数值微积分---chap正交多项式定理证明

1、_( ),( , )nnxna b 次正交多项式有 个互异的实根 并且全部在区间定理内.证明:_(1),( )( , )n nxa bn对于固定的若在不变号不妨设其恒为大于零,则_( )( )bnaxx dx_0( )( )( )bnaxxx dx0与正交多项式矛盾_11( , ),( )0nxa bx因此至少存在一个数使_1( )nxx假设 是的重根_21( )2()nxnxx,则是次多项式,由正交多项式有_21( )( )( )0()bnnaxxxdxxx_21( )( )( )()bnnaxxxdxxx但_221( )( )()bnaxxdxxx=01x 为单根_12( )( , )()

2、,.,nlxa blln x xx假设在中只有 个根12( )(lx xxxxxx222=)12(lxxxxxxn由于)有次数低于 次_12( )( )(nlxx xxxxxxba则由正交性)=022212( )( , )( ) ( )() ()()0blaxa bxx xxxxxx由在上不变号 _,)( , )na bn由此矛盾因此可知(x 在上确有 个互异实根. 证毕_12( )(nlx xxxxxx则)_10_11( ) 0,( ) 1,( ) ()( )( ),1,2,.kkkkkxxxxxx k 若取则正交多项式系有如下递推关系理 定证明: _100,)( )() 10bax xdx

3、 则有 (0( )( )0bbaax xdxxdx00000(,)(,)x _11,kkkkkkkkkkx其中 , _010( )1( )xxx设与正交00( )( )( )bbbaaax xdxxdxx dx因此_1, (,)kk一般地_1(),)kkkkkx _1(),)(,)kkkkkkx 0_1(,)0kk由此函数系的正交性:_(),)0kkkx因此_(,)(,)kkkkkx ,即_(,)(,)kkkkkx_11(,)0kk又因为 _11 (),)0kkkkkx 有_111 (),)(,)0kkkkkkx _1(,)0kk而_1111 (,)(,)(,)0kkkkkkkkx _1_11

4、(,) (,)kkkkkx_11,kkkkk要证 _11(,)(,)kkkkxx注意到_1,kxk由于为 次多项式 展开后为_1110110( )( )( )( )( )kkkkxxxcxcxcx_1(,)(,)kkkkx由正交性 _11(,)(,)kkkkk因此可得 证毕11111211( )( )()( )( ),0,1,.,kjjkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxx kx 对于最高项系数为的正交多项式系有如下递推关系 其中 推论 ( )( )( )0,()bijax P x P x dxij ( ) ( )( )0,1bnax P x Px dxn 第第4章章 数值微积分数值

5、微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式1,21,.(0,1,2,.)knnGaussx kGauss 具有个节点的数值积分公式 如果其代数精度达到则称此类积分公式为型求积公式 相应的求积公式节点称为点0011( )():( , )( )(1.)12nkkkknnQ fA f xxaxxxbGaussa bxxn 数值积分公式 的节点是点的充分必要条件是它们是区间上以为权的正交多项式的定理4个根第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式证明: 必要性01,.,nx xxGauss

6、设为点01( )( -)( -)( -)nnxx xx xx x记21,( ),Gaussnnp x由于型求积公式具有次代数精度 因此对于不超过 次的多项式有( )( ) ( )nxx p x dxba0() ()()njjjnjjAxp xx0( )( )( )p xxxnn由的任意性可知,按权函数与任何不超过 次的多项式正交01( ),( ),.,( )nxxx,即正交1( )( )nnnxx 令 011,.,( )( )nnx xxxx则 是以为权的正交多项式的根第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式充分性( ),

7、0,1,.,( , )( )kx kna bx设是上以为权的正交多项式101( )1,.,nnxnx xx取的个根为求积公式的节点101( )( -)( -)( -)nnnxx xx xx x则121( ),( )( )( )( )nnq xq xp xxr x对任意不超过次多项式有 ( )( )p xr x其中,和均为不超过n次的多项式1( )nx由的正交性( ) ( )bax q x dx1( ) ( )( )( ) ( )bbnaax p xx dxx r x dx( ) ( )bax r x dx第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式

