安徽省合肥庐阳高级中学2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

1、合肥庐阳高级中学2017-2018学年高二（上）期末考试理科数学、选择题1.设命题目：对常忆 E R lnx，则围为（）【解析】命题甘：对叹二冋为：E R +占0lnx0故选：C2.幻=” 是 “ 云加=q”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为co5 2t?= 0 cos-sin tx = Oo sin tz =| costz|,所以 “卜1皿=3胡”是“d=q”的充分不必要条件；故选B.考点：1.二倍角公式；2.充分条件和必要条件的判定.视频蠻3.已知直线2*十my1=0与直线如-2y+ n = 0垂直,垂足为（2

2、, p）,则p-m- n的值为（）A.-6 B. 6 C. 4 D. 10【答案】C【解析】丁直线2x+my- 1=0与直线3x- 2y+n=0垂直， 2X 3+（-2）m=0,解得m=3,由垂足在两直线上可得:算:囂 解得p=-1且n=-8,二p-m- n=4,故选：C.B.D.-2 -o）的离心率为双曲线宁芥 1（幻s o）与椭圆有相同町b；的焦点BE，1_是两曲线的一个公共点， 若匚 帆=60 乜，则双典线的渐近线方程为（【答案】A【解析】试题分析：由题意得，设焦距为，椭圆长轴长为 ，双曲线实轴为 ，令在双=2时，由椭圆的定义可知|冋1|1門=2时，又因为$F工=60所以MFJ2+ |M

3、FJ2- 2IMFJI1VIFJCOS600=4c2，解得 |临】=叫 + MF=可一吋，考点：双曲线的几何性质【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简 单的几何性质、双曲线的标准方程及其简单的几何性质，以及圆锥曲线的定义等知识点的综 合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中熟记圆锥曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质是解答的关键【答案】A【解析】试题分析：由椭圆即 - ，则 ，故选A.考点：椭圆的性质；双曲线的性质A.B.2C.y =|佢D.y = 寸3x=4.已知椭圆+町bL曲线的右支上，由双曲线的定义代入上式得2

4、（*-玄釦 厨-歸）=4，即f十城=4，由，即有A.2 =占，则渐近线方程为|，故选A.2乩即为5.已知椭圆B.-1有公共焦点，则）和双曲线-3 -6.已知直线tax + byp-6 = 0（a 0,b 0）被圆x2-I- y2-2x-4y =（截得的弦长为瓦同，则岡的最大值为()A. B. 9 C.【答案】A【解析】试题分析：圆x2I- v3-2x-4y = 0的圆坐标为Qd）,半径= & 直线 赵十by-5 = a O.b a 0）被圆十屮一 2%_4 丫 =截得的弦长为直諺|，所以直线通过圆心，即“2b-6 = 0|,所以b + 2b =(S，又因为直0上0，所以ab = -(2

5、b) (-E- 1=- - 222考点：1.直线与圆的位置关系；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最 值是高考常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下几个命题角度：1.知和求积的最值；2.知积求和的最值；3.构造不等式求最值.本题是知和求积的最值问题.7.已知乔可为双曲线比20的左右焦点，过 冋的直线与圆k I=相切于点冋,iT b丄【解析】由题意得MF=|OMp =怪G =加在Ak!F2O中由余弦定理得点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利 用韦

6、达定理或求根公式进行转化，充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等根 据等量关系.8.若直线li：y=k（x-4）与直线闩关于点（2，1）对称，则直线甘恒过定点（），当且仅当2；,故选A.b:osMOF=- cosXiOF1=-2bc选C.时，阳有最大值且N1FJ =囚MF】，则直线的斜率是（）a 2-4 -A.(0,2)B.(0,4)C.(-2,4)D.(4,2)【答案】A【解析】直线卜厂妳-闿过定点甸，点 阿关于点區训的对称点为阿，所以直线百过定点 ，回，选A.L- JT9.已知亟是椭圆和双曲线的公共焦点，野是它们的一个公共点，且 红疋比=,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）

7、AB.打C. - 匚【答案】B【解析】设椭圆的长半轴长为同，双曲线的实半轴常为k 丨 丨喘闆总1容PF=舟-乜=4c2=(a)+a；2j -兀2)十(衍一-2(atI-a2)(a1-a2)cos-=10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（囲，0），直线匡M3与其相交于M N两点,中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A 3 4B. IEC.ED. 1E【答案】D点睛：在涉及圆锥曲线的中点弦时，往往利用“点差法“”进行求解，可减少运算量.MN【解析】由题意设该双曲线方程为l(a0,b0)，且,2+ b2= 7，固的-5 -11.定义在g上的函数回与其导函数冏满足丘）I比刘风1，则下列不等式一定

