无穷小与无 穷 大

1、2022-4-41无 穷 小 与 无 穷 大2022-4-421.定义定义6:如果当如果当0 xx ( (或或 x) )时时, ,函数函数)(xf的 极 限 为 零的 极 限 为 零 , , 则 称 函 数则 称 函 数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时的无穷小量时的无穷小量, ,简称无穷简称无穷小小, ,记为记为： ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或 极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如:, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx第、四节第、四节 极极 限限目录目录后退后退主主页页退退出出本节重点与难点本节目的要求本节

2、复习指导本节引入知识2022-4-43例例 4 4 自变量自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小：穷小：11) 1 (xy；12)2(xy；xy2)3(；xy41)4(. 解解 ( (1 1) ) 因因为为011limxx，所所以以当当x时时， 11x为为无无穷穷小小； ( (2 2) ) 因因为为0) 12(lim21xx，所所以以当当21x时时， 12 x 为为无无穷穷小小； ( (3 3) ) 因因为为02limxx，所所以以当当x时时， x2为为无无穷穷小小； ( (4 4) ) 因因为为041limxx， 所所以以当当x时时， x41为为无无穷穷

3、小小 2022-4-44又如又如:, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数. 定定理理 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其其中中: )(x 是是当当0 xx 时时的的无无穷穷小小. 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:第三、四节第三、四节 极极 限限目录目录后退后退主主页页退退出出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2022-4-45推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷

4、小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.性质性质2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,0,时时当当例例如如x都是无穷小都是无穷小.性质性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.xxxx1arctan,1sin2第三、四节第三、四节 极极 限限目录目录后退后退主主页页退退出出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2022-4-462.无穷大量绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.定义定义7:如如果果当当0 xx ( (或或 x)

5、)时时, ,函函数数 xf无无 限限 增增 大大 , , 则则 称称 函函 数数)(xf为为 当当0 xx ( (或或 x) )时时的的无无穷穷大大量量, ,简简称称无无穷穷大大, ,记记为为： )(lim()(lim0 xfxfxxx或或 例如例如:.01时时的的无无穷穷大大是是当当函函数数xx第三、四节第三、四节 极极 限限目录目录后退后退主主页页退退出出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2022-4-47特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数

6、混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx第三、四节第三、四节 极极 限限目录目录后退后退主主页页退退出出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2022-4-48.11lim:1 xx如如右右图图例例.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy.tan:的铅直渐近线找一条曲线问题xy 第三、四节第三、四节 极极 限限目录目录后退后退主主页页退退

7、出出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2022-4-49无穷小与无穷大的关系定理定理 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .注意注意: : 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论.第三、四节第三、四节 极极 限限目录目录后退后退主主页页退退出出本节重点与难点本节目的要求本节复习指导本节引入知识2022-4-410例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是

8、无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32趋近零的速度要快得多趋近零的速度要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在观察各极限观察各极限四、无穷小的比较四、无穷小的比较2022-4-411);(, 0lim)1( o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果定义定义: :. 0, 且且穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;, 1lim 记作记作

9、是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(无无穷穷小小阶阶的的的的是是就就说说如如果果kkCCk 记作记作 =O( )或或 =O( )2022-4-412例例1 1解解.tan4 ,0:3的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 例例2 2.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的的三三

10、阶阶无无穷穷小小为为xxx 2022-4-413常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx .21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xxs2111mnmxnx11 2022-4-414.3sin1cos5tanlim:0 xxxx 计计算算例例解解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xox

11、x )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原原式式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 303030)(lim)(limsinlimxxoxxoxxxxxxxx 思思考考2022-4-415定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存存在在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 五、等价无穷小代换五、等价无穷小代换2022-4-416例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能

12、滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意2022-4-417例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当30)2(limxxxx 原原式式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 2022-4-418.)31ln(1limsin0 xexx 求求313sinlim0 xxx原式原式例例5 5解解,0时时当当 x,3)31ln(xx ,sin1sinxex

13、 xxxxxarctan1sin1lim20 例例6 6 xxxxxx1limsinlim0302022-4-419例例7 已知当已知当x0时，时，1)1(312 ax1cos x与与是等价无穷小，求是等价无穷小，求a ., 12131lim1cos1)1(lim2203120 xaxxaxxx.23 a则则2022-4-4201.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适

14、用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.小结小结2022-4-421等价无穷小替换求极限 利用等价无穷小替换能较方便求出某些较复杂的极限。常用的等价无穷小（ ）说明：做等价替换时，只能对分子或分母进行整体代换。例十七、求极限解：因当 所以上页上页下页下页0 x202cos1limxxx221cos10 xxx 时，.41221lim2cos1lim22020 xxxxxx2022-4-422例十八、求极限解：因为当所以例十九、求极限解：因为所以 上页上页下页下页30sintanlimxxxx.tan;21cos102xxxxx时，.21

15、21lim)cos1 (tanlimsintanlim3203030 xxxxxxxxxxxxxxexxx2sin)cos1 () 1)(1ln(lim20.22sin;)1ln(;1;21cos1222xxxxxexxx.1221lim2sin)cos1 ()1)(1ln(lim22020 xxxxxxexxxx2022-4-423提高题一、求下列极限：二、设函数 问a为何值时，函数在x=0处的极限存在。上页上页下页下页xxexxxxxxxxxxxx2sin)cos1 () 1)(1ln(lim)4(tan11lim)3(2sinlim)2(2cos1lim12022020）（0, 20,s

16、in1)(xaxxxxf2022-4-424提高题（解析） 一、求下列极限：解：二、解：要使函数在x=0处极限存在，必须使 -完-上页上页主页主页. 222sinlim22sinlim)2(. 22)2(lim2cos1lim122020 xxxxxxxxxxxx）（. 1221lim2sin)cos1 () 1)(1ln(lim)4(.2121limtan11lim) 3(22020220220 xxxxxxexxxxxxxxxx. 2sinlim20axxax，即2022-4-425思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？2022-4-426思考题解答思考题

17、解答不能不能例当例当 时时 x,1)(xxf xxxgsin)( 都是无穷小量都是无穷小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim 不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时 x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.2022-4-427 比较下列各对无穷小的阶比较下列各对无穷小的阶1）x1时时 与与xx 11x 12）x1时时, 与与2(1-x)4）x1时时, 与与31x 3）x0时时, 与与 xx 11xxtansin3tanxxx )1(xx 解解 1）111lim111lim11 xxxxxxxxxx 11161)1)(1(21lim323331 xxxxx2）31x 与与

18、2(1-x)是同阶无穷小。是同阶无穷小。2022-4-4283） xxxxxxxxxxx200sin)11(cos2limtansin11limxx 11是比是比sinx tanx低阶无穷小。低阶无穷小。又又0cos22sinlim)11(tansinlim200 cxxxxxxxkkkxkxsinx tanx是是 的的2阶无穷小阶无穷小。xx 112022-4-4294）01tanlim)1(tanlim2030 xxxxxxxxxx3tanxxx 是比是比 高阶无穷小：高阶无穷小：)1(xx )1(tan3xxoxxx 0tanlim)1(tanlim12030 cxxxxxxxxkxkkxk=23tanxxx )1(xx 是是 的的2阶无穷小。阶无穷小。2022-4-430小结1