8、型求积公式与正交多项式1nn由于具有个节点的插值型求积公式具有至少 次代数精度, ()(),0,1,2,.,jjq xr xjn而且0 ( ) ( )()nbjjajx r x dxA r x因此0()njjjA q x21,0,1,2,.,jnxjnGauss因此,求积公式具有次代数精度即是点第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式 由定理4.12可知,如果采用正交多项式的根作为求积公式的节点,则可以保证公式具有最高代数精度 ,kkxA确定了 之后由以下公式计算系数( ) ( )bjjaAx l x dx( )( ) (

9、)()bajjxxdxxxx1( )( ) 0,1,.,()( )bajnxxdxjnxxx由正交多项式的零点均为单重第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式Gauss型求积公式的误差Peano 由广义定理知21n,由于公式具有次代数精度,因此取_210011( ),., ( )nnnR xf x x x xx x xx,( ( )0Q R x显然( )( ( )E fE R x ( ) ( )I R xQ R x ( )I R x_210011( ) ,., ( )bnnnax f x x x xxxxxdx_21001

10、1,., ( )( )bnnnaf x x x xxxxxdx(22)_21( )( )( ),(21)!nbnafxxdx abn1211( ),.xf x dx 对对于于积积分分 （）试试构构造造两两点点高高斯斯求求积积公公式式例例 2111xx 首首先先在在， 上上构构造造带带权权（ ）的的解解：正正交交多多项项式式0120110( ),( ),( ).( )1( )()( )xxxxxxxx 0)1()1()(),()(),(11211200001 dxxxdxxxxxxx 52)(22 xx 同同理理求求出出20122(),55xxx 的的 零零 点点 为为数值分析20122( ),

11、55xxx 以以的的零零点点作作为为高高斯斯点点。其其成成为为等等式式。依依次次代代入入上上式式两两端端，令令将将形形如如次次代代数数精精度度，求求积积公公式式应应有有两两点点高高斯斯公公式式xxfxfAxfAdxxfxn, 1)()()()()1(3, 11111002 )52()52()1()1(1011210112AAxdxxAAdxx 3410 AA联联立立解解出出 )52()52(34)()1(112ffdxxfx为为得得到到两两点点高高斯斯求求积积公公式式数值分析第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式Gaus

12、s常用的正交多项式和相应的型求积公式(),-LegendreGauss Legendre(1)勒让德 多项式型求积公式(-1,1)( )1xLegendre 在区间上以为权函数的正交多项式称为多项式20:1( )1( )(-1) ,1,2,.2!nnnnndP xP xxnn dx 它的表达式为 _20(2 )!( ):2!( )1( )(-1) ,1,2,.(2 )!nnnnnnnP xnndPxPxxnndx_的首项系数为,因此得到首项系数为1的Legendre多项式 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式0, ,)

13、2,21mnmnP Pmnn 可以验证它的正交性 (0111( )1,( )21( )( )( )11nnnP xP xxnnPxxP xPxnn得到递推关系式 1( )nLegendrePxGauss取多项式的零点作为点,得到求积公式的系数1122111( )2()( )(1)()njjnjnjpxAdxxxpxxpx23(22)22(1)!)4( )( ), 11(22)! (23)nnnE ffnn 110( )()nkkkf x dxA f x 110,( )2 (0)nf x dxf 111( )( 0.5773502692)(0.5773502692)nf x dxff 112(

14、)0.555555556 ( 0.7745966692)0.888888889 (0)0.555555556 (0.7745966692)nf x dxfff 数值分析11:1.5xdx 运运用用三三点点高高斯斯- -勒勒让让德德求求积积公公式式与与辛辛普普森森求求积积公公式式计计算算积积分分例例111.50.555556( 0.7254032.274596)0.888889 1.52.39970:9xdx 由由三三点点高高斯斯- -勒勒让让德德求求积积公公式式有有解解1111.5( 0.54 1.52.5)2.3957423xdx 由由三三点点辛辛卜卜生生求求积积公公式式有有111.52.3

