导数在经济中的应用

1、1二、二、弹性分析第六节一、一、边际分析导数在经济学中的应用 第二章 2一、一、 边际分析边际分析 定义定义 设某经济函数设某经济函数 在点在点 可导，可导，( )yf x0000()()lim()xf xxf xfxx ;yx0 x00(,)xxx0()fx0 x0 x( )yf x 在在 内的内的平均变化率平均变化率为：为：在点在点 处的处的瞬时变化率瞬时变化率为：为：在经济学中称在经济学中称 为为 在点在点 处的处的边际函数边际函数值值。3设在点设在点 处，当自变量处，当自变量 从从 改变一个单位（即自变量的增改变一个单位（即自变量的增量量 ）时函数的增量）时函数的增量 的准确值为的准确

2、值为 ，由微分近似公，由微分近似公式知，式知， 的近似值为的近似值为x0 x0 xx1x y 00000111x xx xxxyf xf xdyfxxfx 01x xxy y1x 当当 时，标志着自变量时，标志着自变量 从从 减少一个单位，而减少一个单位，而x0 x 00011x xx xxxydyfxxfx 由此可知有关边际的由此可知有关边际的经济意义经济意义是是：经济函数经济函数 在点在点 处当自变处当自变量量 增加（减少）一个单位时增加（减少）一个单位时，函数函数 近似增加（减少近似增加（减少） 个单个单位。位。( )f x0 xxx0()fxy4例例1 1 设函数设函数 ，求，求 在在

3、 时的边时的边际函数值际函数值2yxy5x 2yx 解解51 0 xy若函数若函数 具有经济意义，则具有经济意义，则 表明：表明：510 xy2yx5x xy当当 时，时， 每改变一个单位（增加或减少一每改变一个单位（增加或减少一个单位），个单位）， 改变十个单位（增加或减少十个改变十个单位（增加或减少十个单位）。单位）。5（1 1）总成本函数与边际成本）总成本函数与边际成本 某产品的某产品的总成本总成本是指生产一定数量的产品所是指生产一定数量的产品所需的全部资源投入费用的总和，它由固定成本与需的全部资源投入费用的总和，它由固定成本与可变成本组成。可变成本组成。 平均成本平均成本是指生产一定数

4、量的产品，平均每是指生产一定数量的产品，平均每单位产品的成本。单位产品的成本。 边际成本边际成本是指总成本的变化率。是指总成本的变化率。总成本、平均成本和边际成本都是产量的函数。总成本、平均成本和边际成本都是产量的函数。6x设产品的产量为设产品的产量为 单位时，称单位时，称 为该产品的总成本函数，产为该产品的总成本函数，产量量 时的成本时的成本 为固定成本，为固定成本， 为可变成本。为可变成本。0 x 10( )( )C xC xC( )CC x0(0)CC称为称为边际成本函数边际成本函数00()( )( )limlimxxCC xxC xC xxx 表示产量为表示产量为 时的边际成本，其时的

5、边际成本，其经济意义经济意义是当产量为是当产量为 时，每增加（减少）一个单位产量，总成本将增加（减少）个时，每增加（减少）一个单位产量，总成本将增加（减少）个单位。单位。0 x0()C x0 x0()C x( )( )C xC xx称为称为平均成本函数平均成本函数2( )( )( )( )C xxC xC xC xxx称为称为平均边际成本函数平均边际成本函数7例例2 2 设某商品的成本函数为设某商品的成本函数为 ，当产品，当产品的生产量为的生产量为 时的平均成本和边际成本分别为多少，并时的平均成本和边际成本分别为多少，并说明边际成本的经济意义说明边际成本的经济意义. .2( )100 10C

