大学物理下量子力学基础03

1、 思想方法思想方法 自然界在许多方面都是自然界在许多方面都是明显地对称的，他采用类比的方法提出明显地对称的，他采用类比的方法提出物质波的假设物质波的假设 . “整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；来，是过于忽略了粒子的研究方法； 在实物理论上，是否在实物理论上，是否发生了相反的错误呢发生了相反的错误呢 ？ 是不是我们关于是不是我们关于粒子粒子的图象想的图象想得太多得太多 ，而过分地忽略了波的图象呢？，而过分地忽略了波的图象呢？” 法国物理学家德布罗意法国物理学家德布罗意（Louis Victor de Br

2、oglie 1892 1987 )原则上可精确地确定它的质量、动量和电荷，且原则上可精确地确定它的质量、动量和电荷，且 在一定条件下可视为质点。对于质点，只要初始在一定条件下可视为质点。对于质点，只要初始 的位移、速度及受力状态已知，原则上可用牛顿的位移、速度及受力状态已知，原则上可用牛顿 力学描述它未来的受力情况及运动状态。力学描述它未来的受力情况及运动状态。其特征量为其特征量为 和和 ，对一给定波源来说，其发出的，对一给定波源来说，其发出的 波原则上，频率和波长都可被精确测定。波原则上，频率和波长都可被精确测定。 1672年牛顿提出光的微粒说年牛顿提出光的微粒说 1678年惠更斯提出了光是

3、纵向波动年惠更斯提出了光是纵向波动 19世纪初在菲涅耳、夫琅和费、杨氏等人观察到世纪初在菲涅耳、夫琅和费、杨氏等人观察到 光的干涉实验后，波动学说被人们普遍承认。光的干涉实验后，波动学说被人们普遍承认。 19世纪末麦克斯韦、赫兹进一步肯定光为电磁波世纪末麦克斯韦、赫兹进一步肯定光为电磁波 20世纪初随着一些新的现象相继出现，且经典理世纪初随着一些新的现象相继出现，且经典理 论无法解释，随之诞生了一些新的理论。论无法解释，随之诞生了一些新的理论。 1905年提出光量子假说，提出了光具有波粒二象性年提出光量子假说，提出了光具有波粒二象性 1923年康普顿实验既是光的波粒二象性的最好证明年康普顿实验

4、既是光的波粒二象性的最好证明 1924年德布罗意将光的波粒二象性推广到实物粒子年德布罗意将光的波粒二象性推广到实物粒子1924年提出：任何物体都伴随以波，而且不可能年提出：任何物体都伴随以波，而且不可能 将物体的运动和波的传播分开。将物体的运动和波的传播分开。 在宏观上，如飞行的子弹在宏观上，如飞行的子弹m=10-2Kg，速度，速度V=5.0 102m/s对应的德布罗意波长为：对应的德布罗意波长为：mmEhk34103 . 12mvhPmchE/2他指出：实物粒子也有他指出：实物粒子也有mvh著名的著名的德布罗意关系式德布罗意关系式: 在微观上，如电子在微观上，如电子m=9.1 10-31Kg

5、，速度，速度V=5.0 107m/s,对应的德布罗意波长为：对应的德布罗意波长为：nm2104 . 1若若 则则 2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测 量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性 .0mmcv1）若）若 则则cv0mm 他认为：对所有的实物粒子，无论其静止质量是否为零都成他认为：对所有的实物粒子，无论其静止质量是否为零都成 立。即实物粒子即可用立。即实物粒子即可用P、E来描述，也可用来描述，也可用 、 来描述，有时粒子性突出，有时波动性突出，这既来描述，有时粒子性突出，有时波动性突出，这既 是实物粒子的波粒

6、二象性。是实物粒子的波粒二象性。 可以说：可以说： 是近代物理学中是近代物理学中 两个重要的关系式两个重要的关系式 ！前者通过！前者通过 c 将能量和将能量和 质量联系起来，后者通过质量联系起来，后者通过 h 将粒子性和波将粒子性和波 动性联系起来，是物理学的一大进步，动性联系起来，是物理学的一大进步， mvhmcE/2 1927年戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，年戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在解释，从而验证了物质波的存在.当当v

