无穷小与无穷大

1、宁波职业技术学院教学资源中心公共数学教研室宁波职业技术学院教学资源中心公共数学教研室应用数学应用数学2022-4-4无穷小与无穷大无穷小与无穷大极限的运算法则极限的运算法则2022-4-4v无穷小（大）的概念和性质v极限的运算法则；v用极限的运算法则和无穷小的性质求一些函数的极限。知识目标知识目标:2022-4-4实例实例1 在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将会如何变化？Infinitesimal and Infinity2022-4-4实例2Infinitesimal and Infinity 将单摆离开铅直位置的偏度

2、用角来度量，让单摆自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个过程中，角的变化趋势如何？ 2022-4-4一、一、 无穷小概念无穷小概念1.无穷小的定义无穷小的定义, 027lim 33xx , 01limxx例例时为无穷小是当函数xx1.327 3时为无穷小是当 xx如果当 （或 ）时，函数f(x)的极限是零，那么称函数f(x)当 （或 ）时为无穷小。0 xx x0 xx x表示常用,Infinitesimal and Infinity. 1 ) 1tan(), 1sin( 时的无穷小量是当xxx. 2时的无穷小量是当xex2022-4-4例1 判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。0是当

3、3x 时为无穷小是当1x 时不是无穷小1x)3(0)() 1 (xxf00lim3x) 1(1)2(xx11lim1xxInfinitesimal and Infinity2022-4-4注意注意 无穷小量是以无穷小量是以0 0为极限的变量；为极限的变量；讲一个函数是无穷小量，必须讲一个函数是无穷小量，必须指出指出自变量的变化趋势自变量的变化趋势； 无穷小量不一定是零，零作为函数来无穷小量不一定是零，零作为函数来 讲是无穷小量；讲是无穷小量； 任何非零常数，不论其绝对值如何小，任何非零常数，不论其绝对值如何小，都不是无穷小量。因为非零常数的极限都不是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身，并不是

4、零。是其本身，并不是零。2022-4-42.无穷小性质无穷小性质（1）有限个有限个无穷小的代数无穷小的代数和与乘积和与乘积仍为无穷小。仍为无穷小。)sin(limxxx0如如：Infinitesimal and Infinity注意：注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。无穷小量。 1)111(lim 个个nnnnn例如：例如：2022-4-4)(lim)(lim2222222121000211nnnnnnnnn）、求求（）、求求（训训练练：. (2)仍为无穷小有界函数与无穷小的积例例3 求极限求极限.1sinlim0 xxx 解解, 0lim 0 xx因

5、为由性质（由性质（2）. 01sinlim0 xxx , 11sinx而2022-4-4例例4 求极限求极限.sin1lim xxx解解, 01lim xx因为, 1sinx而由性质（由性质（2）. 0sin1lim xxxInfinitesimal and Infinity2022-4-4练习：利用无穷小的性质,求下列函数的极限 =0=0=0=0=0A Bx1sinxlim) 5(sinxlim)4(cosx) 1(xlim) 3(sinx3lim)2(sinx)(xlim) 1 (20 xx1x0 x0 x2xxxxarctanlim)6(=02022-4-4当0 x时，xxx3 ,2都是

6、无穷小，他们的积xxx3 ,2趋向于零的速度。 仍为无穷小，那么它们的商是否也是无穷小呢？并通过列表观察20 lim0,3xxx,3lim20 xxx3232lim0 xxx例5：Infinitesimal and Infinity极限不同极限不同, , 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同. .2022-4-43、无穷小的比较、无穷小的比较定义设和是同一变化过程中的两个无穷小， 即lim =0和lim=0() 如果，那么称是的高阶无穷小0lim() 如果，那么称是的低阶无穷小lim() 如果，那么称是的同阶无穷小)0(limcc特别是当c=1时，即当时，则称与是等价无

7、穷小,记作： 1limInfinitesimal and Infinity2022-4-4无穷小是与时，当、_sin02xxx ._3012无穷小是比时，当、xxx 例如，例如，._39,332无穷小是与时、当xxx. _1 3 , 42无穷小的是比时、当nnn._ cos1 , 052无穷小的是时、当xxx的几阶无穷小？是时，当、 )24sin(0 62xxx2022-4-4等价无穷小替代等价无穷小替代1、若极限 ,称(x）与(x)等价.1)()(lim0 xxxxxnxaxaxexxxxxxxxxxxxxnxx1111121102,ln,cos,)ln(,arctan,arcsin,tan

8、,sin 时时当当2、常见的几个等价无穷小(很重要很重要)xx33sin:注意)()(xx2022-4-4定理定理( (等价无穷量替换定理等价无穷量替换定理) ).limlim,lim,则存在且若无穷小量都是同一极限过程下的，设意义：意义：在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们的简单的等价量来替换，以便进行化简。但替换以后的函数的简单的等价量来替换，以便进行化简。但替换以后的函数极限要存在或为无穷大。极限要存在或为无穷大。00无穷小等价代换定理无穷小等价代换定理常用于计算常用于计算 型的极限型的极限2022-4-4例例 求求xxx5sin2

