钢结构稳定理论CHAPTER6

1、1向下变形。发生爆炸声，整个钢梁主箱梁在施工中日维也纳多瑙河第四桥月年、的实例。构破坏因板件局部屈曲而使结事故：历史上曾发生过6111969局部屈曲仓下部卸粮时，出现年代末哈尔滨粮库圆筒、 8022件。板件是缺陷不敏感的构件，圆柱壳是缺陷敏感的构301100181511001801RtRtbtbt的比值与曲面的最小曲率半径薄壳壳厚的板其竖向变形可忽略的比值与板的最小板宽薄板板厚定义：3，服从虎克定律。、板为各向同性弹性体表板件；距离成正比，以中面代处距中面的面，故应力和应变与该法线变形后仍垂直于中于中面的，保持原始状态，垂直、中面面内不发生变形小挠度；、板的挠度小于板厚）基本假定程、板的弯曲平

2、衡微分方cba11 020),(000222222qyMyxMxMMMxMyMQyMxMQyxqyQxQMMZyxyxyxxyxyyyyxxxyxxy：将后两式代入前两式有经整理可得：，由平衡条件）力的平衡方程45厚度板的变形处的距中面为）几何方程dzz3yuxvyvxuyuxvxyyx/21ywzvxwzuwvu的关系与挠度、6xyxyxyyxyyxxxyyyxxEGEEyxwzywywzxwxwz)1 (2)(1)(14211222222222由广义虎克定律有：）物理方程扭转曲率：将此二式代入上三式有yxwEzywxwzEywxwzExyyx22222222222111表为挠度关系，并用几

3、何关系可解出应力表达式722222224442244444422444232222222222222222),(2)6)1 (121)5yxyyxxNavierDqwDyxqywyxwxwEtDyxwDzdzMywxwDzdzMywxwDzdzMttxyxyttyyttxx方程力的平衡方程有：式，将内力的公式代入板受弯的挠曲微分方程式中：和扭矩为：单位宽度上板元的弯矩内力与挠度关系1分布如下：已发生挠曲变形状态的面内（薄膜）力在等、扭矩和剪力变形，同时产生弯矩、薄板失稳后，发生弯曲内的面内力为：沿厚度均布，单位宽度此时板内力荷载皆作用于中面内，若作用于薄板上的方程、板件的屈曲平衡微分.2yxx

4、yyxxyyxxyyyxxQQMMMtNNtNtN90000000222222yxwNyxwNywNxwNywyNxNxwyNxNyQxQzzdxdyNNxNyNyNxNMyxdxdyxyyxyxyxyyxxyxyxxyxyyyxxz略去高阶微量有：方向的投影，并在在偏转情况下所有面力考虑微元有：，根据的水平投影如图：元考虑属小变形，中面微1022222442244422222422222442244422222212),(21212),(),(),(2),(ywNyxwNxwNqDywyxwxwyxqywNyxwNxwNDwywNyxwNxwNDywyxwxwyxqyxqyQxQyxqywN

5、yxwNxwNyQxQyxqyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx，则得：载如果尚有实际的横向荷方程有：代入板的弯曲平衡微分将虑虚拟横向分布荷载，考考虑上述三式有：11000030, 020, 000, 0, 0) 10122222222222222yMQyMMQywxwDMxwwxwwxwywywxwDMwxxyxxyxyxxx，）自由边）固定边即在简支边有：简支边的边界为例）、板的边界条件（以12020020)1 (2333222223332333232333yxwvxwywxwyxwvxwyMQyxwxwDyxwvyxwvxwDyMxMQxyxyxxx）（即）（得：代入由130sins