15、99529xdx 该该积积分分的的准准确确值值数值分析一般区间的一般区间的Gauss - Gauss - Legendre Legendre 求积公式求积公式 如果积分区间是如果积分区间是a,b，用线性变换，用线性变换 11( )()222bababaabf x dxftdt 这样就可以用Gauss - Legendre求积公式计算一般区间的积分.将积分区间从a,b变成-1,1,由定积分的换元积分法有22baabxt 数值分析11( )( 0.577)(0.577)GaussLegendreF t dtFF 由由两两点点求求积积公公式式100101100110( )1,( )()()f x d

16、xnGaussLegendreGaussxxA Af x dxA f xA f xGauss 对对积积分分， 试试利利用用的的两两点点求求积积公公式式构构造造型型求求积积公公式式。例例即即确确定定和和使使为为型型求求积积公公式式。1110111111()()(1),2222111( )( (1)( )222xabba ttdxdtf x dxft dtF t dt 先先作作变变量量代代换换于于是是解解：1101111111( )( (1)( (1 0.577)( (1 0.577)222222f x dxft dtff 得得数值分析111012301231( )( )( )( )( )( )F

17、 t dtGaussLegendreF t dtA F tA F tA F tA F t 对对积积分分用用四四点点求求积积公公式式10012301231001122330( )3,( )()()()()f x dxnGaussLegendreGaussxxxxA A A Af x dxA f xA f xA f xA f xGauss 对对积积分分， 试试利利用用的的四四点点求求积积公公式式构构造造型型求求积积公公式式。即即确确定定和和使使为为型型求求例例积积公公式式。1110111111()()(1),2222111( )(1)( )222xabba ttdxdtf x dxft dtF t

18、 dt 先先作作变变量量代代换换于于是是解解：数值分析,(0,1,2,3)iitAi 可查表得到 和可查表得到 和原积分原积分110101230123012012331( )( )21( )( )( )( )21111( (1)( (1)( (1)22221( (1)211(1)0,1,2,322iiiif x dxF t dtA F tA F tA F tA F tA ftA ftA ftA ftxtAAi 即有即有数值分析10( )0.173927 (0.069432)0.326073 (0.330009)0.326073 (0.669991)0.173927 (0.930518)f x

19、dxffff 于于是是01230.8611360.3399810.3399810.8611360.3478550.6521450.6521450.3478550.0694320.3300090.6699910.9305680.1739270.3260730.3260730.173927iiiiitAxA 列列表表如如下下：11(1)0,1,2,322iiiixtAAi 数值分析例例:分别用不同方法计算如下积分分别用不同方法计算如下积分,并做比较并做比较各种做法比较如下：各种做法比较如下：1、用、用Newton-Cotes公式公式当当n=1时，即用梯形公式，时，即用梯形公式，I0.9270354

20、当当n=2时时, 即用即用Simpson公式公式, I 0.9461359当当n=3时时, I 0.9461090当当n=4时时, I 0.9460830当当n=5时时, I 0.946083010sinxIdxx I准=0.9460831数值分析 10sin(0)2( )(7 )(1)20.94569086xhdxff hfhfx 2:用复化梯形公式用复化梯形公式 令令h=1/8=0.1253：用复化辛卜生公式：用复化辛卜生公式 令令h=1/8=0.125 10sin(0) 4( )(7 )2(2 )(6 )(1)30.9460833xdxxhff hfhfhfhf I准=0.9460831

21、数值分析4、用用Romberg公式公式K Tn Sn Cn Rn0 0.9207355 1 0.9397933 0.94614592 0.9445135 0.9460869 0.94008303 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831 I准=0.9460831数值分析1sin(0.77459071)20.55555560.77459071I 5、用、用Gauss公式公式解：解：令令x=(t+1)/2, 9460411.015773503.0)15773503.0(21sin15773503.0)15773503.0(21sin I1sin20.88888

22、8901 1sin(0.77459071)20.55555560.94608310.77459071 11sin(1)/ 21tIdtt I准=0.9460831（2）用3个节点的Gauss公式（1）用2个节点的Gauss公式数值分析算法比较算法比较 此例题的精确值为此例题的精确值为0.9460831. 由例题的各种算法可知：由例题的各种算法可知： 对对Newton-cotes公式，当公式，当n=1时只有时只有1位有效数位有效数字，当字，当n=2时有时有3位有效数字，当位有效数字，当n=5时有时有7位有位有效数字。效数字。 对复化梯形公式有对复化梯形公式有2位有效数字，对复化辛卜位有效数字，对

