Exp(数学建模初步)

1、主讲：刘琼荪主讲：刘琼荪数学建模初步数学建模初步数学实验什么是数学建模什么是数学建模数学建模的分类数学建模的分类数学建模方法数学建模方法数学建模实例数学建模实例Mathematical Modelling数学实验什么是数学模型实物模型：玩具、飞机、火箭模型实物模型：玩具、飞机、火箭模型 物理模型：水箱中的舰艇、风洞中的飞机物理模型：水箱中的舰艇、风洞中的飞机 符号模型：地图、电路图、分子结构图符号模型：地图、电路图、分子结构图 模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物。的替代物。模型模型集中

2、反映了原型中人们需要的那一部分集中反映了原型中人们需要的那一部分特征特征数学实验 甲乙两地相距750千米，船从甲向乙顺水航行需要30小时，逆水航行需要50小时。问船的速度是多少？例 一个简单的代数应用题 设 x, y 分别表示船速和水速，列出方程750)(50750)(30yxyx520yx什么是数学模型数学实验什么是数学模型 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律列出数学式子（二元一次方程）；用物理定律列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（

3、x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。数学建模步骤数学实验数学建模的过程数学建模的全过程：模型的建立、求解、分数学建模的全过程：模型的建立、求解、分析和检验。析和检验。实际问题数学模型数学结论实际结论/预测合理假设(简化)分析、求解解释验证图1.3 数学建模过程的示意图实践理论实践数学实验数学模型的分类数学模型有两种分类方法：1） 应用领域人口模型、交通模型、经济预测模型、金融模型、环境与生态模型、企业规划模型、城镇规划模型等。2）数学方法微分方程模型、离散数学模型、连续系统模型、运筹模型、图论模型、概率统计模型、优化控制模型等。

4、数学实验数学模型的分类数学模型的表现特征：表现特性描述、优化、预报、决策 建模目的确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续数学实验数学建模方法按大类来划分，大体上分三类：建立数学模型的方法1、机理分析法 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律 2、测试分析法 将对象看作“黑箱”,通过对测量 数据的统计分析，找出与数据拟 合最好的模型3、综合分析法 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数数学实验数学建模实例 一种新产品进入市场以后，产品的销售量一般会经过“先增后逐渐平稳略有下降”的一个过程，这称为产品的生命周期。怎样使用数学模型来描述新产品的销售量的变化过程呢？例1

5、新产品销售量的变化规律数学实验数学建模实例 当一个新产品进入市场时，其有关信息的传播有两个途径：一是经营者或厂家进行广泛的广告宣传，消费者亲眼看到广告或亲耳听到消息，这是来自消费者以外的信息；二是当一部分消费者购买了该产品之后，经过使用对该产品有了认识，向其周围的人们进行宣传，这称之为来自消费者内部的信息。正是这两方面的信息促使消费者去购买该商品。问题分析数学实验数学建模实例设N为潜在的消费者人数；x(t)为t时刻购买了该 产品的人数，并且认为变量x(t)随时间变化是连续的；模型假定 购买者增量x由两部分组成，一是由外部信息导致消费者增加，其增量记为x1；二是由内部信息导致消费者增加，记为x2

6、； 数学实验数学建模实例由外部信息导致消费者增量与未购买者人数成正比，即 模型假定111( )(xk Nx ttk为比例系数0）由内部信息导致购买者增量与已购买者人数和未购买者人数之积成正比，即 222( ) ( )(xk x tNx ttk为比例系数0）数学实验数学建模实例数学模型12xxx 12( )( )( )xk Nx ttk x tNx tt 12( )( )dxNx tkk x tdt12( )( )( )xk Nx tk x tNx tt数学实验数学建模实例 为分析产品销售量x(t) 随时间t的变化情况，对微分方程模型求解，得： 模型求解 该问题解含有未知参数k1, k2, N，

7、需要收集某产品从推向市场以来其销售情况的统计数据，根据数据分析，用最小二乘法将模型中的未知参数辨识出来。 1212()()211( )1kk N tkk N tex tNk Nek数学实验数学建模实例假定： 模型求解4120.02,0.035,10kkN数学实验数学建模实例 使用某产品一段时期的销售统计数据，将这些实测数据代入模型中，如果实测数据与理论数据(模型中对应值)之差的平方和(定义为误差平方和)很小，则称该模型通过了检验。 模型检验数学实验数学建模实例例2 汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背背景景与与问问题题 正常驾驶条件下正常驾驶条

8、件下, 车速每增车速每增10英里英里/小时，小时， 后面与前车的距离应增加一个车身的长度。后面与前车的距离应增加一个车身的长度。 实现这个规则的简便办法是实现这个规则的简便办法是 “2秒准则秒准则” ： 后车司机从前车经过某一标志开始默数后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断判断 “2秒准则秒准则” 与与 “车身车身”规则是否一规则是否一样；样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。数学实验数学建模实例刹车距离与车速有关！刹车距离与车速有关！问题分析10英里英里/小时小时( 16公里公里/小时

