非线性控制9 - 变结构控制

1、非线性控制第七讲变结构控制2014版7.1 引言引言滑模变结构控制是一种非线性鲁棒控制方法，它主要用于处理建滑模变结构控制是一种非线性鲁棒控制方法，它主要用于处理建模的不精确性。滑模变结构控制器设计为解决建模不精确情况下模的不精确性。滑模变结构控制器设计为解决建模不精确情况下保持系统稳定性和一致性提供了系统的方法。保持系统稳定性和一致性提供了系统的方法。滑模变结构控制理论经历了滑模变结构控制理论经历了5050余年的发展过程，其发展过程大余年的发展过程，其发展过程大致分为四个阶段：致分为四个阶段：1) 1957-19621) 1957-1962年，前苏联学者年，前苏联学者UtkinUtkin和和

2、EmelyanovEmelyanov研究了二阶系统研究了二阶系统的分区线性化相平面方法，继电器的滑模运动等，这蕴含着滑的分区线性化相平面方法，继电器的滑模运动等，这蕴含着滑模变结构控制的概念；模变结构控制的概念； 2) 1962-1970 2) 1962-1970年，此阶段开始针对高阶线性系统进行研究，但仍年，此阶段开始针对高阶线性系统进行研究，但仍限于单输入输出系统；限于单输入输出系统； 3 3）1970-19801970-1980年，此阶段得出滑模变结构控制对摄动及干扰具有年，此阶段得出滑模变结构控制对摄动及干扰具有不变性，并给出了充分必要条件；不变性，并给出了充分必要条件；4 4）进入）

3、进入2020世纪世纪8080年代，滑模变结构控制理论的研究进入了新阶段，年代，滑模变结构控制理论的研究进入了新阶段，以微分几何为主要工具的非线性控制思想推动了它的发展。以微分几何为主要工具的非线性控制思想推动了它的发展。 在应用研究方面，滑模变结构控制已成功地应用于工业机在应用研究方面，滑模变结构控制已成功地应用于工业机械手、非完整移动机器人系统，水下航空器、电机系统、械手、非完整移动机器人系统，水下航空器、电机系统、航天器控制、电力系统等。航天器控制、电力系统等。7.1 引言引言 6.2.1 滑模变结构控制的定义滑模变结构控制的定义用二阶线性系统的相平面分析方法来说明用二阶线性系统的相平面分

4、析方法来说明 为了阐明变结构控制系统的基本概念，考虑下列简单的二阶系统，为了阐明变结构控制系统的基本概念，考虑下列简单的二阶系统， 设状态反馈为设状态反馈为 ，其中，其中 的值可取为的值可取为 或或 ， 。当当 时，系统的微分方程为时，系统的微分方程为 它是一个线性的二阶微分方程，其相应的特征方程为它是一个线性的二阶微分方程，其相应的特征方程为特征根则为特征根则为 ,0 xxuxu)0(0 xxx0221,224 这个结果表明，在这个结果表明，在 的前提下，无论的前提下，无论 取何值，系取何值，系统都存在右半平面的特征根，因而系统仍是不稳定的。统都存在右半平面的特征根，因而系统仍是不稳定的。即

5、即 时，相当于负反馈。时，相当于负反馈。(1)当当0 微分方程有一对共轭复特征值，其实部为正微分方程有一对共轭复特征值，其实部为正数，相平面坐标原点是不稳定的焦点。数，相平面坐标原点是不稳定的焦点。0424221,224极点分布奇点相迹图中心点稳定的 焦点稳定的 节点鞍 点不稳定的焦点不稳定的节点极点分布奇点相迹图当当 时，系统的微分方程为时，系统的微分方程为 其相应的特征方程为其相应的特征方程为特征根则为特征根则为 即即 时，相当于正反馈，系统的特征值为实数且一正一时，相当于正反馈，系统的特征值为实数且一正一负，相平面的原点是一个鞍点。负，相平面的原点是一个鞍点。0242210422200

