苏教版七年级数学下册《三角形三大模型》之角平分线模型 专题训练

1、苏教版七年级数学下册三角形三大模型之角平分线模型知识图谱典题精练【例1】佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.测量数据如下表：测量和度数测量工具量角器示意图与的平分线交于点测量数据第一次第二次第三次第四次（1） 通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：_.（2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由.【例2】如图，CBF、ACG是ABC的外角，ACG的平分线所在的直线分别与ABC、CBF的平分线BD、BE交于点D、E（1）若A=70°，求D的度数：（2）若A=，求

2、E；（3）连接AD，若ACB=，则ADB=_【例3】已知四边形ABCD，ABCD，A=C(1) 如图1，求证：ADBC；(2) 如图2，点E是BA延长线上的一点，连接CE，ABC的平分线与ECD的平分线相交于点P求证：BPC=90°-BCE；(3) 如图3，在（2）的条件下，CE与AD，BP分别相交于点F，GCQ平分BCD，AFE=BPC，D=4DCP求GCQ的度数【例4】已知：多边形的外角CBE和CDF的平分线分别为BM，DN(1) 若多边形为四边形ABCD如图1，A=50°，C=100°，BM与DN交于点P，求BPD的度数；如图2，猜测当A和C满足什么数量关系

3、时，BMDN，并证明你的猜想(2)如图3，若多边形是五边形ABCDG，已知A=140°，G=100°，BCD=120°，BM与DN交于点P，求BPD的度数思维拓展训练（选讲）训练1. 某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究(1) 如图1，在ABC中，ABC与ACB的平分线交于点P，A64°，则BPC；(2) 如图2，ABC的内角ACB的平分线与ABC的外角ABD的平分线交于点E其中A，求BEC（用表示BEC）；(3) 如图3，CBM、BCN为ABC的外角，CBM、BCN的平分线交于点Q，请你写出BQC与A

4、的数量关系，并说明理由(4) 如图4，ABC外角CBM、BCN的平分线交于点Q，A64°，CBQ，BCQ的平分线交于点P，则BPC°，延长BC至点E，ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则R°训练2. 新定义：在ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称ABC为n倍角三角形例如，在ABC中，A=80°，B=60°，C=40°，可知A=2C，所以ABC为2倍角三角形(1) 在DEF中，E=40°，F=35°，则DEF为_倍角三角形(2) 如图1，直线MN与直线PQ相交于O，POM

5、=30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已知BAO、OBA的角平分线交于点C，在ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出BAC的度数(3) 如图2，直线MN直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知BAO、OAG的角平分线分别与BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若AEF为3倍角三角形，试求ABO的度数复习巩固【练习1】如图，在四边形ABCD中，DAB的角平分线与ABC的外角平分线相交于点P，且D+C=210°，则P=（）A10°B15°C30°D40°练1图练2图练3图【练习2】如图，ABC 中，点

6、D,E 分别在ABC 和ACB 的平分线上，连接 BD,DE,EC,若D+E=295°，则A是（）A65°B60°C55°D50°【练习3】如图，在ABC中，A=，ABC与ACD的平分线交于点A1，得A1；A1BC与A1CD的平分线相交于点A2，得A2；A2021BC与A2021CD的平分线相交于点A2022，得A2022，则A2022=_【练习4】如图，ABC中，AD是BC边上的高，AE是BAC的平分线，EAD=5°，B=50°，求C的度数【练习5】如图，在ABC中，AD，AF分别是ABC的中线和高，BE是ABD的角平分线

7、（1）若ABC的面积为40，BD=5，求AF的长；（2）若BED=40°，BAD=25°，求BAF的大小【练习6】如图，AOB=40°，OC平分AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设ODP=x°（1）如图1，若DEOBDEO的度数是_°，当DPOE时，x=_；若EDF=EFD，求x的值；（2）如图2，若DEOA，是否存在这样的x的值，使得EFD=4EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由【练习7】阅读下面的材料，并解决问题（1）已知在ABC中，A60°，图13的ABC的内角平

