2015年全国高考数学卷文科卷1及解析

1、2015 年全国高考数学卷文科卷 1一、选择题1. 已知集合A x|x 3n 2,nN, B 6,8,10,12,14，则集合Al B中的元素个数为()(A)5(B)4(Q 3(D) 2.亠曰uuur2. 已知点A(0,1), B(3,2)，向量AC ( 4, 3)，, uuu则向量BC()(A)( 7, 4)( B)(7,4)(C)(1,4)(D)(1,4)3. 已知复数z满足(z 1)i 1 i，则z()(A)2 i(B)2 i(C)2 i(D)2 i4. 如果3个正整数可作为一个直角三角 形三条边的边长，则称这 3 个数为一组 勾股数，从1,2,3,4,5中任取 3 个不同的数，则这 3

2、 个数构成一组勾股数的概率为()(A)3(B)1(C)110510(D)20205.已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心 率为1, E 的右焦点与抛物线C:y28x的2焦点重合，A,B是 C 的准线与 E 的两个交 点，则AB()(A)3(B)6(C)9(D)126.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺， 问：积及为米几何？ ”其意思为：“在 屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个 圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5尺，米堆的体积和堆 放的米各为多少？ ”已知 1 斛米的体积 约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3,

3、估算 出堆放的米有()(A) 14斛(B) 22斛(0 36斛(D)66斛7.已知an是公差为 1的等差数列，Sn为何的前n项和，若S84S4,则a10()(A)17(B)19(C)1022(D)128.函数f (x) cos( x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为()(A)(k1,k43沐Z(B)(2 k1,2 k43),k Z4(C)(k13,k :),k Z44jkZ(D)(2 k1,2 k49.执行右面的程序框图，如果输入的t 0.01，则输出的n()(A)5(D)123，贝 Sf(6 a)741411.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体

4、的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16 20，则r()(A)1(B)2( C)4(D)812.设函数y f (x)的图像与y2x a的图像关于直线y x对称，且f( 2) f( 4)1，则a()(A)1(B)1(C)2(D)4(B)(C)1010.已知函数f(x)2x12,x 1log2(x1),x 1f (a)(A)(D)(B)(C)二、填空题13数列an中ai 2,am 2an,Sn为an的前 n 项和，若Sn 126，贝y n _ ._14.已知函数f x ax3x 1的图像在点1,f 1的处的切线过点2,7，贝 Sa.x y 2 015. 若 x,y 满足约束条件

5、x 2y 1 0,2x y 2 0则z=3x+y 的最大值为216. 已知F是双曲线C : x1 2丿-1的右焦8点，P 是 C 左支上一点，A 0,6、6，当APF周长最小时，该三角形的面积三、解答题17.(本小题满分 12 分)已知a,b,c分别 是ABC内角A,B,C的对边，2sin B 2sin Asin C.(I)若a b，求cosB;(H)若B 90o,且a t=0.01,是，循环，考点：等差数列通项公式及前 n 项和公式执行第 2 次，S=S-m =0.25,mm=0.125,n=2,S=0.25 t=0.01,是，循环，执行第 3 次，S=S-m =0.125,mm=0.062

6、5,n=3,S=0.1252t=0.01,是，循环,执行第 4 次，S=S-m=0.0625,mm=0.03125,n=4,S=0.06252t=0.01,是，循环,执行第 5 次，S=S-m=0.03125,mm=0.015625,n=5,S=0.03125 t=0.01,是，2循环，执行第 6 次，S=S-m=0.015625,mm=0.0078125,n=6,S=0.015625 2t=0.01,是，循环，执行第 7 次，S=S-m=0.0078125,m -=0.00390625,n=7,S=0.0078125 2t=0.01,否，输出 n=7，故选 C.考点：程序框图10.A【解析】

7、试题分析：Tf(a) 3，二当a 1时，f(a) 2a 123，则2a 11,此等式显然不成立，当a 1时，Iog2(a 1)3，解得a 7,二f (6 a) f ( 1)=21 12-，故选 A.4考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11.B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为2r，其表面积为4 r2r 2r r22r 2r=5 r24r2=16 +220，解得 r=2，故选 B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12. C【解析】试题分析：设(x,y)是函数y f(x)的图像上任