6、xxx 可能的解决办法可能的解决办法: 如果我们能有办法把这条可以收敛到原点的直线以外的如果我们能有办法把这条可以收敛到原点的直线以外的所有状态所有状态都拉回到这条直线上，那么之后被控对象则可以都拉回到这条直线上，那么之后被控对象则可以沿这条直线沿这条直线收敛到原点。收敛到原点。 变结构控制就是要实现这样的目标。变结构控制就是要实现这样的目标。显然，对应这两种结构，系统均不稳定，仅在显然，对应这两种结构，系统均不稳定，仅在 时有收敛到原点的相轨迹，时有收敛到原点的相轨迹，即沿着这一结构的稳定特征向量方向的相轨线。如果我们将上述两种反馈方法即沿着这一结构的稳定特征向量方向的相轨线。如果我们将上述

7、两种反馈方法按一定规律有机结合起来，则会产生相轨线的变化。选取系统按一定规律有机结合起来，则会产生相轨线的变化。选取系统 按下列规律在按下列规律在稳定特征线及稳定特征线及x=0 x=0上进行切换上进行切换 其中其中 ， 则直线两侧的轨线都最终落在此直线并收敛到原点，因此相应的系统是渐进稳则直线两侧的轨线都最终落在此直线并收敛到原点，因此相应的系统是渐进稳定的。上述切换线直接由系统的参数定的。上述切换线直接由系统的参数 和切换参数和切换参数 决定，因而当参数决定，因而当参数 未知未知或存在扰动时，这种参数方法就显得相当困难或存在扰动时，这种参数方法就显得相当困难。0 xs0 xssxcx42c2

8、 s=0s=0两侧的相轨线都引向切换线两侧的相轨线都引向切换线s=0s=0。因此，状态轨线一旦到达此直线上，。因此，状态轨线一旦到达此直线上，就沿着此直线收敛到原点，这种沿就沿着此直线收敛到原点，这种沿s=0s=0滑动至原点的特殊运动称之为滑动至原点的特殊运动称之为滑动滑动模模。直线。直线s=0s=0称之为称之为切换线或切换流形切换线或切换流形（switching manifoldswitching manifold），相应的），相应的函数称之为函数称之为切换函数切换函数。在滑动模下，系统的运动规律由简单的微分方程。在滑动模下，系统的运动规律由简单的微分方程 来来描述，其解为描述，其解为 。显

9、然，此时方程的阶数比原系统低，而。显然，此时方程的阶数比原系统低，而且仅与参数且仅与参数c c有关，即不受系统参数变化或干扰的影响，故此时系统具有有关，即不受系统参数变化或干扰的影响，故此时系统具有很强的鲁棒性。很强的鲁棒性。0 xcxcte )0(x) t (x为此，我们再考虑选取切换线为为此，我们再考虑选取切换线为x=0 x=0及及sxcx2(0,24c ）上例中，由于切换参数的取值为上例中，由于切换参数的取值为 和和- ,- ,即给出了即给出了两种控制结构，在控制过程中，结构在两者之间变两种控制结构，在控制过程中，结构在两者之间变化，故称之为变结构控制系统。这种控制方法称为化，故称之为变

10、结构控制系统。这种控制方法称为变结构控制方法。变结构控制方法。其基本思想是：其基本思想是：首先将从任一点出发的状态轨线通首先将从任一点出发的状态轨线通过控制作用拉到某一指定的直线上，然后沿着此直过控制作用拉到某一指定的直线上，然后沿着此直线滑动到原点。因此，这种具有滑动模态运动的控线滑动到原点。因此，这种具有滑动模态运动的控制也称为滑模控制制也称为滑模控制(Sliding Mode Control)(Sliding Mode Control)。 变结构控制变结构控制的特性和特点的特性和特点1 1）设计反馈）设计反馈u(x)u(x)，限定是变结构的，它能将系统的运动引导到一个超，限定是变结构的，

