高中数学：321《一元二次不等式的解法》课件（北师大版必修5）

1、21一元二次不等式的解法一、一元二次不等式形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)或bxc0时，axb0的解集为_，axb0的解集为x|xx0；当a0的解集为_，axb0时，解形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的一元二次不等式，一般可分为三步：(1)确定对应方程_的解；(2)画出对应函数_的图像简图；(3)由_得出不等式的解集对于a0，0的情况下，若_，应将不等式两边同乘1化为二次项系数大于零再求解(2)ax2bxc0(a0)，若其判别式0，则方程有两相等实根，此时不等式ax2bxc0的解集为_；不等式ax2bxc0的解集为_.若其判别式0的解集为_；不等式ax2bxc0或a

2、x2bxc0)求解时，若相应方程有两个不相等实数根，可记住口诀_.一、解二次不等式时应注意哪些问题？1解一元二次不等式时，首先考虑对应二次方程，根据二次项系数的符号确定不等式解集的形式，当然还要考虑二次方程根的大小2对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，常用口诀是：大于取两边，小于取中间即：你只要记住一个前提：a0和四句话：根上等于零，根间小于零，根外大于零，无根大于零3解一元二次不等式具体过程是：(1)把二次项的系数变为正的(如果是负，那么在不等式两边都乘以1，把系数变为正)；(2)解对应的一元二次方程(先看能否因式分解，若不能，再看，然后求根)；(3)求解一元二次不等式(

3、根据一元二次方程的根及不等式的方向)4一元二次不等式的解集与二次函数的图像、一元二次方程的根密切联系，解一元二次不等式要从函数、方程、不等式的统一角度来认识，利用数形结合的方法，画出二次函数的图像，写出不等式的解集含有参数的不等式要注意分类讨论分式不等式、高次不等式要注意同解变形，向一次、二次不等式转化二、含参数的不等式恒成立问题与一元二次不等式和一元二次函数有着紧密的联系，那么解决恒成立问题的方法有哪些？含参数的不等式恒成立求参数的取值范围的实质是已知不等式的解集求参数的取值范围学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法：(1)分离变量法对于一些含参数的

4、不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题一般地分离变量后有下列几种情形：f(x)g(k)f(x)ming(k)f(x)g(k)f(x)ming(k)f(x)g(k)f(x)maxg(k)f(x)g(k)f(x)max0.变式训练1解不等式：x22x1.解析：原不等式化为x22x10.0，方程x22x10有两相等实根x1x21.函数yx22x1的图像是开口向上的抛物线，如下图观察图像可得，原不等式的解集为x|x1例2已知不等式ax2bxc0的解集为(，)

5、，且0，求不等式cx2bxa0的解集为(，)，则实数a的取值范围是_；若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，则实数a的取值范围是_分析：本题已知一元二次不等式的解集，求参数的取值范围，是对一元二次不等式解法的逆向考查，可结合相应的二次函数的图像解题解析：由x2axa0恒成立，得yx2axa的图像都在x轴上方，与x轴无交点，所以(a)24(a)10，解得4a0时，讨论相应一元二次方程两根的大小简记为“一a，二，三两根大小”最后对系数中的参数进行完全分类，即将(，)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集例3解关于x的不等式x2(aa2)xa30(aR)解析：

6、原不等式可变形为(xa)(xa2)0，则方程(xa)(xa2)0的两个根为x1a，x2a2.当a0时，有aa2，xa2，此时原不等式的解集为x|xa2；当0aa2，即xa，此时原不等式的解集为x|xa；当a1时，有a2a，即xa2，此时原不等式的解集为x|xa2；当a0时，有x0；原不等式的解集为x|xR且x0；当a1时，有x1，此时原不等式的解集为x|xR且x1综上可知：当a1时，原不等式的解集为x|xa2；当0a1时，原不等式的解集为xa；当a0时，原不等式的解集为x|x0；当a1时，原不等式的解集为x|x1变式训练3解关于x的不等式x2ax2a20.解析：原不等式变形为(x2a)(xa)

7、0，则ax2a，此时不等式的解集为x|ax2a；若a0，则2axa，此时不等式的解集为x|2axa；若a0，则原不等式即为x20，此时解集为 .变式训练4若关于x的一元二次不等式mx28mx210，方程mx28mx210的两根为7，1.解法1：将x1代入mx28mx210，得m3.解法2：利用韦达定理得(7)(1) 所以m3.例5已知关于x的不等式2x2(3a7)x(3a2a2)0的解集中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示该不等式的解集解析：把x0代入不等式得，3a2a20，a，由2x2(3a7)x(3a2a2)0，得2x2(3a7)x(a1)(2a3)0，即2x(a1)x(2a3)0的解集为x|x4，那么对于函数f(x)ax2bxc应有 ()Af(5)f(2)f(1)Bf(2)f(5)f(1)Cf(1)f(2)f(5)Df(2)f(1)0的解集形式知a0，故f(x)ax2bxc图像开口向上，另外由其解集为x|x4知ax2bxc0有两根2和4，由韦达定理知其对称轴为x1，结合以上知识便可求解，得f(2)f(1)0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围变式训练6不等式ax2axa10的解集为 ()Ax|3x1Bx|1x1，或1x3Cx|3x3Dx|3x2答案：B变式训练7已知函数f(x)ax2bxc，