重点高中理科数学解题方法篇(圆锥曲线)

1、重点高中理科数学解题方法篇 圆锥曲线作者:日期:攻克圆锥曲线解答题的策略摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储藏、方法储藏、思维训练、强化训练。关键词：知识储藏方法储藏思维训练强化训练第一、知识储藏：1.直线方程的形式(1 )直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2 )与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k tan ,0,)点到直线的距离dAxo By。C、A B2夹角公式：tank2 K1 k2k1(3 )弦长公式直线y kx b上两点A(%, yj, B(X2, y2)间的距离：AB 41 |羽 饥1 k2)(X1 X2)

2、2 4x1X2或 | AB J 右 M y2(4)两条直线的位置关系 l1 l2k1k2=-1 hl2 k1 k2且b1 b22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)2 2标准方程： 1(m 0,n0且 m n)m n距离式方程：.(x c)2 y2. (x c)2 y2 2a参数方程：x acos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种2 2标准方程：1(m n 0) m n距离式方程：|.、(x c)2 y2 . (x c)2 y2 | 2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：生；双曲线：艺；抛物线：2paa(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了

3、吗？2 2如：Ft F2是椭圆 亍 台 1的两个焦点，平面内一个动点M满足MF叭 2那么动点M 的轨迹是()A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线(5) 、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，S fiPf2 b2tan；2P在双曲线上时，S FdF2 b cot 2| pf |2 | PF |2 4r2 UJir UULU ULW UJULT(其中 F1PF2,cos1fd I_fd 一，pr?PF2 |PFi II PF2 |cos )|PFi|PF2|、记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x轴上时为a exo；焦点在y轴上时为a ey，可简记为“左 加右减，上加下减。(2)双曲

4、线焦点在x轴上时为e| xo | a(3)抛物线焦点在x轴上时为|人|卫,焦点在y轴上时为| % |卫2 2(6)、椭圆和双曲线的根本量三角形你清楚吗？第二、方法储藏1、点差法(中点弦问题)设 A x1, y1、B X2, y22 x，M a,b为椭圆一21的弦AB中点那么有432 22 2222 2x1y11X2y21;两式相减得人X2y1 y2 0434343xi X2 xi X2yi y yi y. 3akAB =-434b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个 参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方

5、程，使用判别式0,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(x,yi), B(X2,y2)，将这两点代 入曲线方程得到叹两个式子，然后t，整体消元假设有两个字母未知数，那么要找到它们的联 系，消去一个，比方直线过焦点，那么可以利用三点A、B、F共线解决之。假设有向量的关系，那么寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b，就意味着k 存在。例1、三角形ABC的三个顶点均在椭圆 4x2 5y2 80上，且点A是椭圆短轴的一个端点(点 A在y轴正 半轴上)(1 )假设三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；(2)假设角A为90，AD垂直BC于 D

6、,试求点D的轨迹方程分析：第一问抓住重心，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC的斜率，从而写出直线 BC的方程。第 二问抓住角A为90可得出AB丄AC,从而得X1X2 y2 14(yi 祠 16 0，然后利用联立消元法及交轨 法求出点D的轨迹方程；x； y；x； y|解：(1 )设 B ( xi, yi ),C(X2,y2 ),BC 中点为(X。，y0),F(2,0)那么有一 1,一 - 120 1620 16两式作差有(XiX2)(XiX2)(yiy2)(yiy2)0 2 堂 0 (1)201654F(2,0)为三角形重心，所以由x1x22，得X。3，由yiy20得y2代入(i )得k

7、6335直线BC的方程为6x5y28 02)由 AB丄 AC得 x1 X2y214(yiy2)160(2)设直线BC方程为y2kx b,代入4x52 y80，得(42 25k )x210bkx 5b800XiX210kb4 5k2 * *，X1X225b 2804 5k2yi8ky24 5k24b2 802k2代入(2)式得4 5k29b24 5k2 * * *32b160，解得4b 4(舍)或 b -94直线过定点(0，)，设9所以所求点D的轨迹方程是4 y -D (x,y )，那么9 x(y )9x21，即 9y2 9x232yx()2(y 4)。916 04、设而不求法例2、如图，梯形A

