全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案[001]

1、个人资料整理，仅供个人学习使用1 / 152004 年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上)(1)若limSinx (cosx _ b) = 5，贝 U a =1，b =4XTOex_ a- -【分析】本题属于已知极限求参数的反问题【详解】因为lim空艺(cosx_b) =5，且lim sinx (cosx_b) =0，所以x；oex-ax；olim (ex- a) =0，得 a = 1.极限化为Xr0sin xxlim-(cosx-b) = lim (cosx-b) = 1-b = 5，得二 4.x；oe

2、x_ ax；ox因此，a = 1, b 二(2)设函数 f (u , v)由关系式 f xg(y) , y = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且盘丫) 0,矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。则丄=学.:uvg2(v)【分析】令 u = xg(y) , v = y，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可【详解】令 u = xg(y) , v = y，则 f (u , v) = g(v),g(v)2111=21xexdxi(-1)dx =0 (-)-2222(4)二次型f(x1,x2,x3(x1x2)2(X2- X3)2(x3x1)2的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵

3、的秩，亦即标准型中平方项的项数，于是利用初等变换或配方法均可得到答案2 2 2【详解一】因为f(X1,X2,X3)=(为X2)&2-怡)(X3为)所以,f：u g(v):-u：-_g(v)2g (v)(3)设f(x)=xex2_ 12X，2，则2f(x1)dx=-12-【分析】 本题属于求分段函数的定积分， 先换元:的积分性质即可I =t,再利用对称区间上奇偶函数【详解】令x1=1,21f (x _1)dx =21 1_1 f (t)dt = J_1 f (x)dt2 2个人资料整理，仅供个人学习使用2 / 15【详解二】因为f(XX2,X3)=(为X2)2(x2- X3)2(X3xj

4、22 2 2=2X12X22X32X1X22XJX3-2X2X311232=2(xiX2X3)(X2-X3)22 2= 2yi2卜2,211)于是二次型的矩阵为A-12-151-12j卩-12a卩-12 由初等变换得AT03-3T03-3e3-31。0 0 /从而r(A)=2,即二次型的秩为2.2x322X1X22X1X32X2X32 2=2x12X2个人资料整理，仅供个人学习使用3 / 152其中yxiX21X3，yxX3.2 2所以二次型的秩为2.1(5)设随机变量X服从参数为入的指数分布，则PX DX.e【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案【详由于DX2,X的分布函数为F(

5、x)1 -e0,X 0,x乞0.PX DX =1_PXDX = P1=F(1-.e设总体X服从正态分布N(山，o2),总体Y服从正态分布N(血，o2),X1,X2，Xt和Y,丫2,Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则n2、(Xi-X)八(Yj_Y)2(Tn12个人资料整理，仅供个人学习使用4 / 15【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案1n1_1n2_【详解】因为EZ (XiX)2= o2,E-工(YjY)2= o2,ni_ 1i 4n2_ 1j J故应填o2.二、选择题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把

6、所选项前的字母填在题后的括号内)聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。函数f(x)=以n(X_2)2在下列哪个区间内有界 .x(x1)(x-2)2m (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骤。【分析】如 f (x)在(a , b)内连续，且极限lim f (x)与lim f (x)存在，则函数 f (x) XTa* XTb 在(a , b)内有界.【详解】当 x 0.1.2 时，f (x)连续，而lim f (x)= -色3,lim f (x)二-目2,XT二 *18XT 0一4lim f (xs,lim f(x) -：-,lim f (x):

7、,XrO4x )1x )2(8) 设 f (x)在 一 ，呐有定义，且lim f(x)二a,XTOg(x)=巧“0，则.0 ,x=0(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点.(B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点(C) x = 0 必是 g(x)的连续点.(D) g(x)在点x =0 处的连续性与 a 的取值有关.可将极限lim g(x)转化为lim f (x).XTOXTO1 . 1【详解】因为lim g(x) = lim f () =lim f (u)= a(令u)，又 g(0) = 0 ,所以,x 0XrOxu：x当 a = 0 时，limg(x)二g(0)，即 g(x

8、)在点 x = 0 处连续，当 d 。时，XTOlim g(x) = g(0)，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性XrO与 a 的取值有关，故选(D).【分析】考查极限lim g(x)是否存在，如存在，是否等于XT01g(0)即可，通过换元u二丄,X所以，函数 f (X)在1 4.)内D个人资料整理，仅供个人学习使用5 / 15(9) 设-卜(】)1,则(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0,0)不是曲线 y = f (x)的拐点.个人资料整理，仅供个人学习使用6 / 15(B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0,0)

9、是曲线 y = f (x)的拐点.(C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0,0)是曲线 y = f (x)的拐点.(D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0,0)也不是曲线 y = f (x)的拐点.C 酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况【详解】设(j 0，而 f (0) = 0,所以 x = 0 是 f(x)彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔。的极小值点显然，x = 0 是 f (x)的不可导点当 X (Q 时，- 旳 门，f”(x

10、) = 2 0，謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍。当垃时，丨一 兀)，f (x) - -2：0，所以(0,0)是曲线 y = f (x)的拐点厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩。故选(C).(10)设有下列命题：(1)若V(u2nju2n)收敛，则vun收敛n=1若 7Un收敛，则 7Un.1000收敛.n =1n Tod则 7Un发散n =1QOOO若v(UnVn)收敛，则vUn，n =1n T则以上命题中正确的是(A) (1)(B).选块网羈泪镀齐。【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4 个命题的正确性oOoO【详解】(1)是错误的，如令un=(-1)n，显然，vun分散，而v(u2n|u2n)收敛.n

11、Wn=1(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性是正确的，因为由lim1可得到un不趋向于零nTM口门若lim1，nunoOVn都收敛n =1(C)(D) (1) (4). B茕桢广鳓鯡，所以vun发散n二1n=1个人资料整理，仅供个人学习使用7 / 15oOQO1-，显然，un， vn都发散，而nn Hn=1是错误的，如令un= vnn个人资料整理，仅供个人学习使用8 / 15O07 (unvn)收敛.故选(B).n -1(11)设f (x)在a , b上连续，且f (a) 0, f (b) :：: 0,则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点xo (a, b)，

12、使得f(xo) f (a).(B) 至少存在一点x0 (a,b)，使得f (xo) f (b).(C) 至少存在一点xo (a,b)，使得f (xo)=0.(D) 至少存在一点x (a, b)，使得彳(勺)=0.【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项 【详解】首先，由已知f (x)在a , b上连续，且f (a) . 0, f (b)：0，则由介值定理,至少存在一点x(a,b)， 使得f(X。)= 0；另外，f (a) = limf (x). 0，由极限的保号性，至少存在一点x0(a,b)xTa*x a使得f (x)0，即f (xo f (a). 同理，至少存在一点 勺(a,b)x0 _a使得f(x0) f(b).所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).(12)设n阶矩阵A与B等价，则必有(A)当|A|=a(a=0)时，|B|=a.(B)当|A|=a(a = 0)时，| B -a.(C)当|A产0时，|B| = 0.(D)当|A|=0时，|B|=0. D 【分析】 利用矩阵A与B等价的充要条件：r(A)二r(B)立即可得.【详解】因为当| A|=0时，r(A)：n,又A与B等价，故r(B)：n,即|B|=0,故选(D).(13)设n阶矩阵A的伴随矩阵A