8、成立的是-6 -A.(0)十1 V f；Kq B. F(0)十1 AC. r(0)十亡V f(l) D.(0) + 2f【答案】A【解析】由f(x) -I f(x) e1可得尹f(x)十fX) r已:0。令戎x)=，V k (x) =T f(尤)卜亡。函数_在在u上为增函数，第 砂,即威f丽, f(0)十亡Vf；両。选A。点睛：解答本题的关键是构造函数牙仪)=f(&二|，主要考查导数运算法则的逆用。根据含导函数的不等式构造原函数时要注意从以下几种类型考虑：原函数是函数和差的组合；原函数是函数乘除的组合；原函数是函数与_的乘除的组合；原函数是函数与 的乘除的组合；原函数是函数与prnx(

9、uos痔 的乘除的组合；原函数是函数与回的乘除的组合。12.函数= x3-3x-a在晅上与目轴有一个交点，则的范围为【答案】D【解析】在坐标系中画出f(x)=x3-3x的图象，如图:函数y=x3-3x-a在(0,2)上与x轴有一个交点，就是A. 0a2B. |_2或一D. pa 0)上的点A(x0,2到其焦点的距离是 目到打轴距离的3倍，则【答案】2考点：抛物线的性质14.如果曲线取-厂4 = q与曲线F丨命卫=4(*0)恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为曲线刘-厂4=网与曲线:宀却左=4仏 5)都过点严而所以双曲线渐近线15.已知|ABQ的顶点B C在椭圆 匕匚

10、上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在西边上，则空更|的周长是 _【答案】匚|，则斜率不小于直线y=2x-4斜率，即【解析】试题分析：由题意PKo=- 4-8 -设直线AB过椭圆的右焦点F2,根据椭圆的定义可知：|AB|+|BF2|=2a=2匸,|AC|+|F2C|=2a=2匚.三角形的周长为：|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|=4a=j.故答案为：匚x = 7+ 洱:L&在直角坐标系X6/直线I的参数方程为!2t为参数），以坐标原点为极点尸X轴非负半轴为极轴建立极坐标系,圆匚的展坐标方程式0 = -4C0S6.则圆匚的圆丿塚1|直线啲距离为一 【答案】”I1+也I

11、【解析】直线I的参数方程为（t为参数），普通方程为x-口y+仁0,丨I I 2 2 2 2 2圆p=-4cos0即p=-4pcosB,即x +y+4x=0,即（x+2）+y =4,表示以（-2,0）为圆心，半径等于2的圆.17.已知椭圆l（ab0）的左右焦点分别为 回, 椭圆罔过点（Lyi,直线呵交旦轴 于囹，且叫=缎0,冋为坐标原点.圆C的圆心到直线故答案为：”三、解答题1I的距离为-9 -（1）求椭圆LI的方程；（2）设岡是椭圆件上的顶点，过点网分别作出直线匝阿交椭圆于 画两点，设这两条直线 的斜率分别为匡，且丘壬，证明：直线迢过定点.【答案】（1）卜严=|；（2）pTH【解析】试题分析：

12、（1）将点”闿代入椭圆方程得，由吧=2QO|得见丄吋工， 则b=】|,联立方程得解;（2）分为直线迢斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率不存在时， 直接代入得解；当斜率存在时，联立直线和椭圆的方程得-结合韦达定理，运用整体代换的思想化简得-,可得其恒过定点!- j- -出一】y0-1,设人（5$0），则y（J，由R、kj = 2得+ - - - & 总设岡的方程为丫二展+1）人復）；6（独丫2）,A.-j1-1=(1 I 2k2)x2+ kmx +2m2-2 =0y = kx + m-4km2m 2得匚云药ypi y-iij + k2=2=-+-即以1 =(也T)(& I-2)

13、 = (m- 1)(-4km),试题解析：（1）椭圆仃过点1 1. 一 + 二， 2b2，洱丄FtF，由得J=Nt?=i，则，椭圆的方程为（2）当直线的斜率不存在时当直线的斜率存在时,-10 -由tn / 1,(1 -k)(m + 1)=-kin =*k = m + 1,即y = kx十m = (m十 十m=m(x十1) = y冥. 故直线用司过定点(-1厂1).考点：(1)椭圆的方程；(2)直线与圆锥曲线的综合18.如图，设椭圆的中心为原点p,长轴在包轴上，上顶点为 呂左、右焦点分别为也可，线段匹呵的中点分别为匹理,且巴翌是面积为甘的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程;-11 -(2

14、)过LI作直线交椭圆于两点，使PE丄QB，求；PBgQ的面积.【解析】试题分x y=Kab0),F2(c，0)，利用ABE是的直角三角形，IAB1FAB2I，可得/B 1AB为直角，从而c2=a2-b2,可求得离心率，又1,cS =|OA| = - - b = b=4,故可求椭圆标准方程;22(2)由(I)知B,(-2,0) ,E2(2,0),由题意，直线PQ的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方程为利用QB2- PB2= 0可求m的值，进而可求PB 2Q的面积.试题解析:(1)设椭圆的方程为x v_:-I -二4冬=lAbA0),耳2)，.a3b2是面积为的直角三角形,亘更|为直角，从而IOA|