8、意一点，它关 于直线y X对称为(y, x)，由已知知(y, x)在函数y 2xa的图像上，x 2ya，解得y log2(x) a，即f (x) log2(x) a，二f ( 2) f ( 4) log22 a log24 a 1,解得a 2，故选 C.考点：函数对称；对数的定义与运算13. 6【解析】试题分析：“2,an12an，二数列為是首项为 2,公比为2 的等比数列，考点：等比数列定义与前 n 项和公式14. 1【解析】试题分析：Tf (x) 3ax21，二f (1) 3a 1，即切线斜率k 3a 1, 又Tf(1) a 2，二切点为(1,a 2),T切线过(2,7 ),3a 1，解得

9、a1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导 数;15. 4【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0:3x y 0,平移直线I。，当直线l:z=3x+y 过点 A 时，z 取最2(1 2n)126,2n64，二 n=6.大值由:爲=0解得 A（1,1），北3刊的最大值为TA0,6.6 ,Fl(- 3,0 ),二直线AFi的方程为三1 ,考点：简单线性规划解法16.12、,6【解析】试题分析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线定义知,y 2. 6或y8. 6（舍），所以 P 点的纵坐标为2、6,11 _SAPFSAFF1SPFF1= 6 6、.6_6 2 6=126

10、.22考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问|PF| 2a円| ,/APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a IPF1|+|AF|=|PA|+円|+时|+题17.（1）丄（H）14【解析】试题分析：（1）先由正弦定理将sin2B 2sin AsinC化为变2a,由于2a |AF |是定值，要使KPF 的周长最小，则|PA|+|PF1|最小，即 P、A、F1共线，得关系，结合条件a b，用其中一边把另外两边表示出来， 再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值；（H）由（I）知b2= 2ac,根据勾股定理和即可求出 C,从而求出ABC的面4.y_263代入x22y81整

11、理得y26、,6y 96 0，解得试题解析：（I）由题设及正弦定理可得b2= 2ac.在RtDAEC 中，用 x 表示 EG 在RtDEBG 中，用 x 表示 EB,从而可得 AE=EC=ED=6.又a = b，可得b = 2c,a = 2c,2 2 2r a +c - b 1cos B =2ac 4(H)由 (1)知b2= 2ac.因为B=90，由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2= 2ac，得c = a = - 2.所以DABC 勺面积为 1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18.( I)见解析(H)3+2、5【解析】 试题分析：(I)由四边形 ABCD菱形知 AO BD 由

12、B曰 平面 ABCDB AO BE,由线面垂直判定定理知 AO 平面 BED由面面垂直的判定定理知平面AEC平面BED;(H)设 AB= ,通过解直角三角形将 AG GC GB GD 用 x 表示出来， 根据条件三棱锥E ACD的体积为丄6求出 X,即可求出三棱3锥E ACD的侧面积.试题解析：(I)因为四边形 ABCL 为菱形，所以 AO BD因为 B 曰平面 ABCD 所以 AO BE 故 AO 平面 BED.又 ACi 平面 AEC 所以平面 AEC 平面 BED(H)设 AB=x，在菱形 ABC 冲，由DABC=120，可得AG=GC= x,GB=GD=X.2 2因为 A 巳 EC,所

13、以在RtDAEC 中，可得 EG3x.2由 B 曰 平面 ABCD 知DEBG 为直角三角形，可得 BEx.2由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积VE-ACD二1醋1AC GD?BE32由余弦定理可得上x3=.故x=2243所以DEAC 勺面积为 3,DEAD 的面积与DECD 勺面积均为,5.故三棱锥 E-ACD 的侧面积为3+2、.5.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥 的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19. （I）y c d .X适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（H）$ 100.6 68. X（皿）46.24【解析】试题分析：（I）由散点图及

