第8章 压杆稳定

1、第八章第八章 压杆稳定压杆稳定30mm1m 两根相同材料（松木）制成的杆，两根相同材料（松木）制成的杆，b=20MPa；A10mm30mm短杆长：短杆长：l30mm；FFFF长杆长：长杆长：l1000mm压杆稳定第一节第一节 压杆稳定的概念压杆稳定的概念若按强度条件计算，若按强度条件计算， 两根杆压缩时的极限承载能力两根杆压缩时的极限承载能力均应为：均应为：F= b A=6kN （1 1）短杆在压力增加到约）短杆在压力增加到约为为6kN6kN时，因木纹出现裂纹而时，因木纹出现裂纹而破坏。破坏。 （2 2）长杆在压力增加到约）长杆在压力增加到约4kN4kN时突然弯向一侧，继续增大压力，时突然弯向

2、一侧，继续增大压力，弯曲迅速增大，杆随即折断。弯曲迅速增大，杆随即折断。30mm1mFFFF压杆稳定压杆的破坏实验压杆的破坏实验结果结果： 短压杆的破坏属于强短压杆的破坏属于强度问题；度问题；30mm1mFFFF第六章压杆稳定 长压杆的破坏则属于能长压杆的破坏则属于能否保持其原来的直线平衡否保持其原来的直线平衡状态的问题状态的问题结论：结论： 短压杆与长压杆在压缩时的破坏短压杆与长压杆在压缩时的破坏性质完全不同性质完全不同 压杆稳定性压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。的能力。 压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯

3、的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，弯的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为简称为压杆失稳。压杆失稳。第十章压杆稳定压杆失稳的严重后果：压杆失稳的严重后果：1919世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造成成200200人遇难。人遇难。 19071907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳引起的。引起的。19091909年年1212月汉堡一个月汉堡一个6060万万m m3 3的大型贮气罐的大型贮气罐因一个受压构件失稳而突然倒塌。因一个受压构件失

4、稳而突然倒塌。压杆稳定研究压杆稳定性的意义：研究压杆稳定性的意义： 压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破坏，然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏性。的破坏性。在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳定性要求。设计中都必须考虑其稳定性要求。压杆稳定稳定平衡：稳定平衡： 干扰平衡的外力消失后，干扰平衡

5、的外力消失后，物体能自动恢复到原来的平物体能自动恢复到原来的平衡位置的平衡衡位置的平衡不稳定平衡：不稳定平衡： 即使干扰平衡的外力消即使干扰平衡的外力消失后，物体仍继续向远离原失后，物体仍继续向远离原来平衡位置的方向继续运动来平衡位置的方向继续运动的平衡。的平衡。随遇平衡：随遇平衡： 干扰平衡的外力消失后，干扰平衡的外力消失后，物体可在任意位置继续保持物体可在任意位置继续保持平衡。平衡。 显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状态，称为态，称为临界平衡状态临界平衡状态。压杆稳定FPFPlFPFPFFFPFPF FPcrFPFPF= FPc

6、rFPFPF FPcr稳定直线平衡状态稳定直线平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态临界状态临界状态 压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的压杆的临界力临界力Fcr。压杆稳定第二节第二节细长压杆的临界力细长压杆的临界力临界力临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响直杆弯曲变形的因素有关：直杆弯曲变形的因素有关：杆的长度杆的长度ll越大越大抵抗变形的能力越小抵抗变形的能力越小容易失稳容易失稳Fcr越小越小抗弯刚度抗弯刚度

7、EIEI越大越大抵抗变形的能力越强抵抗变形的能力越强不易失稳不易失稳Fcr越大越大杆端支承杆端支承越牢固越牢固越不容易发生弯曲变形越不容易发生弯曲变形不易失稳不易失稳Fcr越大越大压杆稳定式中式中 E材料的弹性模量；材料的弹性模量；I压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；l压杆的长度；压杆的长度；长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；l压杆的计算长度。压杆的计算长度。22)( lEIFcr压杆稳定Fcrl=1 两端铰支两端铰支l一端固定一端固定一端铰支一端铰支Fcr0.3l0.7l=0.7 两端固定两端固定lFcr0.5l0.

8、25l0.25l=0.5 lFcr一端固定一端固定一端自由一端自由=2 压杆稳定 例例1 一根两端铰支的一根两端铰支的20a工字钢细长压杆，长工字钢细长压杆，长l=3m，钢的弹性模量，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力，试计算其临界力。 由此可知，若轴向压力达到由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。时，此杆会失稳。kN346N10346N310158102003289222lEIFcr解解 查型钢表得查型钢表得Iz=2370cm4，Iy=158cm4压杆稳定 材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根最不容易失稳。最不容易失稳

9、。压杆稳定思考思考 例例2 一矩形截面的一矩形截面的中心受压的细长木柱，中心受压的细长木柱，长长l=8m，柱的支承情况，柱的支承情况，在最大刚度平面内弯曲在最大刚度平面内弯曲时为两端铰支（图时为两端铰支（图a）；）；在最小刚度平面内弯曲在最小刚度平面内弯曲时为两端固定（图时为两端固定（图b）。）。木材的弹性模量木材的弹性模量E=10GPa，试求木柱的，试求木柱的临界力。临界力。压杆稳定Fcr120200zyFcr8m200zy120解解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承情况不同，所以需分别计算。情况不同，所以需分别计算。（1）计算最大刚度平面内的临界

