(四)电解质习题课

1、1 1.掌握导体静电平衡条件掌握导体静电平衡条件,并能用来确定典型导体的并能用来确定典型导体的电荷分布电荷分布. 2 .掌握导体电容的物理意义掌握导体电容的物理意义,掌握电容器电容的定义掌握电容器电容的定义和计算方法和计算方法. 3 .了解电介质的静电性质了解电介质的静电性质,能熟练运用有介质时的高能熟练运用有介质时的高斯定理计算充满均匀介质或电介质表面是等势面的电斯定理计算充满均匀介质或电介质表面是等势面的电场的场强场的场强. 4 . 理解静电场储能的概念理解静电场储能的概念,掌握电容器储能和由电场掌握电容器储能和由电场能量密度计算某些对称分布电场的能量能量密度计算某些对称分布电场的能量.(

2、 (一一) ) 教学要求教学要求2 1 . 导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件(1) 用电场强度描述用电场强度描述(2) 用电势描述用电势描述:整个导体是等势体整个导体是等势体,表面是等势面表面是等势面.0 内内E导体内部任一点的电场强度为零导体内部任一点的电场强度为零导体表面上任一点的电场强度垂直于该点的表面导体表面上任一点的电场强度垂直于该点的表面.表面表面表表 E(3) 用电荷分布描述用电荷分布描述:导体内部没有电荷导体内部没有电荷,电荷只分布在导电荷只分布在导体表面体表面.且且E0 3 niiSqSD10drEE 0 2 . 有介质存在时的电场有介质存在时的电场EEE 0 当电场充满

3、均匀介质或电介质表面是等势面时当电场充满均匀介质或电介质表面是等势面时,介介质中任一点的电场强度质中任一点的电场强度 3 . 有介质时的高斯定理有介质时的高斯定理其中其中 niiq10为高斯面内所有自由电荷的代数和为高斯面内所有自由电荷的代数和44 .电容电容孤立导体的电容孤立导体的电容: :电容器的电容电容器的电容: :平行板电容器的电容平行板电容器的电容: :UqC ABUqC dSCr 0 球形电容器的电容球形电容器的电容: :)(40ABABBArRRRRRRC 同轴圆柱形电容器的电容同轴圆柱形电容器的电容: :)()/ln(20ABABrRRRRLC Uq L5 5 . 电场的能量电

4、场的能量(1)电场的能量密度电场的能量密度:(2) 任意电场的能量任意电场的能量:(3)电容器的能量电容器的能量:2221221DEDEwe 场场空空间间VwWeedQUCQCUWe2122122 6 1 .一个孤立导体球壳一个孤立导体球壳B带电量为带电量为Q,当另一个带电体当另一个带电体A移移近球壳近球壳B时时: (1)球壳表面附近的场强沿什么方向球壳表面附近的场强沿什么方向? (2)公式公式E= / 0是否还适用是否还适用?A对电场的影响如何体现对电场的影响如何体现? (3) 球壳球壳B上电荷分布将发生什么变化上电荷分布将发生什么变化?球壳表面还是球壳表面还是不是等势面不是等势面? (4)

5、带电体带电体A是否在球壳内产生电场是否在球壳内产生电场?壳内场强是否还壳内场强是否还是零是零? (5) 如果在球壳内放一个点电荷如果在球壳内放一个点电荷,它是否受到壳外带电它是否受到壳外带电体体A的静电力作用的静电力作用?静电屏蔽如何体现静电屏蔽如何体现?跳过第2题7R3R1R2ABQq2. 半径为半径为R1的导体球的导体球 A,带电量为带电量为q,其外同心地套一个导其外同心地套一个导体体球壳球壳 B,其内外半径分别为其内外半径分别为R2 、 R3,带电量为带电量为Q,试问试问: (1) 若将球壳若将球壳B接地接地, A、B 上的电荷如何分布上的电荷如何分布 ? (3) 若在距球心若在距球心O

6、为为r 处处(r R3)放一电荷放一电荷q,则则A、B 两两导体的电势是否改变导体的电势是否改变? A、B 的电势差是否改变的电势差是否改变? (2) 若将球若将球 A接地接地, A、B 上的电荷如何分布上的电荷如何分布 ? (4)若将球壳若将球壳B接地接地,再在距球心再在距球心O O为为r 处处(r R3)放一电放一电荷荷q, 则则A、B 两导体的电势是否改变两导体的电势是否改变? A、B 的电势差是的电势差是否改变否改变?为什么为什么?rq83. 中性的金属球中性的金属球A半径为半径为R 它离地球很远它离地球很远,在与球心相距在与球心相距为为b的点的点 p处处,有一个正电荷有一个正电荷q,