14、所给函数图像即可选出适合 作为拟合的函数；（H）令w 、x，先求出建立y关于w的 线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（皿）（i）利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年 利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；（ii）根据（H）的结果知，年利润 z 的预报值，列出关 于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取 最大值时的年宣传费用.试题解析：（1）由散点图可以判断，y C d X适合作为 年销售y关于年宣传费用X的回归方程类型.（H）令w x，先建立y关于w的线性回归方程，由于8 _ _(Wiw)( Yiy)$i 1108.8

15、“d-8-=68,8/_、216(wiw)i 1$ y dw =563-68X6.8=1006y关于w的线性回归方程为$ 100.6 68w,/.y关于x的回归方程为$ 100.6 68二.(皿)(i)由(H)知，当x=49 时，年销售量y的预报值$ 100.6 68 49=576.6 ,$ 576.6 0.2 4966.32.（ii）根据（H）的结果知，年利润 z 的预报值$ 0.2（100.6 68 x） x x 13.6 x 20.12,当.x=13.6=6.8，即x 46.24时，$取得最大值.2故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.12分考点：非线性拟合；线性回归方程

16、求法；利用回归方程进解得47k47.33所以k的取值范围是琪|虫,旦琪33行预报预测；应用意识20.(1)X，&(n)2琪33【解析】试题分析：(1)设出直线 I 的方程，利用圆心到直线的 距离小于半径列出关于 k 的不等式，即可求出 k 的取值范 此(H)设M(,y!),N(X2, y2)，将直线 I 方程代入圆的方 程化为关于 X 的一元二次方程，利用韦达定理将xyy?用 k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及OiM C)N 12列出关于 k 方程，解出 k,即可求出|MN|.试题解析：(1)由题设，可知直线 I 的方程为y = kx + 1. 因为 I与 C 交于两点，所以

17、 以仝1.0时，f &)存 在唯一零点.(H)见解析【解析】试题分析：(I)先求出导函数，分a0与a0考虑f x的 单调性及性质，即可判断出零点个数；(H)由(I)可 设f&)在(0,+Y)的唯一零点为xo，根据f x的正负，即可 判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其 最小值不小于2a+aln2，即证明了所证不等式.a试题解析：(I)f (x)的定义域为(0,+),f (x)=2 e2x-a(x 0).当a0时，f&)0,f (x)没有零点；当a0时，因为e2x单调递增，-旦单调递增，所以f(x)在x(0,+)单调递增.又f (a) 0,当 b 满足0 b

18、 a且b 1时，f (b) 0时，f &)存在唯一零点.(”)由(I)，可设f (x)在(0,+)的唯一零点为X。，当x?(0,冷)时，f (x)0.故f(x)在(0,x0)单调递减，在(心+)单调递增，所以当X = X时，f(X)取得最小值，最小值为f(X).由于2e2X0-a=0，所以f (x0)= +2ax0+a ln2? 2a aln2.x02x0aa故当a0时，f (x) ? 2a aln.a考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用 导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求 解能力.22.(1)见解析(H)60【解析】试题分析：(I)由圆的切线性质及圆周角

19、定理知，AE1BC ACLAB 由直角三角形中线性质知 DE=DC OE=OJB 利 用等量代换可证/ DEC#OEB=90 即/OED=90 所以 DE 是圆 O 的切线；(H)设 CE=1,由OA 3CE得，AB=23, 设 AE=x,由勾股定理得BE 12 x2,由直角三角形射影定 理可得AE2CEgBE，列出关于x的方程，解出x，即可求出 6CB 勺大小.试题解析： (1)连结 AE,由已知得，AEL BCAC丄AB, 在 Rt AEC中，由已知得 DE=DC /DEChDCE连结 OE /OBEhOEBVzACB+ABC=90 zDEC/OEB=9O zOED=9O /.DE 是圆 O 的切线.(H)设 CE=1 AE=x,由已知得 AB=2,3,BE 12 x2,由射影定理可得，AE2CEgBE,x212 x2，解得x=3，/ ZACB=60 .考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影 定理123.(1)cos 2,22 cos 4 sin 4 0(H)2【解析】 试题分析：(1)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可 求得Ci,C2的极坐标方程；(H)将将 二代入422 cos 4