辽宁省实验中学分校2018届高三12月月考数学理试题含解析

1、数学学科（理）高三年级第I卷（选择题）一选择题：共12题，每小题5分，共60分，每道小题只有一个正确的答案，把你选的答案涂在答题卡上.1. “a = 1”是“复数（，i为虚数单位）是纯虚数”的 （ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由“a = 1”得：是纯虚数；反过来，由“复数（，i为虚数单位）是纯虚数”得 所以“a = 1”是“复数（，i为虚数单位）是纯虚数”的充要条件.故选C.考点：1、复数的概念；2、充要条件.2. 函数的定义域和值域分别是和，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，即，即定义

2、域A=由，可得：，值域3. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）A. 12 B. 10 C. 8 D. 2【答案】B【解析】视频4. 若向量a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】向量a(1,2)，b(1，1)2ab，ab2ab与ab的夹角等于故选：C5. 在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ）A.

3、甲丙丁戊乙 B. 甲丁丙乙戊 C. 甲丙戊乙丁 D. 甲乙丙丁戊【答案】C【解析】根据题干和答案综合考虑，运用排除法来解决，首先，观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，B，D不成立，乙不能和甲交流，A错误，因此，C正确6. 在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。”则下列说法错误的是（ ）A. 此人第二天走了九十六里路 B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C. 此人第三天走的路程占全程的 D. 此人后三天共走了42里路【答案】C【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=37

4、8求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案7. 在斜中，,则角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在斜中，,角等于故选：A8. 阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（ ）A. 计算数列的前10项和 B. 计算数列的前9项和C. 计算数列的前10项和 D. 计算数列的前9项和【答案】B【解析】框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=1；判断i9不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判断i9不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判断i9不成立，执行S=1+2×（1+

5、2）=1+2+22，i=3+1=4；判断i9不成立，执行S=1+2+22+28，i=9+1=10；判断i9成立，输出S=1+2+22+28算法结束故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 某几何体的三视图如右上图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由三视力图可知该几何体是一个四棱台，如下图所示，其上下底面是边长分别为1和2的正方形，一条侧棱与底面垂直，且

6、,且四个侧面均为直角梯形，,所以棱台的表面积为：.故选B.考点：1、空间几何体的三视图；2、棱台的表面积.10. 如图,在直三棱柱中，,则异面直线与所成的角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，AEA1E1，E1A1C或其补角是异面直线AE与A1C所成的角AC=AB=AA1=2，RtA1B1C1中，A1E1=，正方形AA1C1C中，A1C=，RtCC1E1中，E1C1=，E1C=因此，在M1E1C中， 异面直线AE与A1C所成的角为点睛：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法 一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点

7、(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行，解题时注意异面直线所成角的范围，根据三角形的内角来确定异面直线所成角的大小。11. 三棱锥的外接球为球，球的直径是，且、都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：如图所示，连接，因为都是边长为的等边三角形，所以,所以，所以，三棱锥的体积，故选A考点：棱锥的体积公式.12. 已知函数(为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，若函数有两个极值点，则 和 在 

8、有 2 个交点，令 , 则  ，在递减 , 而 ，故 时 , , 即, 递增， 时 , , 即,递减，故，而 时 , ,时 ,  ，若 和 在 有 2 个交点只需 ，点晴：本题考查函数导数与函数的极值点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判

9、断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法. 第II卷（非选择题）二填空题：共4题，每小题5分，共20分，把每道小题的答案写在答题纸相应的位置上.13. 已知曲线在点（0，0）处的切线为，则由及直线围成的区域面积等于_.【答案】 【解析】因为，切线方程为，故填14. 已知，点C在内且，则= _【答案】 【解析】试题分析：如图，过分别作，并分别交于，则，；为等腰直角三角形；即；故答案为：考点：平面向量的基本定理及其意义【思路点

10、睛】作，根据向量加法的平行四边形法则即可得到，从而得到，而为等腰直角三角形，从而得到，据此即可求出15. 已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点,则实数的取值范围是_.【答案】或 【解析】法一：数形结合图像法，函数与函数的恰好有两个交点，如图，因为过定点所以或故的范围为.法二：直接法：函数与函数的恰好有两个交点，当时，方程得在与单调递减，故；当，由，有 ，解得，或，则与每一段函数有且只有一个交点，那么同时满足，故 .答案.【考点定位】本题考察了分段函数数与未知函数交点情况去求参数取值范围的问题，着重强调了分段函数要分段讨论，特别体现了形结合这种思想在解题中的巨大作用，考察了学生对函数图像、性质

