2013答案-拓扑学基础A

1、精选优质文档-倾情为你奉上装 订 线装 订 线 内 不 要 答 题学 号姓 名班 级 东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭卷授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2013年 7月 试卷：共 3 页 题号一二三四五总分得分阅卷人一、 填空题：（每空2分，共20分）1设，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 ， ，。（注：答案不唯一，正确即可）2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。3字母Y的割点个数为 无穷 。字母T中指数为3的点个数为 1 。4叙述同胚映射的定义 拓扑空

2、间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的 。二、选择题：（每题2分，共8分）1下列说法中正确的是（ B ） A 连通空间一定是道路连通空间 B 道路连通空间一定是连通空间C 道路连通空间一定局部道路连通 D 以上说法都不对2下列说法正确的是（ A ） A 紧空间的闭子集紧致 B 紧致空间未必局部紧致 C 有限空间一定不紧致 D 列紧空间是紧致空间3下列说法错误的是（ A ）A 离散空间都是空间 B 空间中单点集是闭集 C 赋予余有限拓扑不是空间 D 第二可数空间可分4下列不具可乘性的是（ D ）A 紧致性 B 连通性 C 道路连通性 D 商映射三、计算题：（共16分）1在

3、上赋予余有限拓扑，记为有理数集合，。试求和。（4分）答：，。2确定欧式平面上子集的内部、外部、边界和闭包。（8分） 答：内部，； 外部， 边界，； 闭包 。3在上赋予欧式拓扑。（4分）（1）计算道路与的乘积在处的值。 答：在处的值是。（2）计算道路与的乘积在处的值。答：在处的值是1。装 订 线装 订 线 内 不 要 答 题学 号姓 名班 级四、问答题：（每题10分，共30分）1. 叙述拓扑空间的定义并举例说明任意多个开集的交未必是开集。（10分）答：集合上的一个拓扑是由的子集构成的子集族，即，其中是一个指标集。它们满足三个条件：1 集合与空集在中。2 中任意多个集合的并集在中。3 中有限多个集

4、合的交集在中。定义了拓扑的集合称为拓扑空间。 （7分）注：例子不唯一，正确即可。2. 叙述空间、空间的定义。设，试定义一个等价关系使得商空间是空间但不是空间。 （10分）答：设是拓扑空间，若对任两点存在其中一点的开邻域不包含另外一点，则称其为空间； （3分） 设是拓扑空间，若对任两点存在每点的开邻域不包含另外一点，则称其为空间。 （6分） 举例4分。 注：例子不唯一，正确即可。 3. 谈谈你对拓扑学的内容方法的认识。（10分）注：无唯一标准答案。五、证明题：（共26分）1. 叙述并证明开集判定定理。（7分）定理 是开集当且仅当它是它的每个点的邻域。 （3分）证明：“”由邻域的定义，这是显然的。

5、 “”，因为是的邻域，由邻域的定义，存在开集，使得。 所以。 所以 因为开集的任意并集是开集，所以是开集。 （7分）装 订 线装 订 线 内 不 要 答 题学 号姓 名班 级2. 叙述并证明连续映射的粘接引理。（7分）答：粘接引理 设是拓扑空间的一个有限闭覆盖，若在每个上的限制都连续，则是连续映射。 （3分） 证明：只要验证的每个闭集的原像是闭集。 设是的闭集，记是在上的限制。则。 由连续，是中的闭集，又是的闭集，所以是中的闭集。所以作为有限个闭集的并也是闭集。 （7分）3. 设是空间的紧致子集。证明也是空间。（7分）证明：设，是中不同于的两点。不妨将其在中在投影映射下的原像仍记为，。因是空间，故存在各自的开邻域不相交。记为和。又因是空间的紧子集，所以是闭集，是开集。从而与也为，的不相交的开邻域，且在投影映射下不变，从而也是，的在中的不相交的开邻域。 (3分) 任取中元素，对于任意的中元素，由是Hausdorff空间，分别存在与的不相交的开邻域与。 显然是的开覆盖。由的紧致性，存在有限的子覆盖。 记，则是的开邻域，且。易知在投影映射下不变，仍为中的开集，在投影映射下的像为中包含点的开集，且。 所以也是空间。 （7分）4设，在上取余可数拓扑。在商空间上定义“+”为。证明“+”是连续映射。（5分） 证明：由商空间的定义可知上的拓扑为离