2016中考数学专题复习——一线三角三等角型

1、实用标准文档“一线三等角”基本图形解决问题三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型， 对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。 在近几年的中考题中， 经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三 个角相等。所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型， 也会存在 相似三角形，当出现了有相等边的条件之后， 相似就转化为全等了， 综合性题目往往就会把 相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注意。本文将重点对这一基本图形进行 探讨。通过对题目的有效分解，打破同学们对综合题的畏惧心理，

2、让同学们加深对于题目条 件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力, 在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。 一、知识梳理：（1）四边形 ABCD 是矩形，三角板的直角顶点 M 在 BC 边上运动，直角边分别与射线BA 射线 CD 交于 E、F,在运动过程中， EBMhAMCF.（2）如图 1:已知三角形 ABC 中，AB=ACZADEN B,那么一定存在的相似三角形有ABMADEC.如图 2:已知三角形 ABC 中, AB=AC,ZDEF=/ B,那么一定存在的相似三角形有DBEAECF.（图 1）（图 2）二、【

3、例题解析】【例 1】（2014 四川自贡）阅读理解：如图 1,在四边形 ABCD 勺边 AB 上任取一点 E（点 E 不与点 A、点 B 重合），分别连接 ED EC, 可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 勺边 AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形 ABCD 勺边 AB上的强相似点解决问题：（1）如图 1,ZA=ZB=ZDEC=55，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点， 并说明理由；（2）如图 2,在矩形 ABCD 中, AB=5, BC=2 且 A, B，C, D 四点均在正方

4、形网格（网格中每个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2 中画出矩形 ABCD的边 AB 上的一个强相似点 E;实用标准文档3.如图，在矩形 ABCD 中, AB=m(m 是大于 0 的常数)，BC=8,E 为线段 BC 上的动点(不与 BC 重合)连接 DE,作 EF 丄 DE, EF 与射线 BA 交于点 F,设 CE=x,BF=y,(1) 求 y 关于 x 的函数关系式(2 )若 m=8 求 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？12(3)若y，要使 DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少?m图】拓展探究：(3)如图 3,将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使

5、点 D 落在 AB 边上的点 E 处.若点 E 恰好是四边形 ABCM勺边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 和 BC 的数量关系.【练习】1、 已知矩形 ABCD 中, AB=3, AD=2，点 P 是 AB 上的一个动点，且和点A,B 不重合，过点 P 作 PE 垂直 DP,交边 BC 于点 E,设,PA=x , BE=y,求 y 关于 x的函数关系式，并写出x 的取值范围.DC2、如图，已知正方形 ABCD 将一块等腰直角三角尺的锐 角顶点与 A 重合，并将三角尺绕点旋转，当M 点旋转到 BC的垂直平分线 PQ 上时，连接 ON 若 0N=8 求 MQ 勺长.!13图 2I1! !I

6、 1IIiiI II-ii尸 * *kI$厂Ji实用标准文档【例 2】等边ABC边长为 6,P为BC边上一点，/MPN60。，且PM PN分别于边AB AC交于点E、F.(1) 如图 1,当点P为BC的三等分点，且PE!AB时，判断EPF的形状；(2) 如图 2,若点P在BC边上运动，且保持PEAB设BPx，四边形AEPF面积的y, 求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)如图 3,若点P在BC边上运动，且/MPt绕点P旋转，当CF=AE=2 时，求PE的长分析过程：(EPF 为等边三角形(2 )设 BP=x,贝 U CP= 6-x.设四边形 AEPF 的面积为 y.-FAX)2

7、3633.自变量 x 的取值范围为 3vxv6.(3)可证 EBPAPCF.ABPBE沁.设 BP=x,CFCP贝 Ux(6 - x) = 8.解得=4,x2= 2./PE 的长为 4 或23【练习】.如图，在厶ABC中,AB=AC=5cmBC=8，点P为BC边上一动点(不与点B C重合)， 过点P作射线PM交AC于点M使/APM/B;(1) 求证：ABPAPCM(2) 设BP=x,CMy.求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围.(3) 当厶APM为等腰三角形时，求PB的长.(4) 当点D是BC的中点时，试说明厶ADE是什么三角形，并说明理由.由题意 BEP 的面积2x. CFP 的面积

8、为(6 - X)2. ABC 的面积为9. 3.N图 3实用标准文档AO 2【例 3】在:ABC中，.C =90, AC =4,BC =3,0是 AB 上的一点，且，点 PAB 5是 AC 上的一个动点，PQ _0P交线段 BC 于点 Q,（不与点 B,C 重合），已知 AP=2 求 CQ【练习】在直角三角形 ABC 中，.C =90,AB二BC,D是 AB 边上的一点，E 是在 AC 边上的一个动点，（与 A,C 不重合），DF _DE,DF与射线 BC 相交于点 F.、当点 D 是边 AB 的中点时，求证：DE二DF（2）、当型二m,求DE的值DBDF2【例 4】如图，抛物线 y=ax+b