8、分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数如图1，O；如图2，O；如图3，O；如图4，ABC，ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则BO2O1（2）如图5，点O是ABC两条内角平分线的交点，求证：O90°A（3）如图6，ABC中，ABC的三等分线分别与ACB的平分线交于点O1，O2，若1115°，2135°，求A的度数【例1】佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.测量数据如下表：测量和度数测量工具量角器示意图与的平分线交于点测量数据第一次第二次第三次第

9、四次（1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：_.（2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由.【答案】（1）；（2），理由见解析【解析】（1）根据题意，设，解得：，.（2）.理由：与的平分线交于点，.，.是的外角，.【例2】如图，CBF、ACG是ABC的外角，ACG的平分线所在的直线分别与ABC、CBF的平分线BD、BE交于点D、E（1）若A=70°，求D的度数：（2）若A=，求E；（3）连接AD，若ACB=，则ADB=_【答案】（1）D=35°；（2）E=90°-；（3）【例3】已知四边形ABCD，ABCD，A=C（1）如图1，

10、求证：ADBC；（2）如图2，点E是BA延长线上的一点，连接CE，ABC的平分线与ECD的平分线相交于点P求证：BPC=90°-BCE；（3）如图3，在（2）的条件下，CE与AD，BP分别相交于点F，GCQ平分BCD，AFE=BPC，D=4DCP求GCQ的度数【解析】解：（1）ABCD，B+C=180°，A=C，B+A=180°，ADBC；（2）BP平分ABC，CP平分ECD，ABC=2PBC，ECD=2ECP，ABC+BCD=180°，2PBC+BCE+2ECP=180°，即：PBC+BCE+ECP=90°，BPC+PBC+BCE+

11、ECP=180°，BPC+BCE=90°，BPC=90°-BCE；（3）AFE=BPC，BPC=90°-BCE；AFE=90°-BCE，ADBC，BCE=AFE=90°-BCE；解得BCE=60°，AFC=180°-BCE=120°，BPC=60°，AFC=D+DCE，D=4DCP，4DCP+DCE=120°，DCE=2DCP，6DCP=120°，解得DCP=ECP=20°，B=D=80°，PCB=40°，PCB+P+BCP=180°，

12、BCP=180°-40°-60°=100°，CQ平分BCP，BCQ=50°，GCQ=BCE-BCQ=60°-50°=10°【例4】已知：多边形的外角CBE和CDF的平分线分别为BM，DN（1）若多边形为四边形ABCD如图1，A=50°，C=100°，BM与DN交于点P，求BPD的度数；如图2，猜测当A和C满足什么数量关系时，BMDN，并证明你的猜想（2）如图3，若多边形是五边形ABCDG，已知A=140°，G=100°，BCD=120°，BM与DN交于点P，求BPD

13、的度数【答案】（1）25°；当A=C时，BMDN；（2）30°【解析】解：（1）A=50°，C=100°，在四边形ABCD中，ABC+ADC=360°-A-C=210°，CBE+CDF=150°外角CBE和CDF的平分线分别为BM，DN，PBC+PDC=CBE+CDF=（CBE+CDF）=×150°=75°，BPD=360°-A-（ABC+ADC）-（PBC+PDC）=360°-50°-210°-75°=25°；当A=C时，BMDN证明

14、：如图，连接BDBMDN，BDN+DBM=180°，FDN+ADB+ABD+MBE=360°-180°=180°，即（FDC+CBE）+（ADB+ABD）=180°，（360°-ADC-CBA）+（180°-A）=180°，（360°-360°+A+C）+（180°-A）=180°，A=C（2）如图，延长DC交BP于点QA=140°，G=100°，BCD=120°，A+ABC+BCD+CDG+G=540°，ABC+CDG=180

