径为 R ，则l = R + r ，代入上式得：æ R2öæR + r ö()a = R + r 1-w n = -+2R

25、 w n2ç÷ 1ç÷ 1Cèrørèø显然令 r ® ¥ 即题情况，即 aB = Rw 2（ w 为杆的角速度），方向为 -n ，即由 O 指向 B。2-19凸轮以匀速v0 自右向左移动，对于连体基Oxy ，凸轮外形曲线方程为 y = f (x)。直杆 AB 长l ，一端铰接于定点 A ，另一端 B 搁在凸轮上。若要以匀角速度w0 转动，求凸轮外形曲线方程。习题 2-19解：以凸轮为动坐标系，B 点的绝对运动是动，牵连运动是和凸轮一起水平运动。转动，相对运动是沿凸轮外形的曲线运设 B 点的切线

26、与 x 轴的夹角为q ，则由几何关系可得：= (lw0 ) + v- 2lv w sin j2200 02vrlw 0vr=cosjsin q由此可：lw0 cosjv0 - lw0 sin jtanq =由题意，在固连坐标系中， y¢ = tanq，即lw0 cosjdy=dxv0 - lw0 sin j又， y = l sin j ， cosj =l 2 - y整理得：lv0 - w 0 y dy = wdx0l 2 - y 2两边后可得：v arcsinæ y ö + wl 2 - y 2 - wx = 0ç l ÷000è&#

27、248;2-20图示机构中，主动件的角速度或速度已经标明，欲求从动件的速度或角速度，试选择动点和动系，分析牵连、相对、绝对运动，并按图示位置分析牵连、相对、绝对速度。解：(a)以折杆为动系，曲柄末端为动点，则牵连运动和相对运动都是直线运动，绝对运动是转动。(b)以滑槽为动系, 曲柄末端为动点，牵连运动为直线运动，相对运动为沿滑槽的曲线运动,绝对运动为转动。(c)以曲柄为动系，直杆末端点为动点，则牵连运动为直线运动。转动，相对运动和绝对运动都是(d)以曲柄为动系，销钉为动点，则绝对运动和相对运动是直线运动，牵连运动是动。转(e)以曲柄为动系，半圆的圆心为动点。则绝对运动和相对运动都是直线运动，牵

28、连运动是转动。(f)以曲柄为动系，铰结点为动点，则绝对运动为动为转动。转动，相对运动为直线运动，牵连运(g)以曲柄为动系，销钉为动点，则相对运动为直线运动，绝对运动为转动，牵连运动也为转动。(h)以较长的曲柄为动系,滑块铰结点为动点，分别讨论联立求解。第一组，绝对运动为定轴转动，第二组绝对运动为直线运动。相对运动都为直线运动，牵连运动为转动。(i)以滑块为动系，竖杆上与滑块重合的点为动点，相对运动为直线运动，绝对运动为刚体平面运动，牵连运动为转动。(j)以滑块为动系，竖杆上与滑块重合的点为动点，相对运动为直线运动，绝对运动为刚体平面运动，牵连运动为转动。，摇杆机构的杆AB 以等速u 向上运动，

29、初始瞬时摇杆OC 水平。摇杆长OC=a，2-21距离 OD=l。求j = 45 时，点 C 的速度大小。ejerej习题 2-21解：取动系与摇杆 OC 固结。对 A 点，牵连速度：e = OAjej（1）相对速度：= dOA edt（2）rrA 点绝对速度：vA = ve + vr = uj1（3）lcosj将（1），（2）代入（3），并注意其中OA =，得到：+ d (l cosj ) elcosju sinj e + u cosj e =j erjjrdt从而：j = u cos j2u2l=lj =30C 点速度为：v = jOC = uac2l2-22已知轮 C 半径为 R，偏心距为

30、 e，角速度为常量。求q =0°时，平顶杆 AB 的速度。ADBvDrOCe习题 2-22解：AB 杆的速度应为圆盘与杆相切点的速度的竖直分量，当q 0 时，如上右图，有vAB = vD cosa = wR cosa = we已知直角弯杆 OBC 的角速度=0.5rad/s，OB=0.1m；求j =60°时，小环 M 的绝对2-23速度和绝对角速度。习题 2-23解：vrjvveRa1求绝对速度ve = w OW所以：= 0.5´0.2 = 0.1v = ve × tgj = 0.1´ 3 = 0.17vr = ve / cosj = 0.22