7、求求:(1) 球内各点电势的表达式球内各点电势的表达式 .(3) 金属球上的感应电荷在球心产生的金属球上的感应电荷在球心产生的场强表达式场强表达式. (2) 若将球若将球A接地接地,其上的净电荷其上的净电荷.bPRO OAq (4) 球球A上的感应电荷在球内任一点所产生的场强上的感应电荷在球内任一点所产生的场强.bqUU004 04400 RqbqU (2)若将球若将球A接地接地,其上的净电荷其上的净电荷q .bRqq 解解(1)9(3) 感应电荷在球心产生的感应电荷在球心产生的场强与场强与q的场强等值反号的场强等值反号.ibqE2004 (4) 感应电荷在球内任一点所产生的场强感应电荷在球内

8、任一点所产生的场强与与q的场强等的场强等值反号值反号,其大小为：其大小为：)cos2(4220 rbbrqE 场强的方向如图场强的方向如图.bPROAqE0rEr 104. 两块平行的大金属板两块平行的大金属板A和和B , 面积均为面积均为S,相距为相距为d ,今今将电荷将电荷Q 给予给予A板板,忽略边缘效应忽略边缘效应.试讨论试讨论:(1)金属板金属板A两侧两侧,靠近金属板处的场强的表达式靠近金属板处的场强的表达式.ABdQ1 4 2 3 讨论讨论:设设A板两侧电荷面密度之和为板两侧电荷面密度之和为 , 显然显然 = Q / SSQ02 SQ02 SQ02 S1S2SQEE02 外外右右外外

9、左左金属板金属板A内场强为零内场强为零,因此因此 :忽略边缘效应忽略边缘效应,可应用高斯定理可应用高斯定理20QSEQA 外外左左左左 2QQQQAA 左左右右,2QQQAB 右右左左场强分布如图场强分布如图 右右BQ.20SQE 内内2QQB 左左?111 4 2 3 SQddEUAB02 内内B板的接地板的接地UB=0, 0 右右右右左左，BABQQQ (2)AB两板的两板的电势差电势差: (3)将将B板的外侧接地板的外侧接地, AB两板的两板的电势差电势差: (4)将将B板的内侧接地板的内侧接地,再讨论再讨论两板的两板的电势差电势差:S1S2A板的外侧如果有电荷板的外侧如果有电荷,则则E

10、B内内=0,不可能不可能,可见可见A板的电板的电荷只能在内侧荷只能在内侧.即即,QQQBA 左左右右与与B板的外侧接地相同板的外侧接地相同, UB=0.E右右=0,作高斯面作高斯面S1、S2:SQdUAB0 12D 5. 位于球心的电荷位于球心的电荷Q0, 其外同心地套两个其外同心地套两个球壳球壳,外球外球壳为壳为导体导体,内球壳为介质内球壳为介质, r=2,半径分别如图半径分别如图,试绘出试绘出:R3R1R2QR4 r (1) 电位移线电位移线 和电场线的草图和电场线的草图, (2) D-r 曲曲线线 、 E-r 曲曲线线和和U-r 曲曲线。线。 (1) 电位移线电位移线 电场线电场线,UE

11、R3R1R2R4Or13, dU , C6. 平行板电容器被电源充电后平行板电容器被电源充电后,在不断开电源的情况下在不断开电源的情况下 (1) 将电容器的极板间距拉大将电容器的极板间距拉大, (2) 将均匀介质充入两极板之间将均匀介质充入两极板之间. (3) 将一导体平板平行地插入两极板之间将一导体平板平行地插入两极板之间. 试定性地讨论两板上的电荷、极板之间电压、试定性地讨论两板上的电荷、极板之间电压、场强和储存能量的变化场强和储存能量的变化.若被电源充电后若被电源充电后, 断开电源的情况下又如何？断开电源的情况下又如何？, CU , dU , CUQ, dUE QUW21, CUQ,0E

12、dUE QUW21, CUQ, dUE QUW21, C,0 dQQ, EdU,0EE QUW21,0QQ , EdU, E QUW21, C, UQC,0 dQQ, EdU,0EE QUW21, UQC14 1 .已知已知:两个大金属板两个大金属板A、B平行，平行，相距相距8.0cm,分别保持分别保持+6V和和-6V的电的电势势,断电后插入断电后插入C板板,距距A 2.0cm,问：问：V/m15008.012 dUEEABCBACCAB (1)插入插入C板前后板前后, AC间间、BC间间场强如何变化场强如何变化?改变多少改变多少? (2)C板获荷种电荷板获荷种电荷?如何分布如何分布? (3)

13、画出各板画出各板场强场强电势在板间分布电势在板间分布的曲线的曲线. (4)插入插入C板前后板前后, A、B板的电量如何变化板的电量如何变化?改变多少改变多少? 解解:插入插入C板前板前插入插入C 板后板后见下页表见下页表.15mV15008. 012 mV30002. 06 mV150mV150mV10006. 06 mV50 插入插入 C 板前板前插入插入 C 板后板后E ACECBE(2) C 板获负电荷板获负电荷, ,左侧带负电，右侧带正电，负电量左侧带负电，右侧带正电，负电量值大于正电荷值大于正电荷, ,分布如图所示分布如图所示 。AB+CAB+ 16U(V)62 4 6 8 0- 6