23、复化辛卜生公式有生公式有6位有效数字。位有效数字。 用复合梯形公式，对积分区间用复合梯形公式，对积分区间0，1二分了二分了11次用次用2049个个函数值，才可得到函数值，才可得到7位准确数字。位准确数字。 用用Romberg公式对区间二分公式对区间二分3次，用了次，用了9个个函数函数值，得到同样的结果。值，得到同样的结果。 用用Gauss公式仅用了公式仅用了3个个函数值，就得到结果。函数值，就得到结果。数值分析第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式(),-LaguerreGauss Laguerre(2)拉盖尔多项式型求

24、积公式(0,)( )xxeLaguerre 在区间上以为权函数的正交多项式称为多项式0:( )1( )(),1,2,.nxxnnndL xL xee xndx 它的表达式为 20, ,)( !) ,mnmnLLnmn具有正交性 (01211( )1,( )1( )(21)( )( )nnnL xL xxLxnx L xx Lx 递推关系式 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式1( ),-nLaguerrexGaussGauss Laguerre 取多项式L的零点作为点 则求积公式21(1)!,0,1,2,.,()jjn

25、jnAjnx Lx2(22)(1)!( )( ),(0,)2(1)!nnE ffn 00( )()nxjjje f x dxA f x 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式(),-ChebyshevGauss Chebyshev(3)切比雪夫 多项式求积公式21( 1,1)( )1-xxChebyshe 在区间上以为权函数的正交多项式称为多项式0:( )1( )cos( arccos ), 1,1,1,2,.nT xT xnx xn 它的表达式为 0, ,), 0/2, 0mnmnT Tmnmn具有正交性 (0111(

26、 )1,( )( )2( )( )nnnT xT xxTxxT xTx递推关系式 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式与正交多项式1( )(21)cos,0,1,.,22,-nChebyshexjjnnGaussGauss Chebyshej 取n+1次多项式T的零点 x作为点 则求积公式,0,1,2,.,1jAjnn(22)21( )( ),( 1,1)(22)!2nnE ffn 1210( )()11njjf xdxf xnx 第第4章章 数值微积分数值微积分4.4 Gauss4.4 Gauss型求积公式与正交多项式型求积公式

27、与正交多项式(1)(2),jGaussAnn 型求积公式特点 系数 总是正数 当时 随着 的增大公式的误差迅速减少第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分( )f x设函数定义在区间a,b上,且在此区间上可微,则有( )fx0()( )limhf xhf xh , a b对( )f xx因此,可以使用以下公式,当h足够小,计算在 处的导数近似值()( )( )f xhf xfxh但是当h足够小时,计算的结果将是不准确的4.12例的结果 因此,构造数值微分公式的比较普遍的方法是用一个易于计算其导数的函数近似替代问题中的函数f(x). 插值多项式是一个比较合适的选择第第4章

28、章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分01,., , 1mx xxa bm 设是上的个点( )mpx,记为相应的插值多项式01( )( ),., ( )mmf xpxf x xxxx则 ( )( )kfx 对其求k阶导数 ( )( )kmpx( )01,., ( )kmf x xxxx若采用Lagrange插值多项式_( )f xxk,则可知在处的 阶导数的近似计算式为_( )( )0( )( ) ( )nkkiiifxlx f x _( )01 ( ),., ( )kmkxxdE ff x xxxxdx误差为第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分(

29、 )01011 ,., =k! ,., , ,., , kmmkkdf x xxxf x xxx xx xdx 个定理:证明: 当k=1时01,., mdf x xxxdx01010,.,., lim mmxf x xxxxf x xxxx 010lim,., , mxf x xxx xx 01,., , mf x xxx x第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分2k 当时(2)012,., mdf x xxxdx01,., , mdf x xxx xdx01010,.,., , limmmxf x xxxx xxf x xxx xx 010100101,.,., ,