31、求绝对度ac = 2w´ vr = 0.2ajrae = w r = 0.052aeaac ×sinj = ar ×cosj得： ar = 0.2 3a = ar ×sinj + ac ×cosj - ae = 0.35答： va = 0.17m / s, aa = 0.35m / s2ac2-24图示小环 M 套在按抛物线 y2=180x 弯曲的金属丝和沿轴 Ox 以匀速 v=40mm/s 移动的铅垂杆 AB 上。求当杆 AB 与抛物线顶点 O 相距 80mm 时，小环 M 的绝对速度度大小，以及相对杆 AB 的速度、度大小。2-24习题Ma

32、nratqqar (aM )(a)(b)解：图（a）为此时环 M 的速度分解图，其中： r 为环 M 的相对于杆的速度（竖直方向）， M 为绝对速度（，沿抛物线切线方向，与水平方向成q 角）， 为已知的铅垂杆运行速度（水平方向，其大小 v = 40 mm/s）。由几何关系得tanq = 3 ， secq = 544于是v = v × tanq = 40´ 3 = 30 mm/sr4v = v ×secq = 40´ 5 = 50mm/sM4其图(a)所示。图（b）为此时环 M 的度分解图，其中： ar 为环 M 的相对于杆的度（竖直方向），由于杆 AB度

33、为 0，故ar 也为此时环 M 的绝对度aM ； an 为环 M 的法向度（沿抛物线法向，它和ar 也成q 角，向右下）；at 为环 M 的切向向左下）。求得此时环 M 所在抛物线点的曲率半径为r = 416.6667 mm度（沿抛物线切向，a = ur2nM故502 ´ 5ar = aM = a secq = u secq r =2= 7.5 mm/s2nM4 ´ 416.6667其图(b)所示。2-25已知轮 C 半径为 R，其角速度为常量。求j =60°时，O1A 杆的角速度和角度。习题 2-25解：取O1 A 杆为动系， C 为动点，则其牵连运动为绕O1

34、点的圆周运动，相对运动为沿平行于O1 A 的直线运动。由速度公式及几何关系易得：ve = vc = wR= vO C = wwO1 Ae12把C 点的度公式向垂直于O1 A 杆的轴进行投影可得：a cos p = -at cos p - a sin+ apnCeec366Rw 2Rw 2tt其中 aC = Rw ， ae =2n， ac = Rw 均已知，故 ae =2，又 ae = O1Ce ，得O1 A 杆的22 3角度为：w 24 3e =2-26图示倾角j =30°的尖劈以匀速u=200mm/s 沿水平面向右运动，使杆OB 绕O 轴转动，r = 200 3mm 。求当q =

35、j 时，杆 OB 的角速度和角度。习题 2-26解：取尖劈为动系， B 为动点，则其牵连运动与相对运动均为直线运动，绝对运动为绕 O 点的圆周运动。速度分析。由速度公式及几何关系可得：v = ve / cos pu3=B26故杆OB 的角速度为：w = v / r = 1 (rad / s)uB33r公式中， B 点的牵连度 ac = 0 ，可得：在度p= a tg= 3 rw 2 = er3ratnBB6327故杆OB 的角度为：e = 3 (rad / s 2 )272-27图示十字形滑块 K 连接固定杆 AB 和与 AB 垂直的杆 CD 。滑块AD=s=80(5+4sin(0.5t)mm

36、 运动。设a =30°，试求 t=/3s 时，滑块 K 的相对度。D 按方程度和绝对习题 2-27解：取 CD 杆为动坐标系，滑块 K 的绝对运动是沿 AB 杆上下运动，相对运动是沿 CD 杆水平运动，牵连运动是沿 AD 滑动。由于 AD = s = 80(5 + 4sin(0.5t) ，所以ve = s& = 160 cos(0.5t)ae = &s& = -80 sin(0.5t)当t = p 3 时，ae = 40(mm / s )2a = 60o 时，有几何关系可得：ar = 40sin 60 = 20 3(mm / s )o2a = 40 sin 3

