(整理)微分方程复习

1、精品文档精品文档第四章微分方程4.14.1 方程分类与解法4.1.14.1.1 一阶，可分离变量方程一阶变量分离方程学=f(x)g(y)二学f(x)dx =dxg(y)少P(x)y = Q(x)yn(n = 0,1) - dx了一阶。特别地，二阶的就变成一阶方程了。4.1.44.1.4 二阶(高阶)线性常系数方程1 1.线性方程解的结构理论定理 1 1 (叠加原理)设(x), y2(x)，,yn(x)是齐次方程的解，则它们的线性组合nC1(X) C2y2(x) Cnyn(x)八，CjYj(X)也是齐次方程的解，其中C1,q,，Cn是任意j微分方程y(n)二f (x)接连积分n次，便得到微分方程

2、y(n)= f (x)的含有n个任意常数的通解。y ：= f (x, y )令yp(x)则y= p (x)-p7 f(x, p)y二f(y, y)令y = p(y)则y = p pp p二f (y, p)首次积分方法若F(x,y,y, ,y(n) (x,y,y ,y(n)则称降阶法:：J(x, y, y,y(nJ)c为方程F(x,y,y；，y(n)=0 0 的首次积分。这样就把原方程降齐次方程巴=dx令上亠,x4.1.24.1.2 一阶线性非齐次方程y=xu,dxdu x-dxdu上 /、ux f (u) dx齐次方程学P(x)y dx通解-P(x)dxy =ce(C二_eci)标准形dydx

3、p(x)q(x)通解-|P(x)dxy二ec q(x)ep(x)dx dx I伯努利啤p(x)yj=Q(x)令z z=y=y得dz4.1.34.1.3 特殊二阶方程(1 -n)P(x)z二(1 - n)Q(x)精品文档精品文档常数。定理 2 2 设y(x)是非齐次方程的一个解，yx), y2(x)，yn(x)是对应的齐次方程的解,精品文档精品文档n则 7cjyj(x) y(x)也是非齐次方程的解，其中Oi,C2,cn是任意常数。j 4yaMxjy a2(x) y = 0( 3 3)的两个线性无关特解，则y = Ciyi(x) c2y2(x)(G,C2是任意常数)是方程(3 3)的通解。对于二阶

4、非齐次线性微分方程yai(x)y a2(x)y = f (x)( 4 4)有如下的定理。定理 4(4(二阶非齐次线性微分方程通解的结构)设y*(x)是方程(4 4)的一个特解，y1(x)和y2(x)(a _x _b)是方程(4 4)对应的齐次线性方程(3 3)的两个线性无关解，则y二Ciyi(x) C2y2(x) y*(x)(5)(5)是方程(4 4)的通解。2 2.齐次方程y(n)+aiy2y2)+any=0二特征方程AT + a器二+a.= 0综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程y” py q0的通解的步骤如下：第一步 写出微分方程的特征方程r2 pr q = 0第二步 求出特征方程的两

5、个根 , 2。第三步 根据特征方程两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程(3 3)的通解特征方程r2+pr +q =0的两个根人，打微分方程y+py + qy = 0的通解两个不相等的实根2y =Geix+c2e2x两个相等的实根=為y =(G +C2X)e一对共轭复根入,2=。士涉讨=e(G cos Px + C2sin Px)对 于 高 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 可 以 根 据 下 表 给 出 的 特 征 方 程 的 根 写 出 对 应 齐 次 线性微分方程的解如下:特征方程的根微分方程通解中的对应项单实根九给出一项Ce定理 3 3 (二阶齐次线性微分方程通解的结

6、构)设(x)和y2(x)(a _ x _ b)是方程精品文档精品文档一对单复根 人,2 =G iPk k 重实根丸k k 重复根入,2 =a i 0给出两项e饶 QCOSRX+ C2Sin Px)给出 k k 给出 k k 项：e3x(CHC2 +Ckxk)项给出 2k2k 项：尹(G+C2x + Ckxk)cos0 x+(D +D2x+Dkxk)sin Bx3.3. 非齐次方程y py qy二f (x)其通解是y = yi y*其中yi是对应齐次方程的解，y*是非齐次方程的解。f(x)特解y*(x) =xke*Qm(x)k k 是特征根的重复次数,f(x)二eA(x)cos x Bn(x)s

