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1、精选优质文档-倾情为你奉上装 订 线装 订 线 内 不 要 答 题学 号姓 名班 级 东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校课程名称: 拓扑学基础 (答案) 试卷: A 考试形式:闭卷授课专业:数学与应用数学 考试日期: 2013年 7月 试卷:共 3 页 题号一二三四五总分得分阅卷人一、 填空题:(每空2分,共20分)1设,写出5个拓扑,使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 , ,。(注:答案不唯一,正确即可)2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ,抛物线的连通分支的个数是 1 。3字母Y的割点个数为 无穷 。字母T中指数为3的点个数为 1 。4叙述同胚映射的定义 拓扑空
2、间之间的连续映射称为同胚映射,若它是一一对应且它的逆也是连续的 。二、选择题:(每题2分,共8分)1下列说法中正确的是( B ) A 连通空间一定是道路连通空间 B 道路连通空间一定是连通空间C 道路连通空间一定局部道路连通 D 以上说法都不对2下列说法正确的是( A ) A 紧空间的闭子集紧致 B 紧致空间未必局部紧致 C 有限空间一定不紧致 D 列紧空间是紧致空间3下列说法错误的是( A )A 离散空间都是空间 B 空间中单点集是闭集 C 赋予余有限拓扑不是空间 D 第二可数空间可分4下列不具可乘性的是( D )A 紧致性 B 连通性 C 道路连通性 D 商映射三、计算题:(共16分)1在
3、上赋予余有限拓扑,记为有理数集合,。试求和。(4分)答:,。2确定欧式平面上子集的内部、外部、边界和闭包。(8分) 答:内部,; 外部, 边界,; 闭包 。3在上赋予欧式拓扑。(4分)(1)计算道路与的乘积在处的值。 答:在处的值是。(2)计算道路与的乘积在处的值。答:在处的值是1。装 订 线装 订 线 内 不 要 答 题学 号姓 名班 级四、问答题:(每题10分,共30分)1. 叙述拓扑空间的定义并举例说明任意多个开集的交未必是开集。(10分)答:集合上的一个拓扑是由的子集构成的子集族,即,其中是一个指标集。它们满足三个条件:1 集合与空集在中。2 中任意多个集合的并集在中。3 中有限多个集
4、合的交集在中。定义了拓扑的集合称为拓扑空间。 (7分)注:例子不唯一,正确即可。2. 叙述空间、空间的定义。设,试定义一个等价关系使得商空间是空间但不是空间。 (10分)答:设是拓扑空间,若对任两点存在其中一点的开邻域不包含另外一点,则称其为空间; (3分) 设是拓扑空间,若对任两点存在每点的开邻域不包含另外一点,则称其为空间。 (6分) 举例4分。 注:例子不唯一,正确即可。 3. 谈谈你对拓扑学的内容方法的认识。(10分)注:无唯一标准答案。五、证明题:(共26分)1. 叙述并证明开集判定定理。(7分)定理 是开集当且仅当它是它的每个点的邻域。 (3分)证明:“”由邻域的定义,这是显然的。
5、 “”,因为是的邻域,由邻域的定义,存在开集,使得。 所以。 所以 因为开集的任意并集是开集,所以是开集。 (7分)装 订 线装 订 线 内 不 要 答 题学 号姓 名班 级2. 叙述并证明连续映射的粘接引理。(7分)答:粘接引理 设是拓扑空间的一个有限闭覆盖,若在每个上的限制都连续,则是连续映射。 (3分) 证明:只要验证的每个闭集的原像是闭集。 设是的闭集,记是在上的限制。则。 由连续,是中的闭集,又是的闭集,所以是中的闭集。所以作为有限个闭集的并也是闭集。 (7分)3. 设是空间的紧致子集。证明也是空间。(7分)证明:设,是中不同于的两点。不妨将其在中在投影映射下的原像仍记为,。因是空间,故存在各自的开邻域不相交。记为和。又因是空间的紧子集,所以是闭集,是开集。从而与也为,的不相交的开邻域,且在投影映射下不变,从而也是,的在中的不相交的开邻域。 (3分) 任取中元素,对于任意的中元素,由是Hausdorff空间,分别存在与的不相交的开邻域与。 显然是的开覆盖。由的紧致性,存在有限的子覆盖。 记,则是的开邻域,且。易知在投影映射下不变,仍为中的开集,在投影映射下的像为中包含点的开集,且。 所以也是空间。 (7分)4设,在上取余可数拓扑。在商空间上定义“+”为。证明“+”是连续映射。(5分) 证明:由商空间的定义可知上的拓扑为离
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