30、lim,., ,., , mmxmmf x xxxx xxf x xxx xxxf x xxx xxf x xxx xx 010lim ,., ,mxf x xxx xx xx 01,., , ,mf x xxx x xx012 ,., , , mf x xxx x x第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分因此,当m=1时 ,得到使用2点构造的数值导数公式Newton由插值公式00100101( )(),(), ()()f xf xf x xxxf x x x xxxx01 ( ),fxf x x得到0101, (2)f x x xxxx0101, ()()f x x

31、 x xxxx0101010101, , ()(), (2)f x xf x x x x xxxxf x x xxxx000101000101001 (), , ()(), (2)xxf xf x xf x x x x xxxxf x x xxxx将代入0101001, (2)f x xf x x xxxx100110( )()1( )()2f xf xfxxxx1xx将代入得1011010( )()1 ( )( )()2f xf xfxfxxxx第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分当m=2时,得到使用3点构造的数值导数公式Newton由插值公式0010012010

32、12012( )(),(),()() + , ( )( )()()()f xf xf x xxxf x x xxxxxf x x x xxxxxxxxx其中01( ),fxf x x01201,(2)f x x xxxx012+ , , ( )f x x x x xx012+ , ( )f x x x xx1021-,xxxxh设有1001( )(),f xf xf x xh0120122()2 ( )(),2f xf xf xf x x xh第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分0 xx将代入001(),fxf x x012001,(2)f x x xxxx0120

33、+ , , ()f x x x x xx0120+ , ()f x x x xx101( ( )()f xf xh01221()2 ( )()2f xf xf xhh2012, (2)f x x x xh01213 ()4 ( )()2f xf xf xh2( )3h f第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分1xx将代入101( ),fxf x x012101,(2)f x x xxxx0121+ , , ( )f x x x x xx0121+ , ( )f x x x xx101( ( )()f xf xh01221()2 ( )()2f xf xf xhh201

34、2, ()f x x x xh021()()2f xf xh2( )6h f2xx将代入220121( )()()4 ( )3 ()23h ffxf xf xf xh第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分012012012012( )2 , , , ( ) +2 , , ( ), ( )fxf x x xf x x x x x xxf x x x x xxf x x x xx012xxx x将, , 分别代入有2(4)00121222(4)101222(4)20121221()()2 ( )()( )()61( )()2 ( )()( )121()()2 ( )()(

35、 )()6hfxf xf xf xhffhhfxf xf xf xfhhfxf xf xf xhffh01221 ( )()2 ( )() ,0,1,2ifxf xf xf xih忽略误差项,有第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分121 ( )()()21 ( )()2 ( )()xfxf xhf xhhfxf xhf xf xhh对中点 有第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分误差讨论_( )( )( ),( )iiiiif xf xf xf x 由于在计算时,只能得到近似值是计算的舍入误差或测量误差()-( )( )f xhf xfxh

36、因此,在导数公式中,如(4-60) 1()-( )iif xf xh_11()-( ( )iiiif xf xh_11()-( )iiiif xf xhh_11()-( )1( )( )2iiiiif xf xfxfhh由(4-62)有 2_12max( ) ,max,()-( )2( )2iiiiMfxf xf xMfxhhh令有 误差包括:公式误差和舍入误差第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分另一种提高计算精度的方法称为外推法4.13, , ,( )( - )( )()A B CfxAf x hBf xCf xh例 求以下形式的数值导数公式的系数并求误差 ( -

37、 ),(),f x hf xhxTaylorA C解:将在 外按公式展开 并分别乘系数234(4)( - )( )( )( )( )( ).264!hhhAf x hAf xAhfxAfxAfxAfx( )( )Bf xBf x234(4)()( )( )( )( )( ).264!hhhCf xhCf xChfxCfxCfxCfx三式相加,有234(4)( )( - )( )() () ( )()( ) ()( )()( )()( ).264!fxAf x hBf xCf xhABC f xAC hfxhhhACfxACfxACfx 第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数

38、值微分20-02ABCACACh因此,令222121AhBhCh 解得 24(4)(6)21( )()2 ( )()( )( ).12360hhfxf xhf xf xhfxfxh24(4)(6)2122()2 ( )()( )( )( ).126!hhf xhf xf xhfxfxfxh第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分21( )()2 ( )()hD xf xhf xf xhh记24(4)(6) ( )( )( )( ).12360hhhfxDffxfx 则其误差为24(4)(6)222 ( )( )( )( ).4 124360hhhhfxDffxfx 若再