7、 c时，时，vmh0电子在加速电场中被加速时有：电子在加速电场中被加速时有：eUvm2021AUUemhvmhmeUv2 .12122000当当U=150V时，时， =1当当U=10 4V时，时， =0.112实验中，进入实验中，进入B的电流可用的电流可用电流计测出电流计测出改变电压改变电压U，测出电流强度测出电流强度I检测器检测器电子束电子束散散射射线线MUKG电子枪电子枪BIU1/2结果结果表明：当电压单调增加时，表明：当电压单调增加时， 电流强度不是电流强度不是 单调增加，单调增加， 表现出有规律的选择性，表现出有规律的选择性， 只有当电压为某些特定值时，只有当电压为某些特定值时， 电流

8、电流 才有极大值（即亮纹）。与才有极大值（即亮纹）。与x 射线衍射线衍 射相似。射相似。对于伦琴射线，投射到晶体上时，只有入射波的波长满足：对于伦琴射线，投射到晶体上时，只有入射波的波长满足： 的那些射线才能以一定的角反射。的那些射线才能以一定的角反射。, 3 , 2 , 1,sin2kkd实验中取：实验中取：=650 d=0.91 ，当当 U=54V测出峰值测出峰值 由：由： k=1 得得 =1.65, 3 , 2 , 1,sin2kkdnmmeUhph167. 02电子的德布罗意波长：电子的德布罗意波长：物质波是一种几率波，对单个粒子来说无物质波是一种几率波，对单个粒子来说无 法确定其某一

9、时刻法确定其某一时刻的位置，而对多数粒子来的位置，而对多数粒子来 说，在空间不同位置出现的几率遵从一定的统说，在空间不同位置出现的几率遵从一定的统计规律。亮纹的地方，电子出现的几率大；而非峰值的地方，电子出现计规律。亮纹的地方，电子出现的几率大；而非峰值的地方，电子出现的几率小，所以微观粒子的空间分布表现为具有连续特征的波动性，这的几率小，所以微观粒子的空间分布表现为具有连续特征的波动性，这就是物质波的统计解释。就是物质波的统计解释。戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学诺贝尔奖金年的物理学诺贝尔奖金 G . P . 汤姆逊电子衍射实验汤姆逊

10、电子衍射实验 ( 1927年年 )UMDPK例例1 试计算试计算温度为温度为 时慢中子的德布罗意波长时慢中子的德布罗意波长.C25 1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981年德年德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜.解解 在热平衡状态时在热平衡状态时, 按照能均分定理慢中子的平均平动动按照能均分定理慢中子的平均平动动能可表示为能可表示为:nm146. 0ph慢中子的德布罗意波长：慢中子的德布罗意波长：K298TeV1085. 3232kTkg1067. 127nm124nsmkg1054.

11、42mp例例4、假设电子运动的速度可与光速相比拟，则当电子的、假设电子运动的速度可与光速相比拟，则当电子的动能等于其静止能量动能等于其静止能量 2 倍时，其德布罗意波长是多少？倍时，其德布罗意波长是多少？（m0=9.1110-31kg) 解：由题解：由题 意意APhcmPcmcPEcPEcmEEEEcmKK30402220222200201058. 8/228321、 波函数波函数沿沿x方向传播的平面波的波动方程：方向传播的平面波的波动方程：)/(2cos),(0 xtytxy其指数形式：其指数形式：)/(20),(xtieytxy一个自由粒子有动能一个自由粒子有动能Eh和动量和动量P=h/

12、其其波函数：波函数：)(20)/(20),(),(PxEthixtieetxtxy)(0),(PxEtietx即：)0),(rPEtietr（对三维粒子有：对三维粒子有：、 是一个复指数函数，本身无物理意义是一个复指数函数，本身无物理意义3、 t时刻时刻，在在 （x,y,z） 处体积元处体积元d 内内 粒子出现的几率。粒子出现的几率。d2|2、讨论：、讨论：),(tr2、波函数模的平方波函数模的平方 代表时刻代表时刻 t ，在在 r 处粒子出现的几率密度。即：处粒子出现的几率密度。即：t 时刻出现时刻出现 在空间（在空间（x,y,z）点的单位体积内的几率。这点的单位体积内的几率。这 也正是也正

13、是1926年年波恩对波函数的统计解释：波恩对波函数的统计解释：对对 应于自由粒子在空间的一个状态，就有一个应于自由粒子在空间的一个状态，就有一个 由伴随该状态的德布罗意波所确定的几率。由伴随该状态的德布罗意波所确定的几率。 *2|4、波函数的标准化条件、波函数的标准化条件12dV5、波函数归一化条件、波函数归一化条件:即：整个空间内粒子出现的几率总是即：整个空间内粒子出现的几率总是1。凡是满。凡是满 足该条件的波函数都称为归一化函数。足该条件的波函数都称为归一化函数。单值：单值：t时刻在（时刻在（x,y,z）处出现的几率唯一；处出现的几率唯一；有限：有限：t时刻在（时刻在（x,y,z）处出现的