14、 -r (cm) 200-100-0 2 4 6 8 r (cm)300 -E(V/m)(3) 电势和场强曲线如图电势和场强曲线如图. .(2) AB板电荷变化见下表所示板电荷变化见下表所示( (U0= =12V) )。C0 U0 正电荷正电荷增加增加负电荷负电荷减少减少插入插入C 板前板前插入插入C 板后板后 qqAqB- - C0 U0 (4 C0 )(U0 /2)=2C0 U0 -(4/3 C0 )(U0 /2)= -2/3 C0 U0 C0 U0 C0 U0 / 3 17ba 2. 同轴电缆同轴电缆,内导线内导线半径为半径为a,外圆筒内半径为外圆筒内半径为b紧贴圆紧贴圆筒内壁充入同轴圆

15、筒形电介质筒内壁充入同轴圆筒形电介质,内半径为内半径为R,相对电容率相对电容率为为 r求求:lrlD 2R (1) 若若导线和导线和圆筒带电圆筒带电,线密度为线密度为 ,求场强分布求场强分布. (2) 单位长度的电容单位长度的电容. (3) 分别用电容器储能和电场能量计算单分别用电容器储能和电场能量计算单位长度的电场能量位长度的电场能量. 解解: 由高斯定理得由高斯定理得:rlrD 2 )(201RrarE )(202brRrEr 18 (2) 求单位长度的电容求单位长度的电容: bRrRarrrrU 002d2d uC RbaRrln2ln200 )lnln(20RbaRrr )/ln()/

16、ln(20RbaRrr 19 (3)单位长电场能量单位长电场能量:用电容器储能计算用电容器储能计算 QUWe21 RbbRrrlnln4 02 VeVEWd 212 bRRarrrrrrd 2 2 21d2221 2200 用电场能量计算用电场能量计算 RbaRrrlnln402 RbbRrln2ln22100 求电容方法求电容方法!20r3.一平板电容器，极板间无电介质时联在电压为一平板电容器，极板间无电介质时联在电压为U的电源上的电源上.问：问：(1)电容器储存的能量电容器储存的能量.(2)充电后，断充电后，断开电源开电源,再插入相对电容率为再插入相对电容率为 r ,厚度为厚度为d的电介质

17、板，的电介质板，则电容器储存的能量又是多少？则电容器储存的能量又是多少？(3)插入过程中外力插入过程中外力所做的功是多少？所做的功是多少？USd解：解： (1).dUE 0 VEWed21200 (2)dUEErr 0极板上的电荷极板上的电荷q不变不变 SddUdVEWrre2022121 dSUr 220 VEDWd21SddU2021 dSU220 21(3)插入过程中插入过程中,电介质板极化电介质板极化,束缚电荷与极板上的自由束缚电荷与极板上的自由电荷相互吸引电荷相互吸引.则：外力做功为则：外力做功为eeWWA rUSd)1(220rrdSU 0 静电力做正功静电力做正功,电场能减少电场

18、能减少.(4)补充问题补充问题22 2l2 1l1 4 .已知已知:平行板电容器平行板电容器,充两层充两层均匀介质均匀介质,厚度分别为厚度分别为l1 ,和和l2设介质漏电设介质漏电,电阻率分别为电阻率分别为 1和和 2 ,电容率分别为电容率分别为 1和和 2 ,两极接上电源两极接上电源,稳定后两板间电势差为稳定后两板间电势差为U,求介质分界面上求介质分界面上自由电荷面密度自由电荷面密度. 解解: :由分压原理可得两层由分压原理可得两层介质上的电势差分别为：介质上的电势差分别为：ULLLU2211111 ULLLU2211222 ;221111ULLE ULLE221122 23;ED111 两

19、层介质中的电位移分别为：两层介质中的电位移分别为：作如图所示高斯面，由介质中的高斯定理：作如图所示高斯面，由介质中的高斯定理：SSDSD 12 12DD 222ED ;221111ULLE ULLE221122 已知两层介质中的场强分别为：已知两层介质中的场强分别为：ULL22111122 2l2 1l124解解: 金属球是否无电荷金属球是否无电荷? 3330332012343441RRqRrqrEr 7781 203020 rqRrqrq7. 金属球金属球A半径为半径为R,外面包围一层外面包围一层 r=2的均匀电介质壳的均匀电介质壳,壳内外半径分别为壳内外半径分别为R 和和2R , 介质内均匀分布介质内均匀分布电量为电量为q0的的自由电荷自由电荷,金属球金属球接地接地,求介质壳外表面的电势求介质壳外表面的电势.R2R 设金属球表面感应电荷量为设金属球表面感应电荷量为q ,由高由高斯定理斯定理,得介质壳内场强分布为得介质壳内场强分布为RrR2 2520024rqqE 0dd 2221 RRRrErE02116qq RRrrqqrEU22002d4d 所以介质壳外表面的电势为所以介质壳外表面的电势为介质壳外的场强分布为介质壳外的场强分布为金属球接地，其电势为零金属球接地，其电势为零 RRrrqRrqrq2203020d7781得金属球的电量为：得金属球的电量为：0d422