D5_4反常积分;D6_1元素分析法

1、1 1/16/16高等数学（上）高等数学（上）21.( )( ),lim( ).xaxaxF xf t dtfxaF x设其中 连续求2.2.计算计算2121.xdxx2 2/16/16高等数学（上）高等数学（上）二、瑕积分二、瑕积分一、无穷限积分一、无穷限积分第四节第四节 反常积分反常积分3 3/16/16高等数学（上）高等数学（上）缺少这两个条件中的一条缺少这两个条件中的一条, ,就称为就称为反常积分反常积分. .即即: : 引入定积分概念时引入定积分概念时, ,有两个基本要求有两个基本要求: : 1. 1.积分区间积分区间a, ,b是有限的是有限的; ; 2. 2.被积函数被积函数f(

2、(x) )在在a, ,b上是有界的上是有界的. . 这种通常意义下的积分称为这种通常意义下的积分称为常义积分常义积分. .若若a,b变为无限区间变为无限区间,则称则称 为为无穷限积分无穷限积分; badxxf)(若若 f(x) 为无界函数为无界函数,则称则称 为为瑕积分瑕积分. badxxf)(4 4/16/16高等数学（上）高等数学（上）1.1.引例引例Oxyy = 11+x2AbB例例1 1 求由曲线求由曲线y = (x0)与坐标轴与坐标轴所所“围成围成”的开口曲边梯形的面积的开口曲边梯形的面积. 11+x2形如形如的积分称为无穷限积分的积分称为无穷限积分.()，afx dx ( )，bf

3、x dx ( ) ，f x dx 2.2.无穷限积分定义无穷限积分定义5 5/16/16高等数学（上）高等数学（上）积分的值积分的值,记为记为(1)( )af x dx设设 f(x)在在 连续，连续，),a如果如果 存在存在lim( )tatf x dx 则称广义积分则称广义积分 收敛收敛,并称此极限为广义并称此极限为广义 adxxf)( )lim( )taatf x dxf x dx 如果上式极限不存在如果上式极限不存在,则称广义积分发散则称广义积分发散.(2) bdxxf)(称广义积分称广义积分 收敛收敛,并称此极限为广义积并称此极限为广义积( )bf x dx 设设 f(x)在在 连续连

4、续,如果如果 存在存在,则则(, b lim( )bttf x dx ( )lim( )bbttf x dxf x dx 分的值分的值,记为记为6 6/16/16高等数学（上）高等数学（上）例例2 2 判别下列积分的敛散性判别下列积分的敛散性, ,收敛时求其值收敛时求其值. .( )ln;( );xxdxxedx 1012(2)(2)约定记号约定记号: :若若 , ,则则( )( )Fxf x ( )( )lim( )( )aaxf x dxF xF xF a 注意注意 (1)(1)计算步骤计算步骤: :先求定积分先求定积分, ,再取极限再取极限. .7 7/16/16高等数学（上）高等数学（

5、上）例例3 3 讨论讨论 的敛散性的敛散性. .11pdxx 广义积分广义积分 在在 时收敛时收敛; ;在在 时发散时发散. .1p 1p11pdxx 例例4 4 下列积分收敛的是下列积分收敛的是( ),dxdxdxABCDx dxxxx 2221218 8/16/16高等数学（上）高等数学（上）(3)形如形如 的积分的积分 dxxf)(对于积分对于积分 我们采取将其一分为二的方法我们采取将其一分为二的方法, ,考虑如下考虑如下的两个积分的两个积分 与与 是否收敛是否收敛. . dxxf)( cdxxf)( cdxxf)(结论如下结论如下: 如果这两个积分都收敛如果这两个积分都收敛,则原积分也