7、in :x特解y*二xke：xPm(x)cos x Qm(x)sin :xk k 是特征根鳥i :的重复次数。m =maxl, n4.4.欧拉方程xny(n)-.-any二f (x)令x =et或t = ln x，则1d2y dy d3y _ 1 fd3y3d22dy xdt dt 丿 dx x (dt dt dt 丿若引入微分算子符号D =d，则上述结果可简记为dt解首先观察此类方程：一阶，可分离变量dy cosxdxy2(Tl，11 sin x-c，代入初值2dy dy dt 1 dyd y- - - - - -2dx dt dx x dtdxxy = Dy,d2ydt2dydt2(D -

8、 D)y =D(D -1)yd3ydt3-3$2史=(D3_3D22D)y = D(D _1)(D _2)y dt般地xky(k)= D(D _1) (D -k 1)y4.24.2 解法选例4.2.14.2.1 基本题目类例 1 1dx.y|x=02y cosx(1 sin x)2-1精品文档2精品文档故y = 1 sin x例 2 2xy 2y =3x解首先观察此类方程：一阶，线性非齐次方程x _2x = y2ce2y-y22dy 2xy例 5 5dx x2- y2y |x吕=12P(x) ,q(x)=3xdx+C =x +C。2x(x y)2例 3 3dxdu,丄2= dx，arctanu

9、1 u2巴=1巴dx dx=ta n(x c)则u2dx解观察：一阶，齐次方程y令u, y = ux肌udxpl.-x代入方程消去dxduu x一dx2u1 -u2整理dx积分1_U2、u(1 +u2)1du dx InGxu22udu二11dx In c1xln = l n ox1 u2u1 u2_Gx2xy2二cx代入初值x yy(i)整理x2y2=2y。3ey = edx.x精品文档2精品文档yy=(y)2V(o)=1y(o)=1解（1 1） 令y=p(y)y = p p代入方程精品文档精品文档2ypp二p ypp或p=0(y =c舍不符合初值)积分 坐=巴|n c Inp =In cy

10、p二cy即也=cy代初值c = 1dxxxy = C1e代初值y = e4.2.24.2.2 综合题目类f (x)2 x例8设f(x)于0J上可导，f(0)=0,且其反函数为g(x)，若0g(t)dt =xe，求f(X)。解 对x求导g( f (x) f (x)二2xexx2ex，即xf (x)二2xexx2ex，故f (x)二2exxexf (x)二(x 1)ex c1，即f (x) = (x 1)ex-1。1x例 9 9f(x)于0,：)上可导。f(0)=1且满足f (x) f(x)f(t)dt=01 + x 0(1(1 )求f (x)(2 2)证明当X_0时e f (x)叮。x解(x 1

11、)f (x) (x 1)f (x) - o f (t)dt =0求导f (x) (x 1)f (x) f (x) (x 1) f (x) - f(x) =0则(x 1)f (x) (x 2)f (x) =0(x 1)d(x 2)f (x) dxln | f F -x Tn | x 11 c1dp解(2 2)代初值史=dx c I ny = x c yxy =Cie例 7 7 填空方程=-2x & cosxC2sin x)方程xy -2y 2y =e的通解为x=e (Cicosx C2sin x 1)方程2 xy -4y =e的通解为.2x2x12 x、y = Gec2exe)4方程y

12、2yy =e的通解为y=(*2GXC2)e精品文档精品文档代初值f (0) =1得f (0) = 1 c,= o f (x):1 + xxef(x)-f(0)dx空0f(x) 1$ 1 +xxex又f(x)1dx _ edx二e-1故f(x)_e01 +x0例 1010 x亠0 xf (x)有连续一阶导数，且满足f(x)=-1 x 2.(x - t) f (t)f (t)dt,求f (x)。xx解f (x) = -1 x 2x o f f dt -2 o tf f dtxf (x) =120f(t) f (t)dt 2xf(x)f (x) -2xf(x)f (x) f (x2f(x)f (x)

13、f(x)=f2(x) C(注意到f (0)1, ,f (0) =1)代入初值c= 0例 1111 已知y1=ex是方程xy“-2(x 1) / (x 2)y =0的一个特解，求方程通解。解 设y2=uex也是方程的解，代入方程有.xxxxxxx(u e 2u e ue)-2(x 1)(ue ue )(2 x)ue =0dudu2dx 2整理xu - 2u =0 x 2uIn u = In cxdxu x* 2u =GXG33uxC2取C= 3,C2= 0，贝U u = x。故y- c2x3ex是方程通解例 1212 求解欧拉方程(1 1)x3y3x2y“-2xy 2y = 0；(2 2)x2y

