西交大数字信号处理课件-第三讲.

1、3-1 引言3-7 抽样Z变换-频域抽样理论3-8 利用DFT对连续时间信号的逼近3-6 DFT的性质3-5 DFT-有限长序列的离散频域表示3-3 周期序列的DFS3-4 DFS的性质3-2 傅氏变换的几种形式 3-1引言信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化0t0dtetxjXtj)()(:正dejXtxtj)(21)(:反)( jX)(tx时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性: 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。2/2/00)(1)(:ppTTtjkpdtetxTjkX正0tpT)(tx-ktjkejkXtx0)()(:0反0)(0jkXpT20时域信号频域信号连续的周

2、期的非周期的离散的*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2/TpnTjnTjenTxeX)()(:正x(nT)T -T0T2Tt0Ts2)(TjjeXeX或-2/2/)(1)(:ssdeeXnTxTjnTjs反时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的TTs2,*频域的周期为时域抽样间隔为x(nT)=x(n)FTp1t0T 2T1 2 N NTTpn0002 0 1 2 3)1()1(0NNNN0k)()(0kxexTjk TfTss120NsFTp220NT 由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的.2,;2*0TTTTspp频域

3、的周期为时域的离散间隔为为函数，频域的离散间隔时域是周期为002/2/:10,2:10:)(1)()()(ddNkFkkNndeeXnTxenTxeXssTjnTjsnTjnTj从DFT的简单推演： 在一个周期内，可进行如下变换：102210220010010)(1)()()(222)()()()(0000NknkNjkNjNnnkNjkNjspNkTjnkTjksNnTjnkTjkeeXNnTxenTxeXNTTTeeXnTxenTxeX因此又 )()(2kNjeXnTx视作n的函数，视作k的函数，)()()()(2kXeXnxnTxkNj这样,102102)(1)()()(NknkNjNn

4、nkNjekXNnxenxkX正反ktjkekXtx0)()(0对上式进行抽样，得： 导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的： knkNjknTjkekXekXnTx200)()()(0NT20)(nTx)(0kX因 离散的，所以 应是周期的。)(0kX，代入而且，其周期为 ，因此 应是N点的周期序列。0/2 NTknNjrnjnkNjnrNkNjeeee222)(21020)()()()()()(NknkNjekXnxkXkXnxnTx则有，；，考虑到：1020NknkNjekXnTx)(nx)(kXrmmNrNeNnrnNj，其他为任意整数0,102)(1112

5、2)1(2222102时mNrNeeeeeerNjNrNjNrNjrNjrNjNnrnNj)()0(10)(2pNrkNNNeNnnrkNj)()()()(10rXpNrXpNrkkXNk)()()(110)(2pNrkpNrkpNrkeNNnnrkNjpNrk所以亦即)(kXnrNje2102)(NnnrNjenx102)()(NknkNjekXnx1010)(2)(NnNknrkNjekX)()()()()()()(101010)(21010)(2102rXNpNrXNpnrkNkXekXekXenxNkNkNnnrkNjNnNknrkNjNnnrNj102)(1)(,NnnrNjenxN

6、rX因此102102102)()()(1)(,)(1)(NkknNjNnknNjNnknNjekXnxenxNkXenxNkXkr对于周期序列所以则有换成将)(nx102102)(1)()()(NkknNjNnknNjekXNnxenxkX2jNNWe10102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFSnx正变换：反变换：)(kX)()()()()(102102210)(2kXenxeenxenxmNkXNnknNjNnmnjknNjNnnmNkNj周期性：个不同值。只有这就是说，NkX)()

7、(nx =)(nx, 0n N-10 , 其他n10)()()(NnnnnZnxZnxZX对 作Z变换， nx)(nx)(nx用Z变换的求 ：)(kXkNjeZ2)()()(1022kXenxeXNnknNjkNj)(kX)(ZX如果 ，则有 ZjIm ZRe1234567(N-1)N2k=0)()()()(2211nxDFSkXnxDFSkX)()()()(2121kXbkXanxbnxaDFS 3-4DFS的性质一.线性如果则有)()(kXnxDFS)()()(2kXekXWmnxDFSmkNjmkN则有：如果证明：10)()(NnnkNWmnxmnxDFS令i=m+n,则 n=i-m。n

8、=0 时，i=m; n=N-1时，i=N-1+m所以 mkNmNmiikNWWixmnxDFS1)()()()(10kxWWixWmkNNiikNmkN* 和 都是以N为周期的周期函数。)(ixikNW)()(kXnxDFS)()(mkXnxWDFSmnN证明： )()()()(10)(10mkXWnxWnxWnxWDFSNnnmkNknNNnmnNmnNmnNjnmNjmnNjmnNeeeW)(222时域乘以虚指数( )的m次幂，频域搬移m,调制特性。nNje2)()()(21kXkXkY10101221)()()()()()(NmNmmnxmxmnxmxkYIDFSny证明从略。)(1mx