6、xxx10 x 解解 平均成本函数为平均成本函数为 ( )10010,C xC xxxx1030C10 x 则当则当 时的平均成本为时的平均成本为又由边际成本函数为又由边际成本函数为 102Cxx则当则当 时的边际成本为时的边际成本为10 x 1030C边际成本的经济意义是：当产品的产量为边际成本的经济意义是：当产品的产量为1010时，每多生产或少时，每多生产或少生产一个单位，总成本将增加或减少生产一个单位，总成本将增加或减少0 0个单位个单位. .8（2 2）总收益函数与边际收益）总收益函数与边际收益 总收益总收益（收入）是指生产者出售一定数量的（收入）是指生产者出售一定数量的产品所获得的全

7、部收入。产品所获得的全部收入。 平均收益平均收益是指生产者出售一定数量的产品，是指生产者出售一定数量的产品，平均每售出单位产品所获得的收入，也就是单位平均每售出单位产品所获得的收入，也就是单位产品的售价。产品的售价。 边际收益边际收益是指总收益的变化率。是指总收益的变化率。 总收益、平均收益和边际收益都是销售量的总收益、平均收益和边际收益都是销售量的函数。函数。9x设设 为产品的销售量，则有为产品的销售量，则有 称为产品的称为产品的销售价格函销售价格函数数( )PP x( )( )RR xx P x称为称为总收益函数总收益函数00()( )( )limlimxxRR xxR xR xxx 称为

8、称为边际收益函数边际收益函数0Rx 表示销售量为表示销售量为 时的边际收益，其时的边际收益，其经济意义经济意义是当销售量为是当销售量为 时，每增加（减少）一个销售量，总收益将增加（减少）时，每增加（减少）一个销售量，总收益将增加（减少） 个单位。个单位。0 x0 x0Rx10 x例3 某商品销售量 与价格 之间的函数关系式 ，求当销售量分别为400，500，600时的总收益和边际收益，并说明边际收益的经济意义100.01PxP2( )( )100.01R xx P xxx解 因为总收益函数为400,500,600 x 所以，当销售量 时的总收益分别为4002400,R5002500,R6002

9、400R( )100.02R xx又由于边际收益函数为又由于边际收益函数为11(400)2,R400,500,600 x 所以，当销售所以，当销售量量 时的边际收益时的边际收益分别为分别为(500)0,R(600)2,R 边际收益的经济意义是：当销售量分别为边际收益的经济意义是：当销售量分别为400400，500500，600600时，每增加（减少）一个销售量，总收时，每增加（减少）一个销售量，总收益将增加（减少）益将增加（减少）2 2、0 0、2 2个单位个单位. .12（3）利润函数与边际利润利润是指生产者出售一定数量的产品所获得的净收入.一般情况下，总利润函数 等于总收益函数 与总成本函

10、数 的差，边际利润是指利润的变化率 ( )L x( )R x( )C x 00()( )limlimxxLL xxL xL xxx 称为边际利润函数称为总利润函数 ( )( )L xR xC x0L x 表示产量为 时的边际利润，其经济意义是当产量为 时，每增加（减少）一个产量，利润将增加（减少） 个单位.0 x0 x0L x13 L xR xC x即当 时， RxCx( )0L x RxCx RxCx( )0L x( )0L x例4 某产品的总成本函数 ，总收益函数 ，求当产量分别为 时的总利润和边际利润，并说明边际利润的经济意义。( )5002C xx400,5002( )100.01R

11、xxx由 ，显然边际利润可由边际收益与边际成本决定。即当 时，即当 时，14 2( )( )80.01500L xR xC xxx解 由于利润函数为400,500 x 所以当产量 时的利润分别为边际利润的经济意义是：当产量分别为边际利润的经济意义是：当产量分别为400400，500500时，时，每增加（减少）一个销售量，利润将增加（减少）每增加（减少）一个销售量，利润将增加（减少）0 0、2 2个单位个单位. .4001100,5001000LL所以当产量 边际利润分别为400,500 x 又由于边际利润函数为( )80.02L xx(400)0,(500)2LL 15例如， 商品甲每单位价格