11、它能将系统的运动引导到一个超平面平面S S或更一般地一个流形或更一般地一个流形s(x)=0s(x)=0上。选择这样的上。选择这样的s(x)s(x)，使得其上的，使得其上的运动是渐进稳定的。运动是渐进稳定的。2 2）滑动模相轨迹限制在维数低于原系统的子空间内，对离线分析和算）滑动模相轨迹限制在维数低于原系统的子空间内，对离线分析和算法的在线实现都非常有利。法的在线实现都非常有利。3 3）滑动模的原点与控制量的大小无关，仅由对象特性及切换流形决定。）滑动模的原点与控制量的大小无关，仅由对象特性及切换流形决定。4 4）在一定条件下，滑动模对于干扰与参数的变化具有不变性，这正是）在一定条件下，滑动模对

12、于干扰与参数的变化具有不变性，这正是鲁棒性控制要解决的问题。变结构系统的滑动模态具有完全自适应性。鲁棒性控制要解决的问题。变结构系统的滑动模态具有完全自适应性。这成为变结构系统的最突出的优点。这成为变结构系统的最突出的优点。 5) 5) 变结构控制已被用来解决复杂的控制问题。这些问题有：理想运动变结构控制已被用来解决复杂的控制问题。这些问题有：理想运动的跟踪问题，理想模型的跟踪问题，模型跟踪的自适应控制问题，的跟踪问题，理想模型的跟踪问题，模型跟踪的自适应控制问题，不确定系统的控制问题等等。不确定系统的控制问题等等。 6 6）什么条件下可以确保滑动模态运动的存在以及系统在进入滑动模态）什么条件

13、下可以确保滑动模态运动的存在以及系统在进入滑动模态运动以后能具有良好的动态特性如渐近稳定等，是变结构控制理论运动以后能具有良好的动态特性如渐近稳定等，是变结构控制理论所要研究的主要问题。所要研究的主要问题。滑模变结构控制三要素：(1) 满足可达性条件，即在切换面以外的运动点都将在有限时间内到达切换面；(2) 滑动模态存在性；(3) 保证滑动模态运动的渐近稳定性并具有良好的动态品质滑模变结构控制的整个控制过程由两部分组成： 正常运动段：位于切换面之外, 如图的 段所示。 滑动模态运动段：位于切换面上的滑动模态区之内，如图的 段所示。0 xAAO 滑模变结构控制的品质取决于这两段运动的品质。由于尚

14、不能一次性地改善整个运动过程品质，因而要求选择控制律使正常运动段的品质得到提高。 选择切换函数使滑动模态运动段的品质改善。两段运动各自具有自己的高品质。 选择控制律 :使正常运动段的品质得到提高。 选择切换函数 : 使滑动模态运动段的品质改善。 此处，讨论正常运动段的品质问题（滑动模态运动段由其微分方程决定），要求趋近过程良好，可采用趋近律方法来保证品质。( )ux( )s x6.2 滑模滑模变结构控制系统描述及基本问题变结构控制系统描述及基本问题 上述系统与通常的连续反馈控制系统不同，控制量按上述系统与通常的连续反馈控制系统不同，控制量按一定的逻辑进行切换，即系统的结构按一定规律变化。其一定

15、的逻辑进行切换，即系统的结构按一定规律变化。其对应的微分方程右端是不连续的，我们关心此时微分方程对应的微分方程右端是不连续的，我们关心此时微分方程的解是否存在及如何描述系统在的解是否存在及如何描述系统在 =0=0的运动等问题。的运动等问题。许多学者研究了各种类型的具有不连续右端函数的微分方许多学者研究了各种类型的具有不连续右端函数的微分方程解的存在唯一性，其中概念上直观的方法由费里波夫程解的存在唯一性，其中概念上直观的方法由费里波夫（FilipovFilipov）给出。下面作一简单介绍。）给出。下面作一简单介绍。x)S(t,当系统当系统（7-47-4）为单输入系统时，控制规律）为单输入系统时，