10、力）计算最大刚度平面内的临界力两端铰支，长度系数两端铰支，长度系数=1454743m108mm108mm12200120yIkN123N10123N)81 (108101014. 3)(3259222lEIFycr截面的惯性矩为截面的惯性矩为压杆稳定Fcr8m200zy120（2）计算最小刚度平面内的临界力。）计算最小刚度平面内的临界力。454743m1088. 2mm1088. 2mm12120200ZI两端固定，长度系数两端固定，长度系数=0.5kN177N10177N)85 . 0(1088. 2101014. 3)(3259222lEIFZcr由图由图16-4b,截面惯性矩为截面惯性矩

11、为压杆稳定Fcr120200zy 比较计算结果可知比较计算结果可知，第一种情况的临界力，第一种情况的临界力小，所以压杆失稳时将小，所以压杆失稳时将在最大刚度平面内产生在最大刚度平面内产生弯曲。此例说明，弯曲。此例说明，当在当在最小刚度平面与最大刚最小刚度平面与最大刚度平面内支承情况不同度平面内支承情况不同时，压杆不一定在最小时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳，必须刚度平面内失稳，必须经过具体计算后才能确经过具体计算后才能确定。定。压杆稳定Fcr120200zyFcr8m200zy1202IiAl i令第三节第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围临界应力与欧拉公式的适用范围AIlEAFcr22cr

12、)(22Ecr 压杆的压杆的柔度柔度（长细比），是无量纲的量。（长细比），是无量纲的量。l i22222)()(ilElEicr压杆稳定 （1）综合反映了压杆的长度（）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（）、杆端支承情况（）、截面形状和尺寸（）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。）对临界应力的影响。 （2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。压杆稳定 只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧拉

13、公式才适用，即：拉公式才适用，即：对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。pp的压杆的压杆大柔度杆（细长杆）大柔度杆（细长杆）欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）pcrE22ppE压杆稳定 压杆的应力超出比例极限时（压杆的应力超出比例极限时（p），这类杆件工程），这类杆件工程上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。抛物线公式（经验公式）抛物线公式（经验公式）cr= a - b2式中，式中，为压杆的柔度，为

14、压杆的柔度，a、b与材料有关的常数与材料有关的常数例如：对于例如：对于Q235钢及钢及16Mn钢分别有钢分别有 cr=（235-0.006682）MPacr=（345-0.01422）MPa压杆稳定 注意：注意：图中以图中以c c=123=123而不是以而不是以p p=100=100作为二曲作为二曲线的线的分界点分界点. . 由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力cr与柔度与柔度的的函数曲线称为函数曲线称为临界应力总图。临界应力总图。 对对Q235Q235钢制成的压

15、杆钢制成的压杆 , ,当当c c，按欧拉公式计，按欧拉公式计算临界应力或临界力算临界应力或临界力; ;当当123123时用经验公式计算时用经验公式计算压杆稳定第四节压杆的稳定计算第四节压杆的稳定计算 st 式中式中 st称为稳定许用应力，其值为称为稳定许用应力，其值为 stcrstn式中式中nst为压杆的稳定安全系数为压杆的稳定安全系数 压杆稳定稳定许用应力值可写成下列形式稳定许用应力值可写成下列形式 st式中式中强度计算时的许用应力；强度计算时的许用应力； 折减系数。折减系数。 压杆稳定条件可写为压杆稳定条件可写为 AFN 式中式中A为横截面的毛面积。为横截面的毛面积。压杆稳定 （1）折减系

16、数是柔度）折减系数是柔度的函数，随柔度的函数，随柔度的变化而的变化而变化，柔度变化，柔度越大，折减系数越小；越大，折减系数越小； （2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷载）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）； （3）由于）由于 st总是小于总是小于，因此折减系数是一个小，因此折减系数是一个小于于1的数。的数。压杆稳定 稳定校核。稳定校核。3.3.确定稳定许用荷载。确定稳定许用荷载。 2. 2.设计截面。设计截面。压杆稳定 例例11-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆图示两端铰支（球形铰）的矩

17、形截面木杆，杆端作用轴向压力端作用轴向压力Fp。已知。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度，木材的强度等级为等级为TC13，许用应力，许用应力=10MPa，试校核该压杆的稳定。，试校核该压杆的稳定。mm64.34mm1212012123bbhhbAIiy解解 矩形截面的惯性半径矩形截面的惯性半径压杆稳定Fcr8m120160yz因为因为91259. 01042800280022所以该压杆满足稳定条件。所以该压杆满足稳定条件。两端铰支时长度系数两端铰支时长度系数=1=11041064.346 . 313il MPa00. 8MPa160120259. 010403NAFAF压杆稳定第五节

18、第五节 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施从柔度计算式从柔度计算式il 在条件允许的情况下，应在条件允许的情况下，应尽量使压杆的长度减小，或者尽量使压杆的长度减小，或者在压杆中间增加支撑。在压杆中间增加支撑。 减小压杆的长度是降低压杆柔减小压杆的长度是降低压杆柔度，提高压杆稳定性的有效方法度，提高压杆稳定性的有效方法之一。之一。ll2l2压杆稳定 杆端约束刚性越强杆端约束刚性越强, ,压杆的长度系数越小压杆的长度系数越小, ,相应的柔度相应的柔度就越低就越低, ,临界力就越大临界力就越大, ,因此尽可能加强杆端约束的刚性因此尽可能加强杆端约束的刚性, ,可使压可使压 杆的稳定性得到提高杆的稳定性得到提高. . 50.21Fcr第压杆稳定FcrFcr 当截面面积相同的情况下，增大惯性矩当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增从而达到增大惯性半径大惯性半径i，减小柔度，减小柔度，提高压杆的临界应力。，提高压杆的临界应力。 压杆稳定 当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的压杆的稳定性是由稳定