15、6;，CBE+CDF=360°-180°=180°，BP平分CBE，DP平分CDF，CBP+CDP=（CBE+CDF）=90°，BCD=CBP+CQB，CQB=QDP+BPD，BCD=CBP+QDP+BPD，BPD=BCD-（CBP+QDP）=120°-90°=30°思维拓展训练（选讲）训练1. 某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究（1）如图1，在ABC中，ABC与ACB的平分线交于点P，A64°，则BPC；（2）如图2，ABC的内角ACB的平分线与ABC的外角A

16、BD的平分线交于点E其中A，求BEC（用表示BEC）；（3）如图3，CBM、BCN为ABC的外角，CBM、BCN的平分线交于点Q，请你写出BQC与A的数量关系，并说明理由（4）如图4，ABC外角CBM、BCN的平分线交于点Q，A64°，CBQ，BCQ的平分线交于点P，则BPC°，延长BC至点E，ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则R°【解答】解：（1）PB、PC分别平分ABC和ACB，PBCABC，PCBACB（角平分线的性质），BPC+PBC+PCB180°（三角形内角和定理），BPC180°（PBC+PCB）180°（ABC

17、ACB）180°（ABC+ACB）180°（180°A）180°90°A90°A90122°故答案为：122°；（2）BE是ABD的平分线，CE是ACB的平分线，ECBACB，ECDABDABD是ABC的外角，EBD是BCE的外角，ABDA+ACB，EBDECB+BEC，EBDABD（A+ACB）BEC+ECB，即A+ECBECB+BEC，BECA；（3）结论BQC90°ACBM与BCN是ABC的外角，CBMA+ACB，BCNA+ABC，BQ，CQ分别是ABC与ACB外角的平分线，QBC（A+ACB），Q

18、CB（A+ABC）QBC+QCB+BQC180°，BQC180°QBCEQB180°（A+ACB）（A+ABC），180°A（A+ABC+ACB）180°A90°90°A；（4）由（3）可知，BQC90°A90°58°，由（1）可知BPC90°BQC90°119°；由（2）可知，RBQC29°故答案为119，29训练2. 新定义：在ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称ABC为n倍角三角形例如，在ABC中，A=80&#

19、176;，B=60°，C=40°，可知A=2C，所以ABC为2倍角三角形（1）在DEF中，E=40°，F=35°，则DEF为_倍角三角形（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，POM=30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已知BAO、OBA的角平分线交于点C，在ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出BAC的度数（3）如图2，直线MN直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知BAO、OAG的角平分线分别与BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若AEF为3倍角三角形，试求ABO的度数【答案】（1）3；（2）BAC等

20、于50°、52.5°、25°或22.5°；（3）ABO等于45°或60°时，AEF为3倍角三角形【解析】解：（1）E=40°，F=35°，D=180°-40°-35°=105°，D=3F，ABC为3倍角三角形，故答案为：3；（2）解：POM=30°，OAB+OBA=150°又BC平分OBA，AC平分OAB，CBA+CAB=OAB+OBA=75°，C=105° 当CBA=2CAB时，CBA+CAB=75°，BAC=25

21、°； 当CAB=2CBA时，CBA+CAB=75°，BAC=50°；当C=2CAB时，C=105°，BAC=C=52.5°； 当C=2CBA时，C=105°，CBA=C=52.5°，BAC=22.5°综上，在ABC中当一个角是另一个角的2倍时，BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°；（3）解：AE平分BAO，AF平分OAG，BAE=EAO，OAF=GAF，EAF=EAO+OAF=90°，E+F=90°；又EF平分BOQ，EOQ

22、=E+EAO=45°，BOQ=ABO+BAO=90° ； ×2-得：ABO=2E若AEF为3倍角三角形： i）若F=3E，E+F=90°，E=22.5°，ABO=45°； ii）若E=3F，E=67.5°，ABO=135°（不符合题意，舍去）； iii）若EAF=3E，E=30°，ABO=60°； iv）若EAF=3F，F=30°，E=60°，ABO=120°（不符合题意，舍去）；综上所述，ABO等于45°