8、BCD中AB2CD|，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以a、B为焦点当3 了时，求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综2 合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，假设设C c,h，代入务2b21，0,整理依题意，记A c,0，cC 2 ,h ， E x, y，其中12|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高,由定比分点坐标公式得hy0厂2a2设双曲线的方程为笃a2金1，那么离心率e a由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e -代入双曲线方程得 a由式得2 e 4h2b2 1，h

9、21 b2b2将式代入式，整理得2 e44由题设|3e213e22解得詔7 e -10所以双曲线的离心率的取值范围为7 10分析：考虑|AE , AC为焦半径，可用焦半径公式,AE , AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算,达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一,Xec c2_1AEexE , ACaeXC ,AEAC，代入整理1 A，由题设I寸得,解得所以双曲线的离心率的取值范围为7 , 103e22、7 e 、-105、判别式法,直线I过点A、2,0，斜率为k，当0 k 1时，双曲线的上支上2例3双曲线c：仏2有且仅有一点B到直线I的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标分析1:解析

10、几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析 几何问题的重要手段.从“有且仅有这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与I平行的直线，必与双曲线 C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：I : y k(x V2)0 k 11直线i在I的上方且到直线I的距离为 J2FI: y kx v21k把直线I ；的方程代入双曲线方程， 消去y，令判别式0F解得k的值解题过程略.分析2 :如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为J2 ，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路:简

11、解：设点M(x,2 x2)为双曲线C上支上任一点，那么点 M到直线I的距离为:于是，问题即可转化为如上关于 X的方程.由于0 k 1，所以2 x2xkx，从而有kx (2 x2 J2k kx 72x2 V2k.于是关于x的方程kx 2 x2,2k . 2(k21)2 _2 x2(.2(k21) 2k kx)2,2( k21) 2k kx 0_ . _ 2k21 x2 2k 2(k21). 2kx 2(k21) 2k 20,2( k21),2k kx 0.由0 k 1可知： 2 方程 k2 1 x2 2k 2(k21). 2k x . 2(k21).2k 20 的二根同正，故；2(k1)2k k

12、x 0恒成立，于是等价于 _ _ 2k2 1 x22k 2(k2 1).2k x . 2(k2 1)、2k 2 0.由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得k .5点评：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换，充分表达了全局观念与整体思维的优越性例4椭圆C:x2 2y2 8和点P( 4，1)，过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上APAQPBQB取点Q，使求动点Q的轨迹所在曲线的方程分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可到达解题

13、的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线 AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件:APAQPBQB来转化由A、B、P、Q四点共线，不难得到x 4(xa耳)兀心，要建立x与k的关系，只需将直线 8 (Xa Xb)AB的方程代入椭圆C的方程，禾I用韦达定理即可通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决此题，已经做到心中有数.在得到x f k之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x,y的方程(不含k)，那么可由y k(x 4)1解得k 丄，直接代入x f

14、k即可得到轨迹方程。从而简x 4化消去参的过程程:简解：设Ax1 y2,Qx,y，那么由篦QI可得：44(x1 x2) 2x1 x2解之得：X8 X1设直线AB的方程为:2 k2X1X1X2X2XX2)(1)y k(x 4)1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一元二次方1 x24k(14k)x 2(14k)21)4k(4kX1 X22k 12XlX22(1 4 k) 822k 1代入1，化简得：x4k 3k 2k(x 4) 1 联立,消去k得:2xy 4 (x 4)0.在2 中，由264 k 64 k 240，解得210，结合3可求得416 2 10 16 2.10x故知点Q的轨迹方程为：

15、2x y 40(16 2.10916 x9点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定 理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参 .，而“引参、用参、消参三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.6、求根公式法2 2例5设直线I过点P 0，3，和椭圆厶1顺次交于A、B两点，试求 94分析：此题中，绝大多数同学不难得到：竺=2，但从此后却一筹莫展，问题的根源在于对PBxB题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个或某几个参数的函数关系式或方程，这只需利用对应的思想实施；其二那么是构造

16、关于所求量的一个不等关系.分析1：从第一条想法入手，应= A已经是一个关系式，但由于有两个变量 Xa,Xb，同时这 两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3个变量一一直线 AB的斜率k.问题就转化为如 何将Xa,Xb转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y得出关于x的一 元二次方程，其求根公式呼之欲出.简解1 :当直线I垂直于x轴时，可求得APPB当I与x轴不垂直时，设Ay! , B(X2, y2)，直线I的方程为：ykx 3，代入椭圆方程，消去 y 得 9k24 x2 54kx 45 0解之得Xi 227k6.9k259k24因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，