14、“ -4xy6y = x。解(1 1)令x贝y D(D 1)(D 2)y 3D(D 1)y 2Dy 2y =0(D3-3D 2)y =0 y3y 2y =0特征方程为3-3 2 = 0(-1)2C 2) =0 -S -13 - -2贝yy = c1e 2et(c2c3t c1x x(c2Qln x)。df2=dx,积分=x c，代初值得c=1，则f (x)=-11 x精品文档精品文档(2 2)令x =et则D(D -1)y -4Dy 6y = et(D2-5D 6)y = dy _5y 6y = et特征方程：，2-5,；” 6 = 0，1= 2, 2= 3*tttI =1=1 不是特征根，故

15、设特解y -Aet代入方程2AeetA =-,2则方程通解y二C|e2tc2e3t二GX2c2x3- x。22例 1313 求解方程(y ycosxy)dx (x xcosxy)dy =0cQ3P解 此方程是全微分方程。因为1 cosxy-xysin xydxcyxy其原函数(势函数)u = 0 0dx 0 (X xcosxydy = xy - sin xy即方程为xy - sin xy = c或解=yycosxyu二xy sin xy (y).x=x xcosxy： (y) = x xcosxy贝y:(y) = 0, (y) = c-:y即xy sin xy = c是方程的解。例 1414

16、已知y1=cosx, y2=e是二阶线性齐次方程的解，试建立此方程解yy2线性无关，则y二Gcosx c2e是方程的通解(1 1)又y二-Gsin x ye *(2 2)y = -c1cosx(3 3)联立(1 1) (3 3)求C1,02，代入(2 2)整理得(cosx -sin x)y 2cosx y (sin x cosx) y二0例 1515 设y1二e：y2= 2x是y ay = by * cy = 0的两个解，求a, b,c值。解y = e是解，则 1 1 = T 是特征根，y = 2x是解，则，=0是特征根，且是二重根。精品文档精品文档23232特征方程为(九+1)几=0即 九+

17、人=0,比较原特征方程h +a九+b+c=0精品文档精品文档得a =1,b = 0,c = 0。也可以将e公代入方程得-1 a -b c = 0;将讨=2x代入方程得2b 2cx = 0，从而b=0, c=0,a=1。求y(0) =1,y (0) =3特解。解 非齐次方程的任两个特解之差是齐次方程特解, 故exx,e2xx是齐次方程的解，且线性无关，故y =Ci(ex-x) C2(e2x-x) x是非齐 次方程通解。1 = G + C2代入初值3 = Ci(ex1)+c2(2e2x一1) +1打，则c?=2,& =_13= c2+1从而特解为y=2e2x-ex。4.34.3 微分方程应

18、用问题 解题总的步骤(1)分析题意建立方程(2)依题意写出初始条件(3)识别方程类型解方程 4.3.14.3.1 几何问题例 1 1 设曲线I过(1,1)点，曲线上任一点p(x, y)处的切线交x轴于T点，若|TP|=|OT|(O是原点)，求I的方程。解 1.1.列方程 切线方程为Yy二y(X-x)令y=0的Xx-(= OTOT)|PTY(一岁2+y2，由|TPHOT|妙可*卩例 1616 已知y p(x)y q(x)y二f (x)的三个特解为x2x _yi二x, y2二e7y3二e试a.几何问题b.物理问题c.微元分析法 a “翻译”数学语言整理得y2xy2 2x -y精品文档精品文档xy2

19、= cx代入初值x y例 2 2 设函数y = y(x) (x _ 0)二阶可导，且y (0)0，y(0) = 1。过曲线上任一点P(x,y)作切线及x轴的垂线，上述两条直线与x轴所围成的三角形的面积记为S，区间0,x上以y二y(x)为曲边的曲边梯形的面积记为S，且2$ - S?三1,求曲线y二y(x)。解y=y(x)在点P(x,y)处的切线方程为Y - y二y (X -x)它与x轴的交点为,0，由y(0) =1, y(x) A0知，y(x) a y(0) = 1 a 0(x a 0)于是S2 = 0Xy(t)dt，由2S1- S2三1得 J-y(t)dt = 10y0由此知y (0) =1，

20、上式两端对x求导并化简得对-y 2令y =p,y二卩亚，则方程变形为py = p2dydy2 2 结合初值条件得初值问题2xyy22x - y3 3方程是齐次方程=u，ydx=u x詈 代入方程消去y得u X竺dx2u1 -u2整理1 -u3u积分u(1 +u2)1du dxIn Cjdu -u21丄dx - ln C,xIn = I n cx1 u2u2= C|X1 u22 2整理x y =2y。1 s =21y1x -2y2y精品文档精品文档由y 0，即p 0，故有dp = dy p y精品文档精品文档解得p = &y代入初始条件y = 1, p =1得c1=1，即dy = y d