39、取为步长进行计算,有4(6)221 ( )(4( )( )( ).34360hhhfxDfDffx由以上两式得到_/24( )( ) ( ),( )3hhDfDfD ffx记则可得到更精确的结果第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分 由计算精度较低的公式通过适当的组合,获得较高计算精度的方法称为外推法第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分( )f x设函数定义在区间a,b上,且在此区间上可微,则有( )fx0()( )limhf xhf xh , a b对( )f xx因此,可以使用以下公式,当h足够小,计算在 处的导数近似值()( )( )

40、f xhf xfxh但是当h足够小时,计算的结果将是不准确的4.12例的结果 因此,构造数值微分公式的比较普遍的方法是用一个易于计算其导数的函数近似替代问题中的函数f(x). 插值多项式是一个比较合适的选择第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分01,., , 1mx xxa bm 设是上的个点( )mpx,记为相应的插值多项式01( )( ),., ( )mmf xpxf x xxxx则 ( )( )kfx 对其求k阶导数 ( )( )kmpx( )01,., ( )kmf x xxxx若采用Lagrange插值多项式_( )f xxk,则可知在处的 阶导数的近似计算

41、式为_( )( )0( )( ) ( )nkkiiifxlx f x _( )01 ( ),., ( )kmkxxdE ff x xxxxdx误差为第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分( )01011 ,., =k! ,., , ,., , kmmkkdf x xxxf x xxx xx xdx 个定理:证明: 当k=1时01,., mdf x xxxdx01010,.,., lim mmxf x xxxxf x xxxx 010lim,., , mxf x xxx xx 01,., , mf x xxx x第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数

42、值微分2k 当时(2)012,., mdf x xxxdx01,., , mdf x xxx xdx01010,.,., , limmmxf x xxxx xxf x xxx xx 010100101,.,., ,lim,., ,., , mmxmmf x xxxx xxf x xxx xxxf x xxx xxf x xxx xx 010lim ,., ,mxf x xxx xx xx 01,., , ,mf x xxx x xx012 ,., , , mf x xxx x x第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分因此,当m=1时 ,得到使用2点构造的数值导数公式N

43、ewton由插值公式00100101( )(),(), ()()f xf xf x xxxf x x x xxxx01 ( ),fxf x x得到0101, (2)f x x xxxx0101, ()()f x x x xxxx0101010101, , ()(), (2)f x xf x x x x xxxxf x x xxxx000101000101001 (), , ()(), (2)xxf xf x xf x x x x xxxxf x x xxxx将代入0101001, (2)f x xf x x xxxx100110( )()1( )()2f xf xfxxxx1xx将代入得101

44、1010( )()1 ( )( )()2f xf xfxfxxxx第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分当m=2时,得到使用3点构造的数值导数公式Newton由插值公式001001201012012( )(),(),()() + , ( )( )()()()f xf xf x xxxf x x xxxxxf x x x xxxxxxxxx其中01( ),fxf x x01201,(2)f x x xxxx012+ , , ( )f x x x x xx012+ , ( )f x x x xx1021-,xxxxh设有1001( )(),f xf xf x xh0120

45、122()2 ( )(),2f xf xf xf x x xh第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分0 xx将代入001(),fxf x x012001,(2)f x x xxxx0120+ , , ()f x x x x xx0120+ , ()f x x x xx101( ( )()f xf xh01221()2 ( )()2f xf xf xhh2012, (2)f x x x xh01213 ()4 ( )()2f xf xf xh2( )3h f第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分1xx将代入101( ),fxf x x012101,(2)f x x xxxx0121+ , , ( )f x x x x xx0121+ , ( )f x x x xx101( ( )()f xf xh01221()2 ( )()2f xf xf xhh2012, ()f x x x xh021()()2f xf xh2( )6h f2xx将代入220121( )()()4 ( )3 ()23h ffxf xf xf xh第第4章章 数值微积分数值微积分4.5 4.5 数值微分数值微分012012012012( )2 , , ,