23、或60°时，AEF为3倍角三角形复习巩固【练习1】如图，在四边形ABCD中，DAB的角平分线与ABC的外角平分线相交于点P，且D+C=210°，则P=（）A10°B15°C30°D40°【解析】解：如图，D+C=210°，DAB+ABC+C+D=360°，DAB+ABC=150°又DAB的角平分线与ABC的外角平分线相交于点P，PAB+ABP=DAB+ABC+（180°-ABC）=90°+（DAB+ABC）=165°，P=180°-（PAB+ABP）=15°

24、;故选：B【练习2】如图，ABC 中，点 D,E 分别在ABC 和ACB 的平分线上，连接 BD,DE,EC,若D+E=295°，则A 是（）A65°B60°C55°D50°【答案】D【详解】解：在四边形BDEC中，DBC+EBC+D+E=360°D+E=295°DBC+ECB =360°-295°=65°BD、CE分别平分ABC、ACBABC=2DBC, ACB=2ECBABC+ACB=2DBC+2ECB=2(DBC+ECB)=130°A=50°故选：D【练习3】如图，在A

25、BC中，A=，ABC与ACD的平分线交于点A1，得A1；A1BC与A1CD的平分线相交于点A2，得A2；A2021BC与A2021CD的平分线相交于点A2022，得A2022，则A2022=_【答案】【练习4】如图，ABC中，AD是BC边上的高，AE是BAC的平分线，EAD=5°，B=50°，求C的度数解：AD是BC边上的高，EAD=5°，AED=85°，B=50°，BAE=AED-B=85°-50°=35°，AE是BAC的角平分线，BAC=2BAE=70°，C=180°-B-BAC=180&#

26、176;-50°-70°=60°【练习5】如图，在ABC中，AD，AF分别是ABC的中线和高，BE是ABD的角平分线（1）若ABC的面积为40，BD=5，求AF的长；（2）若BED=40°，BAD=25°，求BAF的大小【解析】解：（1）AD是ABC的中线，BD=5，BC=2BD=2×5=10，AFBC，SABC=40，BCAF×10AF40，AF=8；（2）在ABE中，BED为它的一个外角，且BED=40°，BAD=25°，ABE=BED-BAD=40°-25°=15°，B

27、E是ABD的角平分线，ABC=2ABE=2×15°=30°，AFBC，AFB=90°，在RtABF中，BAF=90°-ABC=90°-30°=60°【练习6】如图，AOB=40°，OC平分AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设ODP=x°（1）如图1，若DEOBDEO的度数是_°，当DPOE时，x=_；若EDF=EFD，求x的值；（2）如图2，若DEOA，是否存在这样的x的值，使得EFD=4EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明

28、理由解：（1）AOB=40°，OC平分AOB，BOE=20°，DEOB，DEO=BOE=20°；DOE=DEO=20°，DO=DE，ODE=140°，当DPOE时，ODP=ODE=70°，即x=70，故答案为：20，70；DEO=20°，EDF=EFD，EDF=80°，又ODE=140°，ODP=140°-80°=60°，x=60；（2）存在这样的x的值，使得EFD=4EDF分两种情况：如图2，若DP在DE左侧，DEOA，EDF=90°-x°，AOC=20

29、°，EFD=20°+x°，当EFD=4EDF时，20°+x°=4（90°-x°），解得x=68；如图3，若DP在DE右侧，EDF=x°-90°，EFD=180°-20°-x°=160°-x°，当EFD=4EDF时，160°-x°=4（x°-90°），解得x=104；综上所述，当x=68或104时，EFD=4EDF【练习7】阅读下面的材料，并解决问题（1）已知在ABC中，A60°，图13的ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数如图1，O；如图2，O；如图3，O；如图4，ABC，ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则BO2O1（2）如图5，点O是ABC两条内角平分线的交点，求证：O90°A（3）如图6，ABC中，ABC的三等分线分别与ACB