21、x于是y = c?eX代入初始条件y(0) =1，得c2= 1故所求曲线为y = ex。例 3 3 位于坐标原点的我舰向位于点A(1,0)处的敌舰发射制导鱼雷，设鱼雷永远对准敌舰，已知敌舰航速为v。在直线x =1上行驶，鱼雷速度为5v。求鱼雷航迹曲线。又敌舰行驶多远时被鱼雷击中？解如图，设t时刻鱼雷行至P(x, y)点，敌舰至 T T 点，则c|0P| = 5| AT|。|0P|= ds= .0 .,1 y2dx。以下求 |AT|AT|。过点 P P 的切线方程为Y-y二y(X-x),令X =1,Y = y y (1 -x)(=AT)故得方程：(J1 + y2dx = 5 y + y (1 _

22、 x)+ y 2=5y(1_x)求导整理得y(0) =0y(0) =0当x =1,线段长=线段长面积=面积解方程:5dy=.1y2dx1 -xIn c15ln(y、1 y2) = _ln(1 _ x) _ lns平方:1二C(1 -x)1-2(1 -x)5y将y (0) = 0代入c=12(1 _X)5=1 y21即y -(1 -x)2代入初值2y1=(1 _x)5_(1 _x)55-2y (1_x)545(1_x)弓C265y(0)=0c2二石-|(1-x)A24小结：用几何关系建立方程精品文档精品文档曲线长=线段长精品文档精品文档432432 物理问题例 4 4 物理问题从船上向海中沉放某

23、种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉， 在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m m,体积为 B B,海水比重为-，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k .0），试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y = y（v）。d2ym 亏=mg _ B - kv dt2解取沉放点为原点0，Oy轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得依题意,d2ydt2dv dv dy=）v色，代入上式消去t，得dydvmv mg - B kv dy分离变mvdy =mg - B P - kvd

24、v积分后得ymv-m(mg；B；J|n(mg-Bkv) c k由初始条件k2v0定出c =m(mg)k2ln(mg故所求函数关系式为ym(mg _ B P) inmg _ B P _ kvmg - BPk24.3.34.3.3 微元分析法例 5 5 设一半径为 6cm6cm，高为 25cm25cm 的圆柱体容器充满水，其底部有0.20.2（cmcm2）的小孔，那么水就以v =06.,2ghcm/s的速度从小孔流出。（h h 为自由水面到柱底的高度）2g = 980cm/s，求水流规律(h h (t t)=?)解 设t时刻，自由水面高度为h（t），再经 dtdt 时段水位下降位 dhdh则dh

25、sc os二e 4 c oxee J C= Ceox4c o x4又y(0) =1，得C=e，从而y4cosx_46 6.7 7.设曲线L上任一点P(x, y)满足OP OR(如图)，其中PR为 L L 在点 P P 处的切线, 又知 L L 过点(1 1 , 2 2),求曲线 L L 的方程。解一般用微分方程解决应用问题分三个主要步骤。(1 1 )建立方程根据题意，过P(x,y)的切线方程为Y - y = y (X - x)，故点R的坐标为(0, y - xy )，由此得直 精品文档解这种方程称为积分方程,通常将它化为微分方程的初值问题。为此，再在等式两端分方程的初值问题。一p(x)dx一p

26、(x)dx精品文档精品文档r线RQ得斜率为kRQ=汇二y，直线 0P0P 的斜率kp= -丫 ,由于OP _ OR,所以xxkopkRQ= _1，即Xyy -_1,得xyy - y2x2= 0。x x；xyyy2+ x2= 0” lx=2y x方程课变型为齐次方程y，令y二xu，有y = xU u，代入上式，得x yxiTudu一电。方程得u2- -2ln x C。将y二xu代回，得y2=x2(C -21 n x)，uxy二X.C-2I nx，以初值条件y良二=2代入，得C=4，因此曲线 L L 的方程为y = x . 4一2In x (0：x：e2)。8 8.求微分方程y”丄(y )2的通解。21解令y =v(x)，方程化为V=v，分离变量并分，v(x)，再积分两次，x+G得y二v(x)dx - -In |x G | C2,y二C3C2x x -(x Cjln |x C1|或y =C2x C3-(x C1)ln |x C1|。9 9.10.求3