15、=|OB寸，得H，.E= a3-b2, /-a3= 5bc3= 4b2T_ _ _ c,在_中，丸丄 ,.S =- b = b? ,. S = 4,二=4,2 2【答案】(1)(2)，利用a=% =2O,A椭圆标准方程为-12 -(2)由(1)知再由题意，直线囤的倾斜角不为甘，故可设直线 冋的方程为K = my - 2|,代入椭圆方程，消兀可得m+ 5)y3- 4rny -16 = 0，4m- 16设 呵亦1)2仅诃2)JYi f = 一、yiY2= m +5 m +5B；P =(叫 ”2yi)B；Q = g ” 2,yj ,BjP B2Q = (Xj - 2)(光-2) +=/ h?2-L

16、QB2, -QB2- PBj = o点睛：本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转 化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键。19.已知函数x)=(a- l)lnx-V卜x(a E R),囂(X)= -x3-x + (a-l)lnx(2)若过点可作函数b二或刈-塑)二0)|图象的两条不同切线，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)區壬珂-ax + x- a- 1试题解析：(I)对

17、=16m -64-= oE 十5巾=，当 F = 土2时，可化为沖gy”(5=q,Yi-九=血+ 丫$ -知1?工=iPBQ的面积3= B1B2 Yi Yz=2x 4 x=亍仮?231 , 1231 , 10-J在切线上，得到T _-at 1 - = 0，问题转化为-at 1 - = 03323323线方程，由有两个不同的正2 1 1数解，令h(t) = 2 +,由单调性求出a的范围.16m2-倒TH- 5【解析】试题分析：(I )分讨论函数|的单调性;(n)求出经过点P的切-ax + (a - l)(x - 1)讨论I；的单调性;(1)若-13 -所以实数的取值范围为十 R）.点睛：本题主要

18、考查了函数的单调性问题，导数的应用以及分类讨论思想，考查切线方程问 题,属于中档题当丘时,二得 5心 5 咏处。，得 E此时,圄在回上单调递减，在叵回是增函数一，亠I- ax-+ x + a - 1当卩a 才时，解（X）=-仝0,得,此时，f（x）在（0,1卿-丨.斗旳）是减函数，在1厂-1|是增函数3.（n）设点.讯-F + -t-2tXtA0）是函数 汁或或图象上的切点，则过点 円的切线的斜率为31:c = gp(t) - f(t) = -i at - 2 ,所以过点的切线方程为f斗2上=-广I at - 2）（x - tj .因为点（0.-二）在切线上，所以-、亠孑丁J 2t =（-广I

19、 at - 2X0 - tjH23121即-t-乜广I - = 0 P 23若过点卩）可作函数=吕（兀）-仗）图象的两条不同切线,、I “丨 则方程r - -at I - = 0有两个不同的正数解.P 23231 _ - _令i（t） = -t -+ -，则函数y = h（t）与轴正半轴有两个不同的交点.323-因为丨, 或.=-41，所以必须!）=,即严.,此时，I I I上是减函数当丨 时,ax +x- a- 1131所以、=1-14 -20.如图，曲线 包由上半椭圆Cp+ = l（ab0,y0）和部分抛物线a2b2亠（2）过点回的直线与分别交于屉（均异于点匡），若卜P丄点Q|,求直线的方

20、程.+ = l(abO+y 0)和部分抛物C2:y = -x2+ (y 0)a2b2-:-（2）由（1）知，上半椭圆門的方程为L十宀go，目（训，易知，直线与R轴不重合也不垂直，故可设其方程为p =k（xil）（kf 0）|,并代入 百的方程中，整理得:k3+I k34 = 0,8m = l,b = 1；(2) =尹-门【答案】（1）接而成,码的公共点为匣其中同的离心率为【解析】试题分析：（1）由上半椭圆公共点为| ，得J F E=及12-C2= b2= 1，解得i = 2a 2（1）求匚的值;，设的半焦距为，由所以、=1-15 -试题解析：（1）在門方程中，令卜得 在陆方程中，令冋，得丽）已

21、102k由韦达定理得勺亠与-k2-4，又迪，得汁訓，从而求得阡k-4 -Sk标为C二、），同理，由- 4 k2-b 4| y =k(xT)(k尹0) ly= -x2+ l(y0),阿丽41-易知，直线与冃轴不重合也不垂直，设其方程为#=kgl)(k诃代入的方程中，整理得：设点的坐标由韦达定理得 5 十xR= k -4所以点LI的坐标为(y = k(x- l)(k 0)y =J?+ (y兰0)得点0的坐标为卜 mJ 订“-2k.2A AP AQ =(i|,即 一一k-4(k亠2) = a讣+4Tkq，一狀k十2) = 0|,解得经检验，J”符合题意，I 8故直线的方程为* =-尹 T)考点：椭圆和抛物线的几何性质；直线与圆锥曲线的综合问题k2-4 -Sk同理, 由AQ = -k(l,k+ 2)AP 1 AQ-17 -人（,丫）,3（诃*）（勺vx两点，且= 6 .（