9、x+c 经过点 A( - 3, 0), B(1.0) , C(0, - 3).（1）求抛物线的解析式；若点 P 为第三象限内抛物线上的一点，设厶 PAC 的面积为 S,求 S 的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为 D, DEI x 轴于点 E,在 y 轴上是否存在点M 使得 ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.273de答案：（1）y=x2+2x - 3; （2）S 有最大值 ，点 P 的坐标为（-，）；实用标准文档82437M 的坐标为（0,-）或（0,）或（0，- 1）或（0，- 3）.22实用标准文档课后作业:1. 已知：如图，在A

10、BC中，AB=AC=5,BC=6，点D在边AB上，DE _ AB,点E在边BC上.又点F在边AC上，且.DEF=/B .(1)求证：FC0AEBD当点D在线段AB上运动时，是否有可能使SFCE二4SEBD. 如果有可能，那么求出BD的长如果不可能请说明理由.2. 如图，在ABC中,AB=A(=5,BC=6,P是BC上一点，且BF=2,将一个大小与/B相等 的角的顶点放在F点，然后将这个角绕F点转动，使角的两边始终分别与AB AC相交,交点为D E。(1) 求证BPDACEP(2) 是否存在这样的位置，PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。与E,PF丄BC交AC与F,设P

11、C=x,记PE=y1,PF=y2(1)分别求y1、y关于 x 的函数关系式(2 )PEF能为直角三角形吗？若能，求出CP的长，若不能, 请说明理由。4. 如图，在厶ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一个动点(与BC 不重合),PE! AB与E,PF丄BC交AC与F,设PC=x, PEF的面积为y(1) 写出图中的相似三角形不必证明；(2) 求y与x的函数关系式，并写出 x 的取值范围；(3) 若厶PEF为等腰三角形，求PC的长。3.如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=6,P是BC上的一个动点(与B、C 不重合),PE! ABAC实用标准文档5.已知在等腰三角形ABC中，AB二

12、BC=4,AC=6,D是AC的中点，E是BC上的动点(不与B、C重合)，连结DE,过点D作射线DF，使.EF =/A，射线DF交射线EB于点F，交射线AB于点H.(1)求证：.：CED s ADH；(2)设EC = x, BF =y.1用含x的代数式表示BH;2求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域.6. 已知在梯形ABCDK AD/ BC A氏BC且AD=5,AB= DC=2.(1) 如图 8,P为AD上的一点，满足/BP&/A.1求证；ABSADPC2求AP的长.(2) 如果点P在AD边上移动(点P与点A D不重合)，且满足/BPEZA,PE交直 线BC于点E,同时交直线DC于点

13、Q那么1当点Q在线段DC的延长线上时，设AP= x,CQ= y，求y关于x的函数解析式，并写 出函数的定义域；2当CE=1 时，写出AP的长(不必写出解题过程).A实用标准答案：1.解：(1)VAB=AC/B=ZC/BED/DEf=ZC+ZEFC90又：NDEF =NB /-ZBE住/EFCFCEAEBD55(2)TBD=x, BE-x , EC =6x33S/FCEAEBD-竺=(S舌EDBC)2若SFCE=4SEBD(字)2=4 x112.56 - x3解：(1)vABAC./B=ZCZDPCZDPEZEP(=ZBVBDP.ZEPC=ZBDPABDhDCE(2)TZDPE=ZB=90若ZP

14、DE=90，在 Rt ABH和 RtPDE中3 .=36. 3BD不存在11BHcosZABhtcosZDP AB12 PC=4 BD =5若ZPED=90 在 Rt ABH和 Rt PDE中35PDPE3.BH PEcosZABH=cosZPE= AB PD20 PC=4 BD5(舍去)312综上所述，BD 的长为1254解：(1)y1(6 - x)二5(2)/FPE=ZB=90若ZPFE=90,在 RtABH和 RtPFE中424x55BHcos/ABhtcos/FPE= ABPFPDBDPE -PCPDBDPEPC4- - x33.35y25yi53PE4x3424x55若ZPEF=90

15、,在 RtABH和 RtPFE中BH PF3 cosZABhtcosZFPE= ABPE 54x3424x554.解：(PEBAEPC4(2)TPC=x PF = x PE3，上_5y3文档=4(6-X) , EH5=里EP二16_x)525实用标准文档/ D是AC的中点，AC =6 , AD二CDx39当H点在线段AB的延长线上时，x 3,BH -434 + BHxx39当H点在线段AB上时，x3,BH =4-壬34BHx过点D作DG/ AB交BC于点GDG CG CD 1,DG =2,BG =2AB BC AC 2二18-8x9 2x当H点在线段AB上时，8x -18 9（3 ）当5.1PF EH2322x275PE=PF时,PE=EF时,FE=PF时,264x （0：x _ 3）251625（6x）=32x（6一x）75EPCAPEB PC=BE=x,PHPMPF2J EP24（6cos /