（精心整理）二次函数与一元二次方程关系知识点及练习

1、二次函数与一元二次方程关系知识点及练习一、二次函数与一元二次方程关系1、对于二次函数来说，当时，就得一元二次方程，抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；2、二次函数y=ax2+bx+c （a0）的图象与x轴的交点有三种情况（也即一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况）抛物线y=ax2+bx+c （a0）的图象与x轴有两个交点（x1，0）(x2，0) <=>当0时，一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）有两个不相等的实数根x1，x2，x1,2=；抛物线y=ax2+bx+c (a0)与x轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点（-，0

2、）<=>当=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1=x2= -抛物线y=ax2+bx+c (a0)与x轴没有交点<=>当0时，方程ax2+bx+c=0没有实数根。二、解读二次函数与一元二次方程关系1、二次函数与一元二次方程关系，其实就是一元二次方程的根和二次函数的图象与x轴的交点横坐标之间的关系；2、若一个二次函数的图象与x轴总有交点，则其对应的一元二次方程的判别式0.反之亦然；3、若抛物线y=ax2+bx+c （a0）的图象与x轴有两个交点A（x1，0）B(x2，0)，则抛物线的对称轴为直线x=，线段AB的距离=，对称轴与x轴的交点恰为线段AB的中点。4

3、、推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与与直线（当时为一次函数的图像，当时为平行于轴或与轴重合的一条直线）的交点情况.三、二次函数与一元二次方程关系应用1、若已知二次函数y=ax2+bx+c （a0）的函数值m，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之亦然。2、二次函数与一元二次方程的根的关系综合应用：判断抛物线与x轴的交点情况时，只需借助对应的一元二次方程的根的判别式；3、利用二次函数图象求一元二次不等式的解集：抛物线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c0的解集；抛物线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c0的解集；

4、4、二次函数与直线的综合应用：在同一坐标平面内，确定二次函数图象与一次函数图象交点问题，通常划归为求由对应的解析式组成的方程组的解的情况；当0时，这两函数有两个交点；当=0时，这两函数有一个交点；当0时，这两函数没有交点；练习一、填空题1.抛物线与轴有个交点，因为其判别式0，相应二次方程的根的情况为2. 函数（是常数）的图像与轴的交点个数为 3. 二次函数的图像与轴的交点坐标为4. 关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时5.函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标二、解答题1、已知P(-3，m)和Q(1，m)是抛物线y=2x2+bx+1上的两点（1）求b的值（2）

5、判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，说明理由（3）将抛物线y=2x2+bx+1的图形向上平移k(k是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值2、已知函数（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点；（2）若函数有最小值，求函数表达式3、 已知二次函数（1）求证：当时，二次函数的图像与轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与轴交点为，顶点为，且的面积为，求此二次函数的函数表达式4、已知一元二次方程7x2-(k+13)x-k+2=0的两个实数根x1、x2满足0x11,1x22，求k的取值范围5、已知抛物线C经过（-5，0），（0， ），（1，6）三