大连大学弹塑性力学-3应变

1、弹塑性力学大连大学建筑工程学院大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学第三章 应变分析主要内容：1. 变形与应变概念2. 几何方程3. 应变张量4.应变分量坐标变换5.主应变，最大剪应变6. 变形协调方程7. 偏应变张量，等效应力，主应力空间2022-4-42大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学1 1、变形和应变的概念、变形和应变的概念形变形变 物体的形状改变物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。）两线段间夹角的改变。PBCAzxy用线（正）应变用线（正）应变度量度量用剪应变用剪应变度量度量（剪应变（

2、剪应变两垂直线段夹角（直角）的改变量）两垂直线段夹角（直角）的改变量）三个方向的线应变：三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：三个平面内的剪应变：zyx,zxyzxy,(1) 一点形变的度量一点形变的度量应变的正负：应变的正负：线应变：线应变： 伸长时为正，缩短时为负；伸长时为正，缩短时为负；剪应变：剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负；以直角变小时为正，变大时为负；2022-4-43大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学(2) 一点应变状态一点应变状态xyzOPBCAzxyzzyzxyzyyxxzxyx其中其中xzzxyxxyzyyz应变无量纲；应变无量纲；4. 位

3、移位移 注：注：一点的位移一点的位移 矢量矢量S应变分量均为位置坐标的函数，即应变分量均为位置坐标的函数，即;),(zyxxx),(zyxxyxyxyzOwuvPP位移分量：位移分量：u x方向的位移方向的位移 分量；分量；v y方向的位移方向的位移 分量；分量；w z方向的位移方向的位移 分量。分量。量纲：量纲：m 或 mmS2022-4-44大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学 研究在研究在oxy平面平面内投影的变形，内投影的变形，PABCABCPPA=dxPB=dyPC=dz2、几何方程、几何方程2022-4-45大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性

4、力学弹塑性力学一点的变形一点的变形线段的伸长或缩短；线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；线段间的相对转动；xyOP考察考察P点邻域内线段的变形：点邻域内线段的变形：PAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPB dxPA变形前变形前变形后变形后PABBPAuvdxxvvdxxuudyyuudyyvv注：这里略去了二阶注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。以上高阶无穷小量。2022-4-46大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvPA的正应变：的正应变：dyvdyyvvyvyPB的正

5、应变：的正应变：dxudxxuuxuxP点的剪应变：点的剪应变：P点两直角线段夹点两直角线段夹角的变化角的变化yuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxy2022-4-47大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv整理得：整理得：yuxvyvxuxyyx几何方程几何方程2022-4-48大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学同样方法研究另外两平面yoz和zox上投影线元的变形可得到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也称柯西(Cauchy)方程xyzx

6、yyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz 几何方程几何方程2022-4-49大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学（1）几何方程反映任一点的位移几何方程反映任一点的位移(3个分量个分量)与该点应变与该点应变(6个分量个分量)间的关系，是弹塑性力学的基本方程之一。间的关系，是弹塑性力学的基本方程之一。（2）当当 位移分量位移分量u、v 、 w已知，则已知，则6个应变分量可完全确定；个应变分量可完全确定；反之，已知反之，已知6个应变分量，不能确定位移分量。个应变分量，不能确定位移分量。（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）积分需要确定积分常数，由边界条

7、件决定。）说明：说明：（3）几何方程是纯几何变形分析结果，不涉及产生运动的原因几何方程是纯几何变形分析结果，不涉及产生运动的原因和材料的物理性能，对一切连续介质力学问题都适用。和材料的物理性能，对一切连续介质力学问题都适用。2022-4-410大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学3、转动张量一一. 单元的转动单元的转动单元单元e不变形时，由相邻单元变形引起单元不变形时，由相邻单元变形引起单元e绕绕oz轴的转动轴的转动（方位变化）（方位变化）ryxxyxy)(21xyyxr 注：注： 为负为负xy 单元单元e的剪应变的剪应变0 xyyxxy 2022-4-411大连大学

8、研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学单元单元e有变形时，由相邻单元的变形引起的单元有变形时，由相邻单元的变形引起的单元e的方位变化的方位变化)2(21xyyxr r xy+ yxxyr yx xy)(21)(214)2(21yuxvrxyyxyxxyyx 2022-4-412大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学上式为绕上式为绕oz轴的转动，令轴的转动，令)(21yuxvrrz2 yuxvz 同理，绕同理，绕ox,oy轴的转动为：轴的转动为：zvywx ywzuy 称为转动分量称为转动分量zyx ,2022-4-413大连大学研究生课程大连大学研究生课