37、0o = 20(mm / s 2 )2-28小环 M 同时与半径为 r 的两圆环如图相交，圆 O'固定，圆环 O 绕其圆周上一点 A 以匀角速度转动。求当 A、O、O'位于同一直线时两圆环交点 M 的速度大小与度大小。习题 2-28解:根据题意，圆环 O 作圆环 O 为动系，则转动,以 M 点为动点,，圆环 O 上与 M 重合的点为牵连点，v = ve + vr（1）将上式沿 AM 投影，有v = 0.5vr（*）ve - ( 3 / 2)vr= 0（*）ve = w ´ 3r同时联立： v = wra = ae + ar + ac（2）其中：a = w2 ´

38、; 3rn ， n 沿 MA 方向e11a = (v 2 / r)n +q r， n 沿 MO 方向, 垂直 MO 方向rr2r 121a = 2 ´ v = -4w 2rncr2同时 a = (v2 / r)n +q r ， n 沿 MO / 方向， 垂直 MO / 方向。3232于是，(v2 / r)n +q r = w 2 ´ 3rn + (v / r)n +q r -2w rn24321r2r 12将此式分别向 MO 和与其垂直的方向投影,可以联立：a = ( 21 / 3)rw 2OA 杆以等角速度w0 绕 O 轴转动，半径为 r 的滚轮在 OA 杆上作纯滚动，已

39、知2-29O1B =3r ，图示瞬时O 、B 在同一水平线上，O1B 在铅垂位置， ÐAOB = 30° ，求在此瞬时：（1） O1B 杆的角速度与角度；（2）滚轮的角速度与角度；（3）滚轮上 P 点的速度与度。nBn BBn B习题 2-29的动系Ox1 y1 。由于滚轮在 OA 杆上作纯滚动，在动系上看，滚轮解：建立上的 P 点与在杆 OA 上相应点的相对速度为 0。从而，P = OPw0 j1 = 3w0rj1（1）以点 B 为基点分析 P 点运动，得到：P = B +wBri1（2）又： = w O B = 1 w3 wri +rj（3）BO1B 1BO1B 1O1

40、B 122将（1），（3）代入（2），得到：3w rj = 1 w3 wrj + w riri +0 1O1B 1O1B 1B 122得到：ww (逆时针 )wB = -3w0 （顺时针= 2（4）O B01B 点度为：a = eO B + w O Bn = 3 eri+ 3 e- 3 w 2ri + 3 w 2 rj2rj（5）BO1B 1O1B 1O1B1O1B 1O1B 1O1B 12222利用度公式，得到 P 点度：aP = ae + ar + ac其中： a =- 3w ri ， a = 02e0 1c由于P = 3w0rj1 ，始终沿动系的 y1 轴，则： ar = ar j1w

41、ri + a ja = - 32从而：（6）P0 1r 1以 B 点为基点分析 P 点度为：a = a + w rj + e ri2（7）PBB 1B 1（5），（6）代入（7）得到：w ri = 3 e3 e3 w 2ri + 3 w 2 rj + w rj + e ri- 32ri +rj -2（8）0 1O1B 1O1B 1O1B1O1B 1B1B 12222将（4）代入（8）得到：= 2 33ew （逆时针），e = 02（9）O1B 0B= 2 3答：（1）w= 2w ()， ew （ ）2O1B0O1 B03w轮 = 3w0 （e轮 = 0（2），w (3i +16 j )（3）

42、v =3rwj ， a = r2-p0 1p0112-30图示半径为 r = 12cm 的半圆环可在水平面上滑动， AB 为固定铅垂直杆，小环 M 套在半圆环与直杆上，某瞬时半圆环平动的速度 v = 30cm / s ，度 a = 3cm / s2 ，且00q = 60° ，求此瞬时小环的速度大小与度大小。vraMvMve aeartarn习题 2-30解：M 点速度：vM = ve + vr = v0 + vr由于其只有竖直分量，即v0 = vr sinq ，故vr = 2v0 / 3 ，因此 ：vM = vr cosq = v0 / 3 = 10 3 (cm / s)M 点度：a