6、in2sinsin002112224442242244411224mnxmnmnmnxxyyxxbynaxmamDpbnbanmamAwbynaxmAwxwDPwNNPN偏微分方程：微分两次和四次后代入对方程为：设满足边界条件的曲面微分方程变为：四边简支板的矩形板的局部屈曲、受单向均匀压力作用1422222222222222222222444224224444/002bDkpmbanambkbDpbammpmbanambbDbnammDapamDpbnbanmamcrxcrxxxx可得：称为屈曲系数，令，将其代入上式得：可以得到由板的屈曲条件：15VUdxdyywxwpywpxwpVdxdyy

7、xwywxwvywxwDdxdyyxwMywMxwMUtbEvktpabxyyxababxyyxcrxcrx 板的总势能屈曲荷载、能量法计算板的弹性板的屈曲应力：00222200222222222220022222222221)1 (22221) 13)/()1 (12/16建立迦辽金方程组函数为：自然边界条件的挠曲面需假设符合板的几何与：已知板的平衡微分方程迦辽金法可得板的屈曲方程。式为零，组，方程组的系数行列建立一组线性代数方程驻值原理，式，积分后，根据势能将其代入总势能计算公件的挠曲面函数为：假设符合板几何边界条瑞利里兹法niiimnmnyxAwwLyxfAw111),(0)(),()2

8、17dxdyxwpdxdyyxwywxwvywxwDdxdyyxwLdxdyyxwLdxdyyxwLabxababnabab2000022222222222000121)1 (220),()(0),()(0),()( 解：板的总势能：的屈曲荷载均匀受压、三边简支板图所示单向例用瑞利里兹法求如为屈曲方程。其系数行列式为零，即方程组该式积分后可得到线性18222222222223222222223222222222222/425. 03 . 01)1 (600)1 (6012)1 (62sinbDkbDabpvpmbDvabmpfabmpvabmabDmffabamfpabvabmamfDaxmf

9、ywcrxxxxx的最小值，时得到当，故因为得由积分后得：将其代入总势能表达式假定板的挠曲面函数：19222222222222220022224422444283. 7340316380sinsin)(sinsin02)(2bDpbammpbmaabmbDpwdxdybyaxmwLbyaxmfwxwpywyxwxwDwLcrxxxabx 由分得：的微分代入上式，经积将建立迦辽金方程假定挠曲面函数解：板的平衡方程：荷载单向均匀受压板的屈曲用迦辽金法求如图所示例20同纵边的边界条件确定为积分常数，可根据不、式中：上述微分方程的解为：程有：将上式代入屈曲微分方：假设失稳后变形曲线为满足边界条件方向的

10、变形为个半波，沿方向屈曲为设沿一般可按下面方法求解均匀受压作用的矩形板432122222222222243212224442222244sincossinhcosh)(02sin)()(AAAAamDpamamDpamamDpamamDpamyAyAyAyAyffamDpamdyfdamdyfdaxmyfwyfymxxxxxx21)/1 ()/1 (sinsin)/1 (4010111011210bypbytpbynaxmAwbyykxxmnmn荷载为：作用于中面单位长度的载，板的挠曲面函数为里兹法求解板的屈曲荷采用瑞利处的应力为：距上边缘应力梯度负，压应力为正，拉应力为作用对边受不均匀分布应

11、力如图，四边简支板，两数、受弯矩形板的屈曲系22 abxabdxdyxwpdxdyyxwywxwvywxwD002002222222222221)1 (22为奇数的值只取使式中的iniinniAAbAbambapamAabpVbnamAabDUnimimnmnmnxmnmnxmnmn1222221122222102221121112222224)(84484223为奇数及，当为偶数及，当，当jijijiijbdybyjbyiyjijidybyjbyiyjibdybyjbyiybbb2222224sinsinsinsin4sinsin24025482241916091622113sinsin2s