17、所以只需考虑k 0的情形.当k所以由所以 综上0时，x27k.6 . 9k25_9k24AP肿亠PBX29k 2 9k2 527k 6 9k2 5 9k24，18k=9k 2t9k25(54k)2180 9k240,解得 k2-，9189 2 95k2APPB182 95k2分析2:如果想构造关于所求量的不等式，那么应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定 k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般APX.来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但此题无法直接应用韦达定理，原因在于竺 不PBx2是关于X1,X2的对称关系式原因找到后，解决问题的方法自

18、然也就有了，即我们可以构造关于X1,X2的对称关系式.简解2 :设直线I的方程为：y kx 3，代入椭圆方程，消去y得2 29k 4 x54kx 45(*)X1那么X254k9i?4452 -9k 4令$X2，那么，丄324 k2245k20在* 中,由判别式0,可得k2从而有结合0综上,2324 k445k2201 得 11.5AP1PB5.36，所以536，解得均值不等式法，变量的有界性法,点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法, 函数的性质法，数形结合法等等此题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至

19、会被局部 所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能 决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由的数学命题得出新命题的根本思维形式，它是数学求解的核心。以的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达 到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系充分性、必要性、充要性等，做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大 脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF FB 1，|3| 1 .第14页共22页(I)求椭圆的标准方程；(U)记椭

20、圆的上顶点为M，直线I交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线I，使点F恰为PQM的垂心？假设存在，求出直线I的方程;假设不存在，请说明理由。 思维流程：uuir uuu田 AF ?FB 1，(a c)(a c) 1 ? c 1a 、2,b 1写出椭F 为 PQM* PQ MF,MP FQk pq223x 4mx 2m 20两根uuir uuir MP ? FQ 0解题过程:(I)如图建系，设椭圆方程为2 X2 a21(a b0),那么 c 1又 AF FB 1 即(ac) (ac)1 a2c2 a22x2故椭圆方程为?(U)假设存在直线I交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，那么设 P(X1

21、,yJ,Q(X2,y2),- M(0,1),F(1,0)，故 kPQ于是设直线I为y xym，由 2xX2m 得,2y222 23x 4mx 2m 2uur uuuT MP FQ 0 为&21) y21)又 yXim(i 1,2)得 X1(X2 1) (X2m)(x! m 1)2x1x2 (x1X2)(m1)由韦达定理得2 m222 -4m4T(m44解得m -或m 1 (舍) 经检验m -符合条件.33点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.3 例7、椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A( 2,0)、B(2,0)、C占八、(I)求椭圆E的方程:(

22、U)假设点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点,F( 1,0), H (1,0)，当 DFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标;思维流程：(I) I由椭圆经过 I解出设方程为2 mxny21得至U m,n的DFH内切 L转化为 DFH转化为点d的纵坐标的 I D为椭圆DFH面积最大S DFH周长内切圆r内切圆3 1得出D点坐标为解题过程：3(I)设椭圆方程为 mx2 ny21 m 0, n 0 将 A( 2,0)、B(2,0)、C(1-)代， 2入椭圆E的方程，得4m 1,9 解得m m n 14和扛椭圆E的方程Xr1 2 h2当点D在椭圆的上顶点时，h最大为、3，所以S dfh的最大值为

23、,3 .(n) |fh |设厶DFH边上的高为 S DFH设ADFH的内切圆的半径为R，因为 DFH的周长为定值6 所以，S DFH所以R的最大值为彳所以内切圆圆心的坐标为(0冷)点石成金：S的内切圆的内切圆例8、定点C( 1,)及椭圆x2 3y25 ,过点C的动直线与椭圆相交于A, B两点.1假设线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程;(n)在x轴上是否存在点 M，使MAMB为常数？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在,请说明理由.思维流程:(I)解：依题意，直线 AB的斜率存在，设直线AB的方程为y k(x 1),将 y k(x 1)代入 x2 3y2消去y整理得(3k2 1)x26k2