14、几率有限处出现的几率有限1连续：连续：t时刻在（时刻在（x,y,z）处出现的几率连续，处出现的几率连续， 不能在任何点发生突变。不能在任何点发生突变。 在经典力学中，运动物体具有确定的轨道，任一时在经典力学中，运动物体具有确定的轨道，任一时刻物体的运动状态可用在该轨道上的确定位置和动量来刻物体的运动状态可用在该轨道上的确定位置和动量来描述；这意味着物体同时具有确定的位置和动量，所谓描述；这意味着物体同时具有确定的位置和动量，所谓“确定确定”指我们可用实验手段精确测量。对微观粒子是指我们可用实验手段精确测量。对微观粒子是否可用上述量测量？由于微观粒子具有波粒二象性，且否可用上述量测量？由于微观粒

15、子具有波粒二象性，且德布罗意波是一种几率波，不能用实验方法同时确定其德布罗意波是一种几率波，不能用实验方法同时确定其位置、动量，粒子存在着位置和动量的不确定性，但不位置、动量，粒子存在着位置和动量的不确定性，但不确定性遵从一定的关系确定性遵从一定的关系 测不准关系。测不准关系。 不确定关系的物理表述及物理意义不确定关系的物理表述及物理意义 1927年海森堡提出了不确定关系，它是自然界的客观规年海森堡提出了不确定关系，它是自然界的客观规律不是测量技术和主观能力的问题。是量子理论中的一个重律不是测量技术和主观能力的问题。是量子理论中的一个重要概念。要概念。 x表示表示粒子在粒子在x方向上的位置的不

16、确定范围，方向上的位置的不确定范围， px 表示在表示在x方向上动量的不确定范围，其乘方向上动量的不确定范围，其乘积不得小于一个常数。积不得小于一个常数。xPx若一个粒子的能量状态是完全确定的，即若一个粒子的能量状态是完全确定的，即 E=0 ，则粒子停留在该态的时间为无限长，则粒子停留在该态的时间为无限长， t= 。Et例如：小球质量例如：小球质量m=10-3千克，速度千克，速度V=10-1米米/秒秒, x=10-6米，则：米，则：smkgxpx/1063. 628smVx/1063. 626因为普朗克常数在宏观尺度上很小，因此物理量的不确定因为普朗克常数在宏观尺度上很小，因此物理量的不确定性

17、远在实验的测量精度之内。性远在实验的测量精度之内。例如：电子质量例如：电子质量me=9.1 10-31千克，在原子中电子的千克，在原子中电子的 x 10-10米，米，smxmVex/105 . 77结果表明：结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身的大小可原子中电子速度的不确定量与速度本身的大小可比，甚至还大。微观粒子的波粒两象性可用不确定关系具体比，甚至还大。微观粒子的波粒两象性可用不确定关系具体说明。说明。apxsinpyXp电子单缝衍射实验说明了电子单缝衍射实验说明了电子的波粒两象性，电子的波粒两象性，并验证了不确定关系。并验证了不确定关系。aasin根据单缝衍射公式半角宽：根据单缝

18、衍射公式半角宽：电子通过单缝后，动量在电子通过单缝后，动量在y方向上的改变至少：方向上的改变至少：sinsinpppyappyay 电子通过单缝位置的不确定范围：电子通过单缝位置的不确定范围：上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的量值关系。量子力学严格证明给出：量值关系。量子力学严格证明给出：ypy代入德布罗意关系：代入德布罗意关系： 得出：得出：hpyyph/ 若用经典力学量来描述微观粒子，只能在一定近似程度若用经典力学量来描述微观粒子，只能在一定近似程度内做到，即不能同时对位置和动量进行精确测量，这也正是内做到，即不能同时对位置和动量进行精确测量，这也正是微观粒子具有波粒二象性的必然反映！微观粒子具有波粒二象性的必然反映！例例2、一维运动的粒子，设其动量的不确定一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量。量等于它的动量。试求：该粒子的位置不确定量与它的试求：该粒子的位置不确定量与它的德布罗意波长的