9、)(2mx)(2mx)0()(22mxmx1102011010101)0()()0(5021mmxmxy)(2mxm计算区)(2mx mm)(1mx 0 1 2 3 )(2mx )1 (2mx1101001010111)1 ()() 1 (5021mmxmxy（3）将 右移一位、得到可计算出：)1 (2mxm计算区)(2mx mm)(1mx 0 1 2 3 )1 (2mxm)(2mx )2(2mx3100001011121)2()()2(5021mmxmxy4000001112111)3()()3(5021mmxmxy, 4)4(y同样，可计算出：3)5(y)(nyn134 4计算区31)()

10、()(21nxnxny1012102110)()(1)()(1)()()(NlNlNnnkNlkXlXNlkXlXNWnynyDFSkY证明从略。 mNnn1101Nn1nnN1n)(1n Nn7252792259,2591nNnNn5455949,49NnNn 含义1nxnxN Nnxnx1 1nx2.)(nxmmNnxnx)()( =)(nx, 0nN-10 , 其他n )(nx周期序列 是有限长序列x(n)的周期延拓。)(nx有限长序列x(n)是周期序列 的主值序列。)(nx Nnx)()()(nRnxnxN或如：N-1nx(n)0.n)(nx0N-1定义从n=0 到（N-1）的第一个周

11、期为主值序列或区间。)(kX )()()()(kRkXkXkXkXNN 同样， 周期序列 是有限长序列X(k)的周期延拓。 而有限长序列X(k)是周期序列 的主值序列。)(kX)(kX10)()()(NnnkNWnxnxDFSkX10)(1)()(NknkNWkXNkXIDFSnx 从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间 进行。 因此可得到新的定义，即有限长序列的离散傅氏变换(DFT)的定义。1010)(1)()()()()(NknkNNnnkNWkXNkXIDFTnxWnxnxDFTkX, 0kN-1, 0nN-1或者：)()()()()()

12、(nRnxnxkRkXkXNN)()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT)()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFT)(1nx)(2nx21,maxNNN nRmnxnxNNm)( Nnxnx)(Nmnxmnx)( nRmnxnxNNm)()(nx( )x nn)(nx0N-1nNnxnx)()(0周期延拓nNnxnx2)2(0左移2n)()2(nRnxNN0取主值N-1)(nx)(nx)(nx12345n=0N=6顺时左移 三、共轭对称性 1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量 周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对 称分量分别定义为 )()(21)()(21)()

13、()(21)()(21)(*NNoNNenNxnxnxnxnxnNxnxnxnxnx同样，有)()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxooeeoe2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量 有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称 分量分别定义为)()()(21)()()()()()(21)()()(*nRnNxnxnRnxnxnRnNxnxnRnxnxNNNNoopNNNNeep由于)()()()()()()()()()(nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN所以)()()(nxnxnxopep 这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两

14、个分量。3.共轭对称特性之一)()()()()()()(*kRkNXkRkXnxDFTnxDFTkXNNNN，则如果证明：)()()()()()()()()()()(*10*)(10*10*10*kRkNXkRWnxkRWWnxkRWnxkRWnxnxDFTNNNnNnkNNNnNnkNNnNNnNnkNNnNnkN4.共轭对称特性之二)()()()()(*kXnRnxDFTnxDFTkXNN则，如果证明：)()()()()()()()(*10*)1(0*1010*kXWnxWnxWnxWnRnxnRnxDFTNnnkNNnnkNNnnkNNnnkNNNNN可知：)()()(*kRkXnxNN

15、)()()(*kXnRnxNN5.共轭对称特性之三)()()()(21)(Re)()(*kXkRkNXkXnxDFTnxDFTkXepNNN，则如果证明：)()()()(21)()()(21)()(21)(Re)()(21)(Re*kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxDFTnxnxnxepNNNNN圆周共轭对称分量。的该序列复数序列实部的DFTDFT *6.共轭对称特性之四)()()()(21)(Im)()(*kXkRkNXkXnxjDFTnxDFTkXopNNN，则如果证明：)()()()(21)()()(21)()(21)(Im)()(21)(Im*kXkRkNXkXk

16、RkNXkXnxDFTnxDFTnxjDFTnxnxnxjopNNNNN圆周共轭反对称分量。的该序列的复数序列虚部乘以DFTDFTj*7.共轭对称特性之五、六)()(Im)()(RenxDFTkXjnxDFTkXopep，同样，可证明：8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性)()()()1 (kXkXkXopep、)()()()()()()3()()()()()()()2(*kRkNXkRkXkXkXkRkNXkRkXkXkXNNopNNopopopNNepNNepepep、9.实、虚序列的对称特性 当x(n)为实序列时，根据特性之三，则 X(k)=Xep(k)又据Xep(k