24、x 3k25 0.设 A(x!, yj, B(X2, y2),36k4 4(3k2 1)(3k2那么6k2x1 x 2.3k2 15)0,(1)由线段AB中点的横坐标是x1 x2 得 3k23k2 12，解得k中，符合题意。所以直线AB的方程为x ,3y 10，或x 3y 10.U解：假设在x轴上存在点M m,0，使MA当直线AB与x轴不垂直时，由I知UJUT 所以MAUUTMB (为 m)(x2 m) y1y2 (x1 m)(x22(k1)x2x26k2x1x23k25(3)3k213k2 1 m)疋为1)(X21)2 m .将(3)代入，整理得xi2 2(km)(x.| x2) kMB为常

25、数.UULT UULTMA MB(6m 1)k2 52m3k2 11214(2 m -)(3k2 1) 2m -333k2 1m22m6m3(3k2141)注意到MA MB是与k无关的常数,从而有6m 140,UULT 此时MAuuirMB 当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为，当UULT UULT 4 有 MA MB - 9综上，在x轴上存在定点M- ,03，使MA MB为常数.UUU UUf (6m1)k25点石成金：MA MB (6m 1)k53k2 11 2(2m -)(3k2 1)7m22m1 6m 1433(3k2 1)例9、椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短

26、轴长的2倍且经过点2， 1，平行于OM的直线I在y轴上的截距为m m工0， l交椭圆于A、B两个不同点。求椭圆的方程;求m的取值范围;(K)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.思维流程:2x解：1设椭圆方程为二a2b 1(a b 0)a 2b2a 8那么41解得27-21 b22ab2椭圆方程为8(n)v直线|平行于OM，且在y轴上的截距为m1又 Kom =2I的方程为:y由2x81x22y2mx2 2mx 2m2401直线I与椭圆交于A、B两个不同点,(2m)2解得2 m4(2m22,且m4) 0,0(E)设直线MA、MB的斜率分别为ki,k2，只需证明ki+k2=0即可那么k1

27、y11,k2y21X12X22由X22mx2m240可得X1X22m, x1 x22m2 4而k1k2y1 1y21(y1 1) (X2 2) (y2 1)(X1 2)设 A(xi, yi), B(X2, y2)，且xi2 m, x1x22m2 4x1 2 x2 2(x1 2)( x22)1 1(尹 m 1)(X22) (- X2m 1)(X12)(X12)(X22)x1x2 (m 2)(x1 x2) 4(m1)(X12)(X2 2)2m24 (m 2)( 2m) 4(m1)任 2)(X22)2m24 2m2 4m 4m 40 (%2)(X22)k1 k20故直线MA、MB与x轴始终围成一个等

28、腰三角形点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形k1 k2 02例10、双曲线笃a3b)的直线到原点的距离是亍笃 1的离心率e ，过A(a,0), B(0,b3(1)求双曲线的方程;(2 )直线 的值kx5(k0)交双曲线于不同的点C, D且C,D都在以B为圆心的圆上，求k思维流程:解：t(1) ca2 3 ,原点到直线AB: a的距离dab-.a21, aab -J3b2 T 丁、3.故所求双曲线方程为(2)把y kx 5代入x23y23中消去y，整理得(13k2)30kx780 .设 C(Xi,yi),D(X2,y2),CD 的中点是 E(xo,y。)，那么x1x215 kXo

29、 21 _37k y。11X0ky kx。553k2Xokyok 0,即 15 k 21 3k 21 3k 20,故所求k= 7 .点石成金：C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE 丄 CD;例11、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3，(I)求椭圆C的标准方程;(II)假设直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.思维流程：2 2解：(I)由题意设椭圆的标准方程为 % 占1(a b 0)，a b由得:a 2, cb2(II)a1,2 2a c设A%y k

30、x2 2x y43得(3 4k2)x2联立c 3, a c 1,3%)，BE y2).m,1.8mkx椭圆的标准方程为4(m2 3)0 ,2y_32 24k )(m3)0,即 3 4k22 264m k 16(38mkX1 X23 4k4( m23)X1X22 .3 4k又 y2 (kx1 m)(kx22m) kmk(x.| x2)m23(m2 4k2)3 4k2因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2 ,),kADkBD1，即 一亠 1.x12 x222 2 23(m2 4k2)4(m23) 15mk2解得:当mi?所以,y2x1x22(x1 x2) 40 .7m2 16mk 4k20 .2 2 43 4k 3 4kkm 2k, m2，且均满足2k时，I的方程y kx 2，直线过点2,0，与矛盾