中国石油大学高等数学8-1课件

1、第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学8.1 8.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续8.2 8.2 偏导数偏导数8.3 8.3 全微分全微分8.4 8.4 多元复合函数微分法多元复合函数微分法8.5 8.5 隐函数的微分法隐函数的微分法8.6 8.6 多元函数微分法在几何上的应用多元函数微分法在几何上的应用8.7 8.7 方向导数和梯度方向导数和梯度8.8 8.8 多元函数的极值多元函数的极值是某一是某一平面上的一个点，平面上的一个点，是是设设 xoyyxP 000, |,00PPPPU 220,oyyxxyx1. 邻域邻域定义：定义：的全体，的全体，的点的点距离小于距离小于正数

2、，与点正数，与点 yxPyxP,000 即：即：记为记为).,(0 PU邻域邻域. .xyO 000, yxP 的的称为点称为点0P| 0),(00 PPPPUo)()( 0),( 220 oyyxxyx空空(去去)心邻域心邻域R,),(R2 yxyx二维空间二维空间.)(.的的内内点点为为，则则称称的的某某一一邻邻域域点点如如果果存存在在是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPEPE EP .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE如：如：为开集为开集的的（边边）界界点点为为则则称称），也也可可以以可可以以（点点也也有有点

3、点，内内既既有有点点若若EPEEPEEPU ),(,0 P E E记记为为E E的的边边界界, ,称称为为E E的的边边界界点点的的全全体体, , 内点：内点：开集：开集：边界点：边界点：边界：边界：. 4122221 yxyxE及及为为如：如：2. 区域区域.起起来来的的折折线线连连结结两两点点，都都可可用用属属于于内内任任何何连连通通是是指指对对于于开开集集EEE 区域（或开区域）：区域（或开区域）：连通的开集连通的开集.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起 称称为为闭闭区区域域. .41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开区域

4、开区域闭区域：闭区域： 闭区域闭区域 0| ),( yxyx是有界闭区域；是有界闭区域；是无界开区域是无界开区域xyo例如，例如，41| ),(22 yxyx有界点集：有界点集：无界点集：无界点集：非有界点集非有界点集.为为有有界界点点集集则则称称，若若ElOUEl),(,0 Eoxyl 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P为为 E 的的聚聚点点. (a) 内点一定是聚点；内点一定是聚点；10| ),(22 yxyx例例(b) 点集点集

5、E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E.00,1| ),(,1| ),()0 , 0(2222的的聚聚点点仍仍是是），点点（于于该该集集合合上上的的点点都都是是聚聚点点且且都都属属边边界界EEyxyxyxyxE 3. 聚点聚点类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定义：定义：)(),(,),(PfzyxfzyxzzDyxPDD 或或的的二二元元函函数数，记记为为是是变变量量的的值值和和它它对对应应，则则称称一一确确定定按按照照一一定定的的法法则则总总有有唯唯变变量量个个点点内内每每一一如如果果对对于于是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设的值域

6、为：的值域为：的定义域，的定义域，称为函数称为函数ffD.( )( ),f Dz zf P PDR求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 例例1 1 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面. yxyxD ),( yxyxD ),( yxyxD ),(xyzsin 22yxz 22yxz xyozxyoz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任

7、意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxPP 的的D中一切点，都有中一切点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称A为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限， 记为记为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf这里这里|0PP ） 定义定义1：二重极限二重极限定义定义2：时时的的极极限限。当当元元函函数数为为则则称称成成立立都都有有的的一一切切点点式式使使得得对对于于适适合合不不等等总总存存在在正正数数意意给给定定的的正正数数如如

8、果果对对于于任任是是其其聚聚点点为为点点集集的的定定义义域域元元函函数数设设0000201021)(,)(,0,),(PPPfnAAPfDPPPxxxPDxxxfPfnnn .),(lim210022011Axxxfnxxxxxxnn 或或者者：;)(lim0APfPP 记记为为：注：注：（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似；）二元函数的极限运算法则与一元函数类似；; ;的的极极限限可可看看成成点点函函数数也也因因此此，极极限限, ,上上的的点点可可看看成成是是平平面面, ,( (1 1) )由由于于)(lim)()(lim)()(R00000200PfPfx,yf,yxPx,yPy