12、insinsinsin13201122201222411201122011122012224131211AapAapbaDAapAapAapbaDbyaxAbyaxAbyaxAwxxxxx得：分后，由势能驻值原理代入总势能表达式，积4223/2/6 . 8/87. 187.153/2/81/11625/9132)91)(41)(1 (/2/02291254802002222222222222101132201222412201kbakbakbDkpbapAapbaDAapcrxxxx曲系数：时可按下式计算弹性屈当的四边简支板，梯度为对于非均匀受压、应力时，当屈曲系数的纯弯板，屈曲荷载为，对于令

13、式为零，可解得通过上三式的系数行列2526 abxymnmnmnmnxyyxyxxyyxxydxdyywxwNVbnamAabDUbynaxmAwyxwDpywyxwxwwLNNppNNk函数为：设满足边界条件的位移平衡微分方程为：，板的，板的中面内力：四边简支板如图所示，均匀受剪的数、受剪矩形板的屈曲系021122222411244224448sinsin022)(0527222222)/(98. 86 . 5)/(6 . 598.)/(34. 50 . 4)/(0 . 434. 5abkbaabkbaabkbaabkbakbDkpsssssscrxy时当时当：对于四边固定的受剪板时当时当边

14、简支板，剪切屈曲系数，对于四式中：28为奇数及应使、式中为奇数，若为偶数，若qnpmqpnmnqpmmnpqAApVpmpmmadxaxpaxmpmdxaxpaxmmnpqpqmnxyaa)(82cossin0cossin2222220029几何、物理方程。平衡方程，需考虑四个未知量，只有三个、是常数）引起的薄膜力，故不再中已包含因、是挠度理论，只的平衡方程（推导同小）在大挠度理论下力不可忽略。和、中面内因挠曲引起的的薄膜力不可忽略，即起的中面内厚的范畴时，因挠曲引当板的挠度大于板、板的有限变形理论xyyxyxyxxyyyxxxyyxxyyxNNNwaqywNyxwNxwNwDxNyNyNxN

15、wNNNvu)(200122222430)2cos(2112112)2cos(22221212222222222222222000200200 ywdyxwdxdyywdydxxwdxBACABACACBdxxwdyywCBCBdydxCBBACBACwywxwxvyuywyvxwxuxyyx引起的推导由于）几何方程31)()1 (2)1 (2112222222222222220002222220202202020220200bywxwyxwEtyxNvyNvxNvxNyNNEtvvNNEtvNNEtywxwyxwyxrxyyxrxyvuxwywxyyxyxxyxyxyyyxxxyyxxyyx

16、代入相容方程）物理方程相容方程足的变形连续性条件中面应变与挠度必须满此为有限变形板之相加后得：、，取、为消去几何方程为非线性的，32近似解。基础上的迦辽金法求得或用基于势能驻值原理只能数值积分法解得。解，如不用应力函数，上述方程很难解出封闭卡门方程组式有：、代入令未知数，引入应力函数共四个方程，可解四个和由公式）基本微分方程)()(2)()()()(422222242222222222422222dywxwyxwEFcqyxwyxFxwyFywxFtwDbayxFttNxFttNyFttNbaxyxyyyxx33式代入设位移函数为：平均压应力为不再均匀分布，设外加设板件屈曲后，直线，两侧边移动

17、自由，保持，沿板的四周不存在剪力各边保持平直面内：，：，平面外：）边界条件性能、轴向受压板的屈曲后)(sinsin1)200)0)0000001202222dbyaxmfwtpdypbtNNNcNbaywwbyyxwwaxxxbxxaxaxyyxy34byabmaxmbmaEfFfabEmCfbmEaBbyCaxmBFFFFbyaxmbaEmfywxwyxwEyFyxFxFyxFPPcP2cos2cos3232322cos2cos2cos2cos22),() 3222222222222222224222222224422444求应力函数35左侧。式，且右边项全部移至代入、和将此时普通解：)(0

