第七次、对面积的积分和重积分应用

1、一、第一类曲面积分二、二重积分的应用；三、三重积分的应用；第第 七七 讲讲一、对面积的曲面积分的定义1.1.定义定义所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当且当点在曲面上连续移动时点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动切平面也连续转动.即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 记为记为 dSzyxf),(. dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf.叫叫积积分分

2、曲曲面面 引理引理 1 2 A , 的的夹夹角角为为与与平平面面 Acos .一般情况，将一般情况，将A分割成分割成若干个上述类型的小矩形，若干个上述类型的小矩形，对每一个用引理，对每一个用引理，然后迭加然后迭加再取极限即可。再取极限即可。当当A是矩形是矩形,l证证且一边与且一边与l平行平行,则则 也也是矩形是矩形, 且且b|cos|ab 引理成立引理成立.a ：这里：这里 即即 两平面法矢量的夹角两平面法矢量的夹角. 证毕证毕. . 曲面的面积曲面的面积|cos|A , 21A 上上的的投投影影为为在在上上的的区区域域则则面面积积. . 曲面的面积曲面的面积xz y0z = f (x,y)D

3、i iS (xi , yi)Pi. . 曲面的面积曲面的面积xz y0 DyxyxyxfyxfSdd),(),(122iiiA cos1z = f (x,y)Di iiAS iiiyiixyxfyxf ),(),(122.iS (xi , yi) i Ai（由引理）（由引理）Pi.ni 1),(),( iiyiixiyxfyxfn因因为为),(),(11cos22iiyiixiyxfyxf 三、计算方法：转化为某个坐标面上的二重积分;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若若曲曲面面则有：则有：按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同

4、情况分为以下三种：d1( , )( , )d dxySfx yfx yx y;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(则则2.( , )yy x z若曲面 ：3.( , )xx y z若曲面 ：例例1 1积分曲面积分曲面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 例例 2 2 计算计算

5、dSxyz |,其中其中 为抛物面为抛物面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称轴轴对对称称，关关于于抛抛物物面面zyxz22 有有 14成成立立，(1 为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原原式式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其中其中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx 利利用用极极坐坐标标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041si

6、ncos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 计计算算 xdS, 其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例3 3解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx显显然然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注注意意：21xy 分分为为左左、右右两两片片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右两片投影相同）（左右

7、两片投影相同） xzDzxdxdzyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.例例4 4被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx ,解解关于坐标面、原点均对称关于坐标面、原点均对称 , 故故原原积积分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a 四、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影 域上的二重积

8、分计算域上的二重积分计算.1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种） 定积分的应用中，有许多求总量的问题可以利用定积分的元素法来解决，这种元素法也可推广到二重积分的应用中： 如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性即：当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和；且在闭区域D内任取一直径很小的闭区域 时，相应的部分量可以近似地表示为 的形式。（ 与部分量精确值之差当 的直径 时，是比 较高阶的无穷小量），其中 ，这个 ( , )f

9、x y d0d d( , )x yd( , )f x y d( , )f x y ddd称为所求量称为所求量U的元素，记作：的元素，记作：dU 以它为被积表达式，在闭区域以它为被积表达式，在闭区域D D上积分：上积分： 所求量的积分表达式所求量的积分表达式(1) 体积体积的体积为的体积为之间直柱体之间直柱体与区域与区域在曲面在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面积（平面图形面积见课本曲面积（平面图形面积见课本P188）( , )DUf x y daaxz y

10、0222ayx 222azx 设圆柱面为设圆柱面为的的面面积积。被被另另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圆圆柱柱的的底底半半径径为为两两相相同同正正圆圆柱柱的的轴轴互互相相a例例1.1.考虑第一卦限考虑第一卦限例例1.1.D22xaz aa.xz y0 DyxxaaSdd. 82a 22xay xayxaad axdaaxoyD.22221xaazzyx .222ayx 222azx 设圆柱面为设圆柱面为.的的面面积积。被被另另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圆圆柱柱的的底底半半径径为为两两相相同同正正圆圆柱柱的的轴轴互互相相a解解：

11、22.(1cos )Dxy dDrara例2、 计算其中是由心脏线和圆所围的面积（取圆外部） )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a2222)( RRzyx r=2R cos .rrVRdsinddcos202 020 . . )cos1(3 443 R:02cosrR 20 0 M = 3.3.求半径为求半径为R的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积的内接锥面所围成的立体的体积z 0 xyRMr (指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aaxy

12、xazyx 2222azyx zxyo.4.4.(指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyxa 2222azyx 22axyx .4.4.xyoz(指含在柱体内部分)(指含在柱体内部分) 所围成的体积所围成的体积 ) )与圆柱面与圆柱面 求球面求球面 ( aaxyxazyxz = 0axyzo 柱柱坐坐标标。V 2033d)sin1(34 a.)943(2 3 a rrraDdd 422 22raz 。 cosar 。 dd420cos 022 arrra。D 1.4.4.aaxz y05.所围立体的体积。所围

13、立体的体积。 和和求圆柱面求圆柱面 azxayx Dy = 0 x = 0 DyxxaVdd. 3163a 22xaz 22xay xayxad axdaaaaxoyD.xz y0.5.所围立体的体积。所围立体的体积。 和和求圆柱面求圆柱面 azxayx 当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其其中中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy (3) 重心坐标（物体的质量见课本重心坐标（物体的质量见课本P192） 0 x Dysyd1rrddsin41 0sin4sin22 37 . )37 , 0

14、( 故故重重心心为为 )(yx， 设重心为设重心为.xoy126. 6. 求位于圆求位于圆 r = 2sin 和圆和圆 r = 4sin 之间的均匀薄片的重心之间的均匀薄片的重心. 1、薄片对于、薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量2、薄片对于、薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI (4) 转动惯量（转动惯量（K阶矩概念阶矩概念P197）薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在D

15、上连续，计算该平面薄片对位于上连续，计算该平面薄片对位于z 轴上的点轴上的点), 0 , 0(0aM处的单位质点的引力处的单位质点的引力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f(5) 引力引力求均匀柱体求均匀柱体 对对222,0 xyRzh处的单位处的单位 0,0,Paah质量的质点的吸引力质量的质点的吸引力. xy0 xyFF 解解：由柱体的对称性可知，沿由柱体的对称性可知，沿轴与轴与轴方向的分力互相抵消轴方向的分力互相抵消故故32222z

16、azFGdvxyaz222302222hxyRdxdyGaz dzxyaz23000222hRrdrGaz dzdraz202112hGazdzazRaz22222 GhRahRa三重积分的应用三重积分的应用. dvM 其其中中,1 dvxMx () 重心重心,1 dvyMy .1 dvzMz z = 0. . 的的重重心心求求均均匀匀半半球球体体 0 , : 2222 zazyxyxzo yx 则则, )( zyx，设设重重心心为为 zyxzVz ddd球面坐标球面坐标a332a V z .a83 . )83, 0 , 0a( ( 故故重重心心为为.r = a8.8. arrrV 022020dsincosdd1. z = 0. . 的重心的重心 所围立体所围立体与平面与平面求由抛物面求由抛物面 0 1 22 zyxz