9、小时)车速下车速下2秒钟行驶秒钟行驶29英尺英尺( 9米米) 车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米)结论：结论：“2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则规则不同不同数学实验数学建模实例刹车距离：反应距离和制动距离刹车距离：反应距离和制动距离问题分析反应距离：反应时间、车速。（反应时间和车速又反应距离：反应时间、车速。（反应时间和车速又与司机状况和制动系统的灵活性相关）与司机状况和制动系统的灵活性相关）制动距离：制动距离：1）制动器作用力、车重、车速、道路、气）制动器作用力、车重、车速、道路、气候候 2）最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减）最大制

10、动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。速运动。数学实验数学建模实例模型假定1. 刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和21ddd2. 反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比，成正比，t1为反应时间为反应时间vtd113. 刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;F d2= m v2/222kvd数学实验数学建模实例数学模型21kvvtd 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合

11、 k数学实验数学建模实例数学模型车速车速(英里英里/小时小时) (英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3最小二乘法最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间数学实验数学建模实例模型求解

12、20.750.06dvv车速车速(英里英里/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3数学实验数学建模实例模型求解“2秒准则秒准则”应修正为应修正为 “t 秒准秒准则则”车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080t（秒）（秒）1234数学实验例2：古老的游戏数学建模实例 将15颗小石子分为三堆，其数量分别为3，5，7颗。两人依次从中取走小石子，规定每次只能从一堆中取，至少要取走1颗，多取不限，最后一人取完石子为胜，问先取者是否有必胜取法？ 如何进行数学描述？ 设三堆石子当前(第k步)的数目为： Sk = a

13、，b，c 状态变量(可以取0) 初始状态 S0 = 7，5，3模型分析模型分析数学实验 这是一个决策问题。记为所有可能状态的集合(192个元素），对先取者定义2k-1步决策。:212kkgf先取者后取者使得f2k-1(S)(g2k(S)有且仅有一个元素发生改变，并且改变者比原来至少小1。序列)()(2421231NNggggffff分别为先取者与后取者的策略。数学建模实例数学实验问题：如何求解这个问题？利用计算机搜索的方法是可以解决的！首先不能让后取者在第2N步取胜，即 S2N0, 0, 0， S2N-1m, 0, 0，0, n, 0， 说明S2N-1必须有两个大于零的数。0 , 0 , 0)

14、(0122212212SfggfgfNNNN 不仿设S2N-1=1, 1, 0。 (最小形式)算法分析一算法分析一数学建模实例数学实验用同样的思路考虑S2N-3的状态。 要使得 S2N-21, 1, 0，则必须是 S2N-3 = 2, 2, 0。 得到如下递推表：)(1231Nffff数学建模实例数学实验000110220330321440550541642752742653S=a, b, cS2N+1S2N-1S2N-3S1S3S0=7, 5, 3=a +b +c02468101214规则： 获胜状态在表内； 表中任意状态与它前面的每一状态至少有两个元素不同； 表中任意状态与它前一个状态恰有

15、两个元素不同，且分别大1个数字；结论：只要先取者抢到表中的任一状态，则必胜！数学实验 若将状态中的每一个数用二进制表示，然后将3个二进制数逐位作“异或”运算，即1100100011 由此可以将所有的状态分为两类：一类是每一位的异或和均为零，称为偶状态；另一类至少存在一位异或和为1，称为奇状态；算法分析二算法分析二数学建模实例数学实验例如 S0=7,5,310 S0=0111，0101，00112每一位异或和分别是，1，0，0，故为奇状态。若 S1=6,5,3100110，0101，00112每一位异或和分别是0，0，0，故为偶状态。归纳：1）一次决策中，偶状态只能变到奇状态；2）一次决策中，奇

16、状态可以变为偶状态；算法分析二算法分析二数学建模实例数学实验结论： 可以验证上述表中所有的状态为二进制的偶状态 先取者只要抢到偶状态，以后每一步都可抢到偶状态，直至先取者抢到最后的偶状态0,0,0获胜为止。算法分析二算法分析二数学建模实例数学实验1）对例2考虑程序的实现；2）推广到任意n堆石子的情况；思考与总结 对于数学建模需要有对现实对象的敏锐的洞察力，有对问题分析的高度的抽象力，有对数学工具的熟练的把握力，再加上不时拼发的创造力。只要坚持数学建模实践，就能提高数学建模水平。数学实验录像机计数器的用途问题：经试验，一盘标明问题：经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走分钟的录像带从头走到尾，时间用了到尾，时间用了184分，计数器读数从分，计数器读数从0000变到变到6061。在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的