18、22cos2cos322200022222222222224422444cFwqybyabmaxmbmaEfFyytpdydytpFpyFtNNNpNwyFyxFxFxaxaxxcxxyxyxx362222222222222222222222222222002222222222442244400/)/(4/)/()(16160sinsin220),()()4abmbmaEtpptbtfabmbmaEtppbfpppbmaabmfbEtmbaambbDpdxdybyaxmyxwyxFywxFxwyFDtywyxwxwdxdyyxwLcrxxcrxxxcrxxxababi 采用迦辽金法求解板的挠度

19、37axmbyfbambmabmapppNbyaxmabmbmappxFtNbybmapppyFtNcrxuycrxuuxcrxyucrxuucrxxxcrxxycrxxxx2cos2cos2/1)/()(21)/()(2, 02cos/)/()(22cos1)/()(2)5444max444max2222222244422代入得：如以时，当板的纵向和横向面力3839后强度越高越低，屈曲说明板越薄，临界力时可见当屈曲后强度不大说明厚度大的板中时可见当应力称为破坏时的平均得：令板达极限承载力明，当板边最大应力理论和实验研究表轴向受压板的极限强度度的概念、均匀受压板件有效宽5 . 24/1/121

20、1212122cos)() 13maxmaxcruycrcruycrycrcrycruycruycruxcrxuuxyxffffffbyf40)(9 . 1)/)(1 (124)(9 . 19 . 1615. 3)/)(1 (1241932)2222maxmax2222,maxmaxmaxbEtbtbEaEtbfEtbbtEftbEbfbKarmanbbbbcrcreyeeyeecreyexaexae为：实际板的弹性临界应力式称为卡门有效宽度公或即为有效宽度。此稳时，其最大应力的板按弹性稳定理论失设宽度为提出如下假设：年令有效宽度概念41称为板件宽度折减系数式：代入称为板的柔度系数令已被欧美各

21、国采用。有效宽度的统一法则，提出了教授在美国薄钢规范中的学生年有：除以设计规范中提出年美国钢结构在门的学生根据实验结果，卡最小有效宽度则122. 0110 . 1122. 011)()(int1986)(22. 01)()(415. 019 . 11968int)(:)()(maxmaxmaxmaxmaxmaxbbbefzoPekerWebbbdEbtEtberWcfbbbaecrcrcreeycrcre 42称为正则长细比时当时当时当全截面有效解得，当式，此时代入的板件，可以对于屈曲系数为cryyeeecrcrxffbbbbbbEtbktbEkkmaxmaxmax222)213. 8(22.

22、 011673. 0673. 0673. 00 . 10 . 1/05. 1)/)(1 (1243ycrxyucrxyucrxyueyuyeuufkkfkbakbakbafbaabafbbabadbbftfbbtPcb211112221222)(2)()()(14得，令应力相等得：所示应力，使之与图的范围内的应力为屈曲宽度中部的应力达到屈服强度，中两侧宽度各为图：所示的极限荷载相等得中所示的极限荷载和图图度，以的两边支承板的有效宽对于单向均匀受压度概念进行设计）薄钢规范采用有效宽中的应用板的屈曲后性能在工程44EftbEftbEftbkkEftbkEftbkEftbEEbtvEyyyeyyye

23、tcrx35. 225.65. 025. 073. 2)1 (12421221222，上式变为：，根据实验资料，取曲应力为：四边简支板的弹塑性屈45ycrxeuyeycrxyuucrxycrxcrxfbbdbfdbbdkfkkfbafbbtvEk875. 0125. 0)()25. 03 . 0)1 ()()1 (1235. 135. 1111222（则：且取假定卷边全部有效，。由试验确定为比值屈曲系数件一纵向边用卷加劲的板对于一纵向边支承和另46。代替，则在上式中用的为小于载力时，板边缘的应力如果在构件达到极限承yyyyyeffEftbEftbEftbmaxmax06. 1125. 047a