43、M = ae + ar = a0 + ar = a0 + art + arnvr2由于其只有竖直分量，即a0 = art sinq + arn cosq = art sinq +cosq ，故art = (a0 - arn cosq ) / sinq 因r此 ：a= a cosq - a sinq = (a - a cosq )ctgq - a sinq = 197 3 (cm / s2 )Mrtrn0rnrn32-31曲柄OA 长为l ，绕O 轴以等角速度w1 转动，其 A 端装有一圆盘，半径为 R ，圆盘绕着销轴 A 以常角速度w2 相对曲柄OA 转动，试求图示位置中 E 点的速度及度。习

44、题 2-31解：以固定在曲柄销 OA 上的直角坐标系 Oxyz（Ox，Oy，Oz 轴的向量分别为 i，j，k）为牵连坐标系。分析各点的速度（见图(a)）和示点，第二个字母表示牵连（e）或相对(r)或哥氏(c)。度（见图(b)）。下标的第一个字母表DeDyyDaaDeErEeDrADcxxaErEaDraEcEAOaEeOaGrGeaGcGaGeGGr(a)(b)由题意1 = w1k ， 2 = w2k对图(a)：D = De + Dr = w1k ´ rOD + w2k ´ rAD = w1k ´(li + Rj ) + w2k ´(Rj ) = -(w

45、1 +w2 ) Ri +w1ljE = Ee + Er = w1k ´ rOE +w2k ´ rAE = w1k ´(l + R)i + w2k ´(Ri ) = éë(w1 + w2 ) R + w1l ùû jG = Ge + Gr = w1k ´ rOG +w2k ´ rAG = w1k ´(li - Rj ) +w2k ´(-Rj ) = (w1 +w2 ) Ri +w1lj注意到= -w2 Ri ， Er = w2 Rj ， Gr = w2 RiDr对图(b)：()

46、()()2 Rja = a + a + a= -w r-w r+ 2w k ´u= -w li + Rj -w Rj + 2w k ´ -wRi = -w li - w + w22222DDeDrDc1 OD2 AD1Dr1212112()()2 Rù iéa = a + a + a= -w r-w r+ 2w k ´ = -w l + R i -w Riw k ´w Rj = -w l - w + w2222+ 22ëûEEeErEc1 OE2 AE1Er1212112()()()2 Rja = a + a +

47、a= -w r-w r+ 2w k ´u= -w li - Rj +w Rj + 2w k ´ w Ri = -w li + w +w22222GGeGrGc1 OG2 AG1Gr12121122-32试用点的复合运动的概念证明在极坐标中点的ar = &r& - rj&2度公式：= 1 d(r 2j& )ajr dt其中 r 和是用极坐标表示的点的运动方程，ar 是点的径向度，a是点的横向度。解：由点的复合运动的概念，取矢径为动坐标系，则任一点的相对运动是沿矢径直线运动，相对运动是转动。则vr = rnve = rj由此可得：a = ae +

48、 ar + ac= -rj 2n + rj + rn + 2j k ´ rn= (r - rj 2 )n + (rj + 2j r)即ar = &r& - rj&2= 1 d(r 2j& )ajr dt得证。2-33A、B 两船各自以匀速v A 和v B 分别沿直线航行，。B 船上的观察者下两船的距离 r 和夹角j 。试证明j&& = - 2r&j& ， &r& = rj& 2 。r习题 2-33证明：若取 B 船为动系，A 船为动点，则由度的极坐标形式为：度公式相对度为零，相对a = (&

49、;r& - rj& 2 )er + 1 d (r 2j& )ej = 0r dt由&r& - rj& 2 = 0, 1 d (r 2j& )= 0 ，可得j&& = - 2r&j& ， &r& = rj& 2 。r dtr图示机构中，小环 M 套在直角曲杆O1 AB 上，同时还套在半径为 r 的半圆环上，当2-34半圆环以水平速度v0 、水平度a0 行至图示位置时，q = 30° ，且知 AM =3O1 A =3r ，曲杆绕O1 轴转动的角速度为w1 ，角度为零，试求此瞬时小环 M 的速度和度。2-34习题解：1.求速度。：vev've = 2w1rve = v0'r30v'30evr''由 ve + vr = ve + vr ，可得：v'× sin30o = v cos 3