6、收敛则原积分也收敛,且且 ,否则否则原积分发散原积分发散. ccdxxfdxxfdxxf)()()(注意注意 c为常数为常数,通常取通常取0或或1. 其中任何一个无穷积分其中任何一个无穷积分发散发散,则原积分发散则原积分发散9 9/16/16高等数学（上）高等数学（上）例例5 5 计算广义积分计算广义积分.dxx 21例例6 积分积分 是否收敛是否收敛? xdxx 221注意注意 奇偶函数对称区间上积分性质只有当广义积分奇偶函数对称区间上积分性质只有当广义积分收敛时适用收敛时适用!注意注意 在在广义积分收敛广义积分收敛的前提下的前提下,定积分的性质、计定积分的性质、计算方法都可以推广到广义积分

7、中算方法都可以推广到广义积分中.;0 xedx 1010/16/16高等数学（上）高等数学（上） 如果如果f(x)在区间在区间a,b上某点为无穷间断点上某点为无穷间断点, ,则称该点则称该点为为f(x)的瑕点的瑕点, ,并称积分并称积分 为瑕积分为瑕积分. . badxxf)(瑕积分比无穷限积分难瑕积分比无穷限积分难,难在瑕点不容易发现难在瑕点不容易发现.dxx 1211()x 111112 例例7 下列积分属于瑕积分的是下列积分属于瑕积分的是_. 一个积分是不是瑕积分一个积分是不是瑕积分,就是看在积分区间上有没就是看在积分区间上有没有有无穷间断点无穷间断点.sin.xxxxxAdxBdxCd

8、xDedxxxx 133111112000012111注意注意 被积函数不满足可积条件被积函数不满足可积条件,则不能使用牛顿则不能使用牛顿-莱莱布尼兹公式布尼兹公式.1111/16/16高等数学（上）高等数学（上）1. 设设f(x)在在(a,b连续连续, x=a 为瑕点为瑕点(即即 ). )(limxfax若若 存在存在,则称瑕积分则称瑕积分 收敛收敛, badxxf )(lim0 badxxf)( babadxxfdxxf )(lim)(0注意注意 瑕点就是无穷间断点瑕点就是无穷间断点.2. 设设f(x)在在a,b)连续连续, x=b 为瑕点为瑕点(即即 ). )(limxfbx若若 存在存

9、在,则称瑕积分则称瑕积分 收敛收敛, badxxf)(lim0 badxxf)( babadxxfdxxf)(lim)(0记为记为 记为记为 1212/16/16高等数学（上）高等数学（上）3. 设设f(x)在在(a, b)内一点内一点c处无穷间断处无穷间断,对于瑕积分对于瑕积分 ,我们采取将其一分为二的方法我们采取将其一分为二的方法, ,考虑如下考虑如下 的两个积分的两个积分 与与 是否收敛是否收敛. . badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(结论如下结论如下:如果这两个积分都收敛如果这两个积分都收敛,则原积分也收敛则原积分也收敛,且且 ,否则原积分发散否则原积分发散. bcc

10、abadxxfdxxfdxxf)()()(例例8 8 求求ln xdx 10当当0 0p1时时, ,原积分收敛原积分收敛; ;当当 时时, ,原积分发散原积分发散. .1 P例例9 9 讨论瑕积分讨论瑕积分 的敛散性的敛散性. .101pdxx 1313/16/16高等数学（上）高等数学（上）例例10 求求dxx 101例例11 求求).0(022 axadxa1414/16/16高等数学（上）高等数学（上）第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决? ?二、如何应用定积分解决问题二、如何应用定积分解决问题? ? 1515/16/16高

11、等数学（上）高等数学（上）表示为表示为niiixfU10)(lim一一. .什么问题可以用定积分解决什么问题可以用定积分解决? ? 1)1)所求量所求量U是与区间是与区间a,b上的某分布上的某分布f(x)有关的有关的2)2)U对区间对区间a , b具有可加性具有可加性, , 即可通过即可通过“大化小大化小, ,常代变常代变, ,近似和近似和, ,取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义定积分定义一个整体量一个整体量; ;1616/16/16高等数学（上）高等数学（上）第一步第一步 利用利用“化整为零化整为零, ,以常代变以常代变”求出局部量求出局部量的的微分表达式微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用利用“积零为整积零为整, ,无限累加无限累加”求