17、)的对称性：)()()(*kRkNXkXNNepep 当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则 X(k)=Xop(k)又据Xop(k)的对称性：)()()(*kRkXkXNNopop)()()(*kRkNXkXNN)()()(*kRkXkXNN)(1nx)(2nx)()(11kXnxDFT)()(22kXnxDFT)()()(21kXkXkY如果 ，则 )()()()(11021nxnRmnxmxkYIDFTnyNNmNN)(2nx)()()(21012nxnRmnxmxNNmNN)(1nx证明： 相当于将 作周期卷积和后，再取主值序列。)(),(21nxnx将 周期延拓：)(ky)()(21

18、kXkXkY）（则有：10211021)()()()()(NmNNNmmnxmxmnxmxkYIDFSny在主值区间 ，所以：)()(, 1011mxmxNmN )()()()()(11021nxnRmnxmxnRnynyNNmNNN)(2nx同样可证：)()()()(21012nxnRmnxmxnyNNmNN)(2nx2.时域圆周卷积过程N-10n)(1nxN-10)(2nx)(0)(22mRmxmxNN0m)(12mRmxNN0m)(22mRmxNN0m)(32mRmxNN0m1) 6 (0) 5 (1) 4 (220001010111101)()3()() 3 (300000010111

19、111)()2()() 2 (310000000111111)()1()() 1 (210100000011111)()0()() 0 (607721607721607721607721yyymRmxmxymRmxmxymRmxmxymRmxmxymmmm0233211N-1nN)(2nx)()(1nxny最后结果：五.有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积 的长度为 的长度为 它们线性卷积为)(1nx) 10(11NnN)(2nx) 10(22NnNmNmlmnxmxmnxmxny1021211)()()()()( 的非零区间为 的非零区间为 两不等式相加得 也就是 不为零的区间. 例如

20、:)(1mx101Nm)(2mx102Nmn2021NNn)(nyl)(1nx1012n)(2nx1012n3m)(2mx -1-2-3111)0(lym)1 (2mx21111) 1 (lym)2(2mx3111111)2(ly)(1mx1012mm)3(2mx3111111)3(lyn)(nyl2101)5(, 2)4(llyy同样314523321)(1mx1012m)(1nx1N)(2nx2N)(),(21nxnxLLnxnx)(,)(211021)()(LmLLmnxmxnyrlrLmrLmLmLrlnymrLnxmxmrLnxmxmnxmxny)()()()()()()(10212

21、1011021 因此故由于, 1011mxmxLmLly121 NN121NNLLnxnRrlnynRnynyLrlL)()()()()()(1)()()(212nxnxnx1,21NNLnnZnxZX)()()(kXnnkNWzWnxZXkXkN)()()()(kX)(nxN mmNkknmNNknkNmmkNNknkNNmxmxWNWWmxNWkXNkXIDFSnx)()(1)(1)(1)()(10)(101010)()1(NkknmNWN1 , m=n+rN , 0 , 其他mrNrNnxnxrmrm)()(所以；)(nxN)(kXMNnxnRrNnxnRnxnxrNNNN, )()()

22、()()()()(jeX10)()(NnnZnxZX10)(1)(NknkNWkXNnx二.由X(k)表达 X(Z)与 的问题内插公式 1010110110110) 1() 1(22110101010)()(11)(1)(1)(111)(11)(1)(1)(NkkNkkNNNkkNNNkkNNkNNkNkNNkNkNNkNnnnkNNnnNknkNZkXZWNZkXZWkXNZkXZWZWNkXZWZWZWNkXZWNZWkXNZX) 1(22kjNkNjNkNeeW称作内插函数。)(1111)(11kNNNkNNkWzzzNZWNZZ ZRe1ZkNje2 ZjIm。)(11)(1kNNNk

23、WzzzNZ1, 1 , 0,2NkreZrNjkNjkNeWZ2kNjeZ2kNje2)(11)(1kNNNkWzzzNZ3.频率响应 单位圆上的Z变换即为频响, 代入jeZ 10)()()(NkjkjekXeX4.内插函数的频率特性 2)2(222)2(22221111kNjkNjkNjNjNjNjNkjjNjkeeeeeeNeeNe111)(ZWNZZezkNNkj代入：将 可见, 既是 的函数又是k的函数,其可表示为 当k=0时,则有jkeNkejk2 2102sin2sin1NjeNNNkNjekNNN212/ )2(sin2sin1 时, 时, ，所以 0 ; 121212cos2cos100NNN) 1, 2 , 1(2NiNi0sin2siniN . 00。在其他抽样点为，在本抽样点为这说明012Nkejk 0 021N 02sin25sin512sin2sin1NN221N其中， N=520N22; 12022, 1)0(0NkNkNk时，在可推断出由。时，亦即在122NkNk时，即而当kiNi,2122NkiNk02NkkN2, 12Nk. 02,2NkkiNi上jeX102)(NkjkNk