11、的把握，对函数的分段讨论的思想，需要较强的想象、推理能力16. 若数列 是等差数列，则有数列也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有_也是等比数列.【答案】 【解析】数列an，（nN*）是等差数列，则有数列也是等差数列类比推断：若数列cn是各项均为正数的等比数列，则当dn=时，数列dn也是等比数列故答案为：点睛：这是一个类比推理的题，在由等差数列到等比数列的类比推理中，一般是由等差的性质类比推理到等比的性质，即可得出结论类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）三、解答题：解答应写

12、文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和（）求的解析式及的值； （）若锐角满足，求的值【答案】（1） ，（2） 【解析】试题分析：（1）根据图象求出A，T，求出，图象经过（0，1），求出，然后求f（x）的解析式，根据（x0，2）求x0的值；（2）锐角满足，求出sin，sin2，cos2，化简f（4），然后求f（4）的值试题解析：（1）由题意可得，即 ，又，由，, ，所以，又是最小的正数， （2）， . 18. 如图,矩形和梯形所在平面互相垂直，,. （）求证：平面;（）当的长为何值时,二面角的大小为60°【答

13、案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析：（I）由已知中在BCE中，BCCF，BC=AD=，BE=3，由勾股定理，我们易得EFCE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC平面EFCB，则DCEF，进而由线面垂直的判定定理得到答案（II）以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，设AB=a，分别求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夹角公式，由二面角AEFC的大小为60°，构造关于a的方程，解方程求出a值试题解析：（1）证明：在中，所以.又因为在中，所以.由已知条件知，平面，所以.又，所以平面（2）如图，以

14、点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz设AB=a（a >0），则C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(， 3，0），F（0，4，0）从而设平面AEF的法向量为，由得，取x=1，则，即.不妨设平面EFCB的法向量为，由条件，得，解得所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 数列为递增的等比数列, ，数列满

15、足（）求数列的通项公式；（）求证：是等差数列；（）设数列满足，且数列的前项和，并求使得对任意都成立的正整数的最小值.【答案】（1）（2） 是首项为1，公差为2的等差数列 （3）4【解析】试题分析：（1）根据an为递增的等比数列且a32=a1a5，得到a1=1，a3=4，a5=16，进而求得an，bn的通项公式；（2）利用等差数列定义加以证明;（3）利用裂项相消法求数列的前n项和，再用分离参数法和单调性求m的最小值试题解析：（1）数列为递增的等比数列，则其公比为正数，又，当且仅当时成立。此时公比 所以 （2） 因为 ，所以，即所以是首项为，公差为2的等差数列 （3），所以 ， ，nN*，即数列T

16、n是递增数列当n=1时，Tn取得最小值， 要使得对任意nN*都成立，结合（）的结果，只需，故正整数m的最小值为4. 20. 中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且（）求的值;（）设，求的值.【答案】（） （）3【解析】本试题主要是考查了解三角形的运用。（1）因为由得由及正弦定理得进而化简得到结论，（2）由得，由可得，即由余弦定理得得到a+c的值。解：（）由得由及正弦定理得于是 （）由得，由可得，即由余弦定理得21. 设函数，（）若，求的极小值；（）在（）的条件下，是否存在实常数和，使得和？若存在，求出和的值若不存在，说明理由；（）设有两个零点，且成等差数列，试探究值的符号【答案】（1）极小值

17、为0（2）k=2,m= -1（3） 【解析】试题分析：（）首先由,得到关于的两个方程,从而求出,这样就可得到的表达式,根据它的特点可想到用导数的方法求出的极小值; （）由（）中所求的和,易得到它们有一个公共的点,且和在这个点处有相同的切线,这样就可将问题转化为证明和分别在这条切线的上方和下方,两线的上下方可转化为函数与0的大小,即证和成立,从而得到和的值; （）由已知易得,由零点的意义,可得到关于两个方程,根据结构特征将两式相减,得到关于的关系式,又对求导,进而得到,结合上面关系可化简得:,针对特征将当作一个整体,可转化为关于的函数,对其求导分析得,恒成立.试题解析：解：（）由，得，解得2分则

18、=，利用导数方法可得的极小值为5分（）因与有一个公共点，而函数在点的切线方程为，下面验证都成立即可 7分由，得，知恒成立 8分设，即，易知其在上递增，在上递减，所以的最大值为，所以恒成立.故存在这样的k和m，且10分（）的符号为正. 理由为：因为有两个零点，则有，两式相减得12分即，于是 14分当时，令，则，且.设，则，则在上为增函数而，所以，即. 又因为，所以.当时，同理可得：.综上所述：的符号为正 16分考点：1.函数的极值;2.曲线的切线;3.函数的零点请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. 已知圆锥曲线C： 为参数）和定点,是此圆锥曲线的左、右焦点（）以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；（）经过点，且与直线垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求的值.【答案】（）（） 【解析】试题