9、程- -弹塑性力学弹塑性力学xyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz 几何方程几何方程yuxvz zvywx ywzuy yuzxy2 )(21zxyyu 由几何方程和转动分量可求出三个由几何方程和转动分量可求出三个位移分量位移分量u,v,w的的9个偏导数。个偏导数。2022-4-414大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学021212102121210212121212121)(21)(21)(21)(21)(21)(21xyxzyzzyzxzyzyxyxzxyxzxyzyxzxyzyzxyyxzzxyxzwywxwzvyvxvzuyuxu

10、ijijjiu ,简记为简记为对称部分，对称部分，ij 反对称部分，反对称部分，ij jijixuu,2022-4-415大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学 为为 对作标的一阶偏导数，为二阶张量，称为对作标的一阶偏导数，为二阶张量，称为相对位移张量。相对位移张量。ijijjiu ,jiu,iu)(21,ijjiijuu )(21,ijjiijuu ij ij 称为应变张量称为应变张量称为转动张量称为转动张量2022-4-416大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学相邻两点P，Q间的位移变化量（即相对位移）dzdydxdzdydxwvuwvux

11、yxzyzzyzxzyzyxyxzxyx021212102121210212121212121/ jijjijjjiiiidxdxdxuuuu ,刚体的平动部分。线元PQ自身变形部分。绕P点的刚性转动部分，由相邻单元的变形引起。Q点的位移P点的位移jjiiidxuuu,2022-4-417大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学jjiiidxuuu,dzzwdyywdxxwwwdzzvdyyvdxxvvvdzzudyyudxxuuu展开为2022-4-418大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学4、应变张量性质一、应变张量的坐标变换一、应变张量的坐

12、标变换 112211221122xxyxzxyyyzxzyzz旧坐标下应变张量旧坐标下应变张量新坐标下应变张量新坐标下应变张量 112211221122xx yx zx yyy zx zy zz 2022-4-419大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学新坐标轴在旧坐标新坐标轴在旧坐标下的方向余弦下的方向余弦 111222333lmnlmnlmn应变张量的坐标变换与应力变换相似应变张量的坐标变换与应力变换相似 T 2022-4-420大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学二、主应变，应变张量不变量二、主应变，应变张量不变量一点的应变状态由一点的应

13、变状态由6个应变分量确定，但应变分个应变分量确定，但应变分量的数值与选定的坐标系有关，即一点的应变分量的数值与选定的坐标系有关，即一点的应变分量随坐标系的变换而变化。量随坐标系的变换而变化。问问：是否存在一个坐标系，在该坐标系下，只有：是否存在一个坐标系，在该坐标系下，只有正应变，而剪应变为零。即沿该坐标系轴方向的正应变，而剪应变为零。即沿该坐标系轴方向的3个正交线元只有相对伸长，个正交线元只有相对伸长， 如存在上述性质坐标系，则将该坐标系的如存在上述性质坐标系，则将该坐标系的3个轴个轴方向称为应变主方向，沿该坐标系轴方向的方向称为应变主方向，沿该坐标系轴方向的3个正个正交线元的相对伸长称为主

14、应变交线元的相对伸长称为主应变2022-4-421大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学和主应力计算相同11()02211()02211()022xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmn2022-4-422大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学321230DDD式中式中1xyzD2222111444111222111222xyyzzxxyyzzxxxyyyzzzxxyyyzzzxxD 3112211221122xxyxzxyyyzxzyzzD特征方程特征方程2022-4-423大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学

15、 称为称为 应变张量的三个不变量。应变张量的三个不变量。由上式可求出应变张量的三个主应变由上式可求出应变张量的三个主应变 ，且三个主应变方向相互正交。且三个主应变方向相互正交。对各向同性体，主应力方向和主应变方向重对各向同性体，主应力方向和主应变方向重合！合！123,D D D321, 其中第一应变不变量是体积应变！其中第一应变不变量是体积应变！)(31max 最大剪应变为：最大剪应变为：与应力张量与应力张量 分解相似，应变张量分解相似，应变张量 也可分解也可分解为应变球形张量和应变偏量两个张量之和，为应变球形张量和应变偏量两个张量之和，ij ij 应变球形张量只代表体积改变部分，应变球形张量