12、元；涨价元，110元，商品乙每单位价格1000。元也涨价1，元变量都是两种商品价格的绝对改1却有很大的两种商品涨价的百分比不同。10甲商品涨了,1 . 0而乙商品涨了。与函数变化率前面讨论的函数改变量都是绝对改变量与绝对变化率。究绝对改变量在经济活动中仅仅研变化率还是不够的。与绝对但是各与其原价相比，因此有必要研化率。究相对改变量和相对变二、弹性分析16，设)(xfy 比自变量的相对改变量之把函数的相对改变量与xxyyxyyx的相对变化率。到从称为函数xxxxf)( 我们把yxfxxfyy)()(xx与量在处的相对改变量与自变在点分别称为函数xxf)(的相对改变量。 处点x 1、概念17xyy

13、xx0lim称极限yxyxx0lim)()(/xfxfx记为。)()(/xfxfxExEy在经,)( 的弹性函数济学中通常又称为xf )()(/xfxfxxyyx由于所以yy)()(/xfxfxxx)()(/xfxfx,)(导数对点处的相对变化率或相在为函数xxf 如果取,1xx这表明：1的相对改变量为当x时,的相对改函数 y变量近似地为)()(/xfxfx。绝对改变量：相对改变量：平均变化率：平均相对变化率： （弧弹性）变化率：（边际函数） 相对变化率： （点弹性） 相关概念的比较, xyyx 0limxyx ,xyxyyyxx 0limxyyxx 有量刚无量刚研究变量绝对量之间的关系是某一

14、变量的相对变化引起另一变量的相对变化的度量2、需求弹性( )EQdQpEpdp Q pp Q= ( )f p（1）定义：设某商品的市场需求量为Q，价格为p，需求函数 可导，则称：为该商品的需求价格弹性，简称需求弹性，常记为：（2）经济含义： 一般来说， 在经济学中，常使用 0. p p 当商品的价格上涨（或下跌）1% 时，其需求量将减少（或增加）约%.p 20（3）讨论：（a）单位弹性：1 p （b）高弹性：1 p （c）低弹性：1 p （d）无弹性：0 p （e）无穷弹性： p 213、收益的价格弹性（1）定义ERdRpEpdpR RQp dRdQpQdpdp被称为总收益对价格的弹性（2）

15、与需求弹性的关系ERdQppQEpdpR1 p 1pEREp 即即22 (a)若 (称为高弹性)时, 1 p (b)若 (称为低弹性)时, 1 p (c)若 (称为单位弹性)时, 1 p （3）价格变动如何影响销售收入0 EREp0 EREp0 EREp此时此时, , 降价将使收益增加降价将使收益增加; ; 提价将使收益减少提价将使收益减少; ;此时此时, ,降价将使收益减少降价将使收益减少; ; 提价将使收益增加提价将使收益增加; ;此时此时, , 无论是降价还是提价均对收益没有明显无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响。的影响。23总收益与需求弹性的关系图总收益与需求弹性的关系图pRo1

16、p 1p 1p 24设某商品需求函数为例 . 3,212)(PPfQ;) 1 (EPEQ求需求弹性函数;6)2(时的需求弹性求P16)3(若价格上涨时，在P，？总收益是增加还是减少)2(212)212(/PPP21221PPPP24PEQPEPP624 624631解：EQEPQQP/) 1 (2516)3(若价格上涨时，在P，？总收益是增加还是减少总收益PQR )212(PP总收益的弹性EPERRRP/)212()212(/PPPPP21212PPEPER6P21212PP6P26126123267. 016价格上涨时，即在P，总收益增加67. 026（2004研究生考题：推导公式，说明经济意义）(本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P，其中价格P (0 , 20)，Q为需求量。(0)ddEE (I) 求需求量对价格的弹性)1 (dEQdPdR(II) 推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。20,dP dQPEQ dPP )1 ()1 (dEQdPdQQPQdPdQPQdPdR120PPEd10p例4 某商品的需求量为2