9、tanlim0解解5252lim5sin2tanlim,55sin,22tan,000 xxxxxxxxxxx时时当当例例 求求xxxx3sinlim30 解解3131lim3lim3sinlim203030 xxxxxxxxxx2022-4-40sin() lim .(arcsin)nmxxx例： 求 解解mnxmnxxxxx00lim )(arcsin)sin(lim mnmnmn10 320s inlimta n (3) ln ( 21)xxxx训 练 : 求2022-4-4例例.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)

10、2(limxxx 原式原式. 8 xxx1lim2xxlimxxx1sinlim2解：解：xxx1sinlim2求例例：2022-4-4例例.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当30)2(limxxxx 原原式式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 注意：注意：分子、分母中进行分子、分母中进行加、加、减减的项不能替换，应分解因的项不能替换，应分解因式，用因式来替换式，用因式来替换,然后再对然后再对提出的无穷小因子进行代换，提出的无穷

11、小因子进行代换，否则不能直接代换否则不能直接代换. ),0( 2cos1 2得得由由 xxx420402)2cos1 (lim )2cos1cos(1lim xxxxxx . 28)2(lim22)2(lim4404220 xxxxxx . )2cos1cos(1lim 40 xxx 求求例：例：解解：2022-4-401 tan31 limsin3xxx例 求2133tanlim 3sin13tan1lim 2100 xxxxxx法法二二2133lim ) 13tan1(3sin3tanlim 0210 xxxxxxx 解解xxx3sin13tan1lim 0 法法一一2022-4-4)co

12、s(coslim )(xxxx1110求求.sinsintanlim)(xxxxxx201112求求训练：训练：2022-4-4 二、无穷大的概念二、无穷大的概念,1)(xxf观察时，当 0 x无限增大无限增大| )(|xf记作记作 )(lim)(0 xfxxx如如 ,1lim 0 xx称称x1是当是当.0时的无穷大时的无穷大 x ,3lim nn称称n3是当是当.时的无穷大时的无穷大 n ,) 1(limxx称称1 x是当是当.时的无穷大时的无穷大 x如果当 （或 ）时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)当 （或 ）时为无穷大。0 xx x0 xx x定义: 简言之简言之 ，极

13、限为，极限为 无穷无穷 的量叫做无穷大量的量叫做无穷大量.2022-4-4 注意！注意！ . 量量的的变变化化趋趋向向无无穷穷大大必必须须指指明明自自变变2 时极限时极限或或而是当而是当无穷大不是数无穷大不是数 , xxx01. , 的的数数分分开开因因此此要要把把无无穷穷大大与与很很大大的的函函数数为为Infinitesimal and Infinity时时极极限限仍仍然然不不存存在在。在在函函数数是是一一个个方方便便的的记记号号，00 xxxfxfxx)()(lim(3).0,01时是无穷小量当时是无穷大量当如xxex.101000不是无穷大量如2022-4-4(1) 有限个无穷大量之积是

14、无穷大量有限个无穷大量之积是无穷大量;(2) 有界变量与无穷大量之和是无穷大量有界变量与无穷大量之和是无穷大量.定理：有界量与无穷大量的乘积有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？是否一定为无穷大量？ , )( )(1xxxf 1, 1 | )(| , )1 | ( 2 xxgxx时时不不妨妨设设当当 . )( 011)()( 21 xxxxxgxf而而考察考察 无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.2022-4-4 , 0)( ,)( xfxf且且为为无无穷穷小小如如果果, )(为为无无穷穷大大如如果果xf; )(1 为为无无穷穷小小则则xf, 程程中中

15、在在自自变变量量的的同同一一变变化化过过三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系. )(1 为无穷大为无穷大则则xf例例, 0)1(lim1 xx.11lim1 xxInfinitesimal and Infinity无穷小与无穷大互为无穷小与无穷大互为“倒数倒数”.)0)( (xf2022-4-4渐近线渐近线曲线上的动点曲线上的动点P P沿曲线无限远离坐标原点时，沿曲线无限远离坐标原点时，它到某定直线的距离趋于它到某定直线的距离趋于0 0，则此直线称为该，则此直线称为该曲线的曲线的渐近线渐近线。其分类为：其分类为：1.1.垂垂直渐近线直渐近线.)()(lim)(lim000的的一一条

16、条铅铅直直渐渐近近线线就就是是那那么么或或如如果果xfyxxxfxfxxxx 2022-4-4例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :.3,2 xx2022-4-42.2.水平渐近线水平渐近线.)()()(lim)(lim的的一一条条水水平平渐渐近近线线就就是是那那么么为为常常数数或或如如果果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctanxy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy2022-4-43.3.斜渐近线斜渐近线.)(),()()(lim)()(lim的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是那那么么为为常常数数或或如如果果xfybkxyba

17、bkxxfbkxxfxx00斜渐近线求法斜渐近线求法:,)(limkxxfx.)(limbkxxfx.)(的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是曲曲线线那那么么xfybkxy2022-4-4例例.1)3)(2(2)(的的渐渐近近线线求求 xxxxf解解).,1()1 ,(: D)(limxfx1.是是曲曲线线的的垂垂直直渐渐近近线线1 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx,2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx,4 .42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy2022-4-4例例1 求下列函数曲线的渐近线：求下列函数曲线的渐近线：1(2) ;1yx解解 (1)11lim,1xx 直线直线 x =1是曲线的垂直渐近线是曲线的垂直渐近线.1lim0,1xx直线直线 y =0