24、htgVahtahtVahSAthVVVVBasleratwtwtttcrwcrwcrtcru/20sin2sin2sinsincossincos2020000得：由力为：张拉场产生的竖向分剪，由，张拉带的应力张拉场的宽度为：式中：切承载力：屈曲后剪梁视为一个桁架。腹板模型中将腹板屈曲后的在力、腹板屈曲后抗剪承载的应用）屈曲后性能在板梁中20202000)/(123)/(1233/)/(11212sin21/cossinhafAAVhafAVfhaAthahTVoatTVVcrVywwcrucrVywtVytcrtcrwtwtftwtftt同向，可得屈服条件：与假设点的力矩平衡得：由绕拉力差为

25、：由水平力平衡的下翼缘屈曲后剪力之和。以外部分腹板所承受的与除张拉带力为张力带产生的竖向剪屈曲后强度4985. 082. 02 . 011/1/1/112112222222bbbcebcebceycreeycrhhhhhhfbbbtvEkfbtvEkb，在弹塑性范围：上式只适用于弹性范围：和残余应力等不利因素系数，考虑几何缺陷为腹板受压区有效高度令因此，右端为上式左端为对受弯的梁腹板来说，最大受压纤维屈服时板件受压屈曲的屈曲后临界力公式：力、腹板屈曲后抗弯承载50fWMIIthIIthIIIIthIIhhthIIxexeuxexwcxewcwfefwcwweccwcwwe梁受弯屈曲后强度为：（

26、或惯性矩：，可得整个截面的有效加上翼缘惯性矩)212121)1 (2121)1 (2333251202020000000141141416 . 058. 0ufwyfywywyfuywywywuywVVAAhfAMyfthfthfAMVhVVyfAfththVtyVMc时，弯矩截面存在剪力时，剪力图所示，截面存在弯矩如态时，截面的应力分布腹板屈曲后极限状板、同时受弯、受剪的腹52115 . 00 . 20 .0 .6 . 06 . 00 .6111411611220feufuuufwuuuufwufwufwyfyxyuMMMMVVMMVVAAMMVVVVMMAAVVAAMMAAhfAfWMM我

27、国规范采用：的关系曲线与可画出，今偏于安全地取均小于一般薄腹梁时，；当时，当弯矩可近似表示为：截面边缘纤维屈服时的535 . 0)1 (211243211122）材料的应力应变关系（系遵循形变理论）塑性的应力和应变关反向变化）板屈曲时不发生应变）小变形）材料为各向同性体）基本假定（算方法、弹塑性板屈曲荷载计xysxyxysyyxsxxyxyyyxxstpiEEEtNtNtNEEE54衡偏微分方程：衡条件可以得到板的平据板有微小挠曲后的平，根弯刚度，单位宽度板的塑性抗和系数，引进比值平衡方程9/143/) 3(1121342134/4/3233222222tEDEEEEddEEEEEssstsi

28、xyxyiyyixxitsiiiiiiiiisyxsyxsxiisxyyxyxsixyyxyxi55)11 (20sinsin0210100024)1 ()2(121min2222112244224442222234344422242442ssscrxmnmnxssxyxxxyyxxiyxyxsiyxxysysxyyxsxskmkambmbaambkbDkpbynaxmAwxwpywyxwxwDtpywyxwxwDtyxwyxwywyxwxw，边简支板：对于单向均匀受压的四）（56)2(002221min12222222122224422444CCkmkCCabmbmaCCkbDkpxwpywyxwxwDcrxx得到，此时最小屈曲系数由条件的系数。与板的支承条件有关、柏拉希提出：、近似计算方法5758屈曲的影响残余应力和初弯曲对板596061ytyyycrfktbEEfkfktbvmmNEftbvEk23555.235 . 023528431/3 . 0/1006. 2)1 (12125222取代入将）对均匀受压板板的宽厚比限制62塑性规范取四边简支塑性：部分塑性：弹性：三边支承板yyyyyyfftbftbkffftbk235023540/23547/4235235123515/425. 0634421222222122222/. 0/6 . 0/23