16、只代表体积改变部分，应变偏量代表形状改变部分，应变偏量代表形状改变部分，应变偏量在塑性力学中很重要，应变偏量在塑性力学中很重要，2022-4-424大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学5、变形协调方程（连续性方程）应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示；应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示；已知位移分量已知位移分量,可通过求偏导数得到可通过求偏导数得到6个应变分量；这是唯个应变分量；这是唯一确定的。一确定的。反之反之,已知应变分量求位移分量已知应变分量求位移分量,需通过积分运算。需通过积分运算。-从数学上看，从数学上看，6个方程求个方程求3个未知量，如有解，

17、则个未知量，如有解，则6个个方程是相关的，即应变之间必须满足某种关系才有可能得方程是相关的，即应变之间必须满足某种关系才有可能得到唯一的位移解。到唯一的位移解。-从物理上看，为保证变形后物体连续和单值，应变从物理上看，为保证变形后物体连续和单值，应变间必须满足一定关系。称为相容性。间必须满足一定关系。称为相容性。 表示应变分量间的这种关系的方程称为变形连续性方表示应变分量间的这种关系的方程称为变形连续性方程，也称为变形相容方程或变形协调方程。程，也称为变形相容方程或变形协调方程。2022-4-425大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学2322yxuyxxyzxyyxy

18、zzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz 第1式对y求两阶偏导第2式对x求两阶偏导2322xyuxy两式相加：23232222yxuyxuxyyxxvyuyx2将第4式代入得：yxxyxyyx222222022-4-426大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学同理：xzzxzxxz22222zyyzyzzy222222022-4-427大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学xyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz 后三式分别对z、y 、x求偏导得：xzvyzuzxy22yxwzxvxyz22zyuxywyzx2

19、2xuzyzyxxxyzxyz222022-4-428大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学yvxzzyxyxyzxyz22zwyxzyxzxyzxyz22 同理：2022-4-429大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学yxxyxyyx22222xzzxzxxz22222zyyzyzzy22222xuzyzyxxxyzxyz22yvxzzyxyxyzxyz22zwyxzyxzxyzxyz22连续性方程连续性方程2022-4-430大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学l连续性方程是单连体小变形连续的必要和充分条件。l如应

20、变分量满足连续性方程，可保证位移分量存在。2022-4-431大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学5、应变率和应变增量、应变率和应变增量2022-4-432大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学6 6、位移边界条件、位移边界条件在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边界条件界条件uuvvww在给定位移的表面在给定位移的表面Su上上注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移；注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移；反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即反

21、之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即混合边界条件。混合边界条件。2022-4-433大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学7、弹性力学参量的指标表示法l前几节中给出的力分量、应力分量、应变分量和位移分量，其表示方法引用的是记号法；这是一种公认的弹性力学参量表示方法。l近年来，数学理论中的指标表示法开始出现在力学文献及教科书中。l指标表示法书写简洁，便于力学问题的理论推导。2022-4-434大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学一.指标表示法1. 指标符号 具有相同性质的一组物理量，可以用一个带下标的字母表示：如：位移分量如：位移分

22、量u、v 、w表示为表示为u1 、u2、u 3，缩写为，缩写为ui（i=1,2,3）坐标坐标x、y、z表示为表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为，缩写为xi（i=1,2,3）。）。单位矢量单位矢量i、j、k表示表示ei（i=1,2,3）。）。2022-4-435大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学应力分量：)3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(jiijzzzyzxyzyyyxxzxyxx可表示为：333231232221131211缩写为：同理，应变分量可表示为：)3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(jiijxy12xy令2022-4-436大连大学研究生

23、课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学向量 表示为a31332211iiieaeaeaeaa三阶线性方程组333323122322211131211PzayaxaPzayaxaPzayaxa)3 , 2 , 1(31iPxaijjij可表示为缩写为)3 , 2 , 1(332211iPxaxaxaiiii2022-4-437大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学2.爱因斯坦求和约定在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为哑指标哑指标（简称哑标哑标）)3 , 2 , 1( ieaaii例)3 , 2 , 1;

24、 3 , 2 , 1(jiPxaijij求和指标j求和指标i非求和指标称为自由指标333323213123232221211313212111PxaxaxaPxaxaxaPxaxaxa332211eaeaeaa2022-4-438大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学l（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。例：l（2）哑标的有效范围仅限于本项。l（3）多重求和可采用不同的哑标表示。l例：l（4）哑标可局部地成对替换。l（5）自由指标必须整体换名。l（6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混淆，应声明对该指标不求和。例iiiiiiicbacbacbacbacba313332221113131ijjiijjiijxxaxxa)( 不求和ibaCiiii2022-4-439说明：大连大学研究生课程大连大学研究生课程- -弹塑性力学弹塑性力学3.求导数的简记方法求导数的简记方法微分算符简记