9、,yxxPPyyxx. .的的累累次次极极限限后后先先的的极极限限不不同同，后后者者称称为为) )( (与与形形如如) )( ( (4 4) )二二重重极极限限yxx,yfx,yfxxyyyyxx0000limlimlim0Px0 x （2）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP 例例2 2 .1sin)(lim222200yxyxyx 求求极极限限解解 , 0)(lim2200 yxyx, 11sin22 yx. 01sin)(lim222200 yxyxyx.11lim222200 yxyxyx求极限求极限例例3 3 解解 ,22yx 令令. 2)11(lim20 1)1(

10、)11(lim2220 11lim220 11lim222200 yxyxyx例例4 4 .)sin(lim22200yxyxyx 求极限求极限解解 22200)sin(limyxyxyx ,lim22200yxyxyx 其中其中222yxyx x21 .0)sin(lim22200 yxyxyx确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：,),(lim00Ayxfyyxx 若若沿沿则则动动点点),(yxP任意任意一条曲线一条曲线时时，函函数数点点（或或点点列列）无无限限趋趋近近于于),(000yxP),(yxf.A是是的的极极限限都都存存在在且且极极限限都都.),(lim00不存在不存在则则

11、yxfyyxx定理定理)(),(或或点点列列沿沿某某一一条条曲曲线线若若动动点点yxP无限趋近无限趋近函数函数时时于点于点,),(000yxP),(yxf的的极极限限不不存存在在；)(),(或或点点列列沿沿某某两两条条不不同同的的曲曲线线若若动动点点yxP无限趋近无限趋近函数函数时时于点于点,),(000yxP),(yxf.同的“极限”同的“极限”或者或者有不有不例例5 5 的存在性.的存在性.讨论极限讨论极限22)0,0(),(limyxxyyx 解解 21kk 此此极极限限不不存存在在. . 2220000)1(lim)(limxkkxx,yfkxyxyx 时时，趋趋于于沿沿直直线线路路径

12、径) )( (当当)0 ,0(kxyx,y 例例6 6 的的存存在在性性. .讨讨论论极极限限yxxyyx )0,0(),(lim解解 时时，趋趋于于沿沿直直线线路路径径) )( (当当)0 ,0(kxyx,y 0)1(lim)(lim20000 xkkxx,yfkxyxyx时时，趋趋于于沿沿曲曲线线) )( (但但是是当当)0 ,0(2xxyx,y , ,1)(232 xxxx,yf此此极极限限不不存存在在。定义定义1：.)()(内内连连续续在在内内每每一一点点都都连连续续，则则称称在在开开区区域域如如果果DPfDPf.)()()(000的的间间断断点点是是函函数数处处不不连连续续，则则称称

13、在在点点的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果是是函函数数设设PfPPPfPfP定义定义2：定义定义3：例例7 7 .) 0 , 0() 0 , 0(),(, 0) 0 , 0(),(,),(2233处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 yxyxyxyxyxf例例8 8 .) 0 , 0(0, 00,),(222222处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 yxyxyxxyyxf闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限由多元多项式及基本初等函数经过有限次的

14、四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数的多元函数叫多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 在有界闭区域在有界闭区域 上的多元连上的多元连续函数，在续函数，在 上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次DD 在有界闭区域在有界闭区域 上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在 上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在 上取得介于上取得介于这两值之间的任何值至少一次这两值之间的任何值至少一次DDD例例7 7 ) 0 , 0(),(, 0) 0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf讨讨论论函函数数解解 2233yxyx 222222)2(yxyxyxyx 2222)(yxyxyxyx 2222)(yxyxyxyx |,|23yx ),0