16、控制规律（7-57-5）变为）变为 （7-67-6）此时系统此时系统（7-47-4）在控制）在控制（7-67-6）的作用下在切换曲线）的作用下在切换曲线s=0s=0上的运动由下列方程上的运动由下列方程描述描述 ，其中其中 为滑动模下状态轨线的切向量。为滑动模下状态轨线的切向量。设设 为梯度向量，若为梯度向量，若 及及 ，则由，则由 可以可以解得解得 其中其中 表示向量的内积。则此时系统在切换曲线表示向量的内积。则此时系统在切换曲线s=0s=0上的解是唯一存在的。上的解是唯一存在的。), t (u), t (u), t (u_xxx0), t ( s0), t ( sxx0f(1)ffxaa1a

17、00f),ux,f(t,f),ux,f(t,fgradsds0),ds(f0),ds(f0),ds(0f),ds/(),ds(afff0) , ( 在多输入多输出情形下，方程（在多输入多输出情形下，方程（5-45-4）和方程（）和方程（5-55-5）在费里波夫意义下的）在费里波夫意义下的解可表示为解可表示为其中其中 ， ，但目前还没有一般求解，但目前还没有一般求解 的公式，因此必须寻的公式，因此必须寻求其它更实用的方法。求其它更实用的方法。1( )f( ,x,( ,x)mjjjxa ttu t0) t (aj1) t (am1jj) t (aj 变结构控制的重要问题之一就是要确定滑动模的描述变

18、结构控制的重要问题之一就是要确定滑动模的描述方程。对于一般变结构控制系统，当系统发生滑动模时，方程。对于一般变结构控制系统，当系统发生滑动模时，其间断点在时间上构成测度不为零的点集，系统状态被限其间断点在时间上构成测度不为零的点集，系统状态被限制在切换流形上运动。在此情况下，不能采用衔接的思想制在切换流形上运动。在此情况下，不能采用衔接的思想求解，滑动模运动方程式需要新的方法来求得，通常采用求解，滑动模运动方程式需要新的方法来求得，通常采用等效控制方法来确定。等效控制方法来确定。 从理论上讲，系统的状态轨线一旦达到切换流形就从理论上讲，系统的状态轨线一旦达到切换流形就沿着其运动，即此时系统轨线

19、保持在此切换流形上，称沿着其运动，即此时系统轨线保持在此切换流形上，称这种滑动模为理想的滑动模。在理想情形，当系统进入这种滑动模为理想的滑动模。在理想情形，当系统进入滑动模运动后，由于系统的状态轨线保持在其上面，也滑动模运动后，由于系统的状态轨线保持在其上面，也即满足即满足s(x)=0s(x)=0，从而有，从而有 。 s0滑动模的描述方程滑动模的描述方程1 1）单输入情况：）单输入情况：先看以下切换函数先看以下切换函数s s（x x）的几种主要模型。）的几种主要模型。（1 1）线性模型。对象及切换函数都是线性的，其数学表达式为）线性模型。对象及切换函数都是线性的，其数学表达式为 其中其中A A

20、为为 阵，阵，b b及及c c为为n n维向量，我们需要求出向量维向量，我们需要求出向量c c及变结构控制及变结构控制使闭环系统全局渐近稳定。使闭环系统全局渐近稳定。 因为线性系统已具有比较成熟的理论及综合方法，采用变结构控制因为线性系统已具有比较成熟的理论及综合方法，采用变结构控制这种复杂的非线性控制器，除非有其它方面的巨大优越性，一般是这种复杂的非线性控制器，除非有其它方面的巨大优越性，一般是不容易被接受的。不容易被接受的。buAxx.xcsTnn),(),()(xuxuxu00)(x)s(xs当当（2 2）线性对象，二次型切换函数）线性对象，二次型切换函数 是一特殊的二次型。这种系统的模

21、型，是是一特殊的二次型。这种系统的模型，是5050年代发展起来的，早期年代发展起来的，早期得到了系统的研究。这种形式的切换面，在很多场合仍然被应用，如模型得到了系统的研究。这种形式的切换面，在很多场合仍然被应用，如模型跟踪系统。跟踪系统。（3 3）非线性对象，线性切换函数）非线性对象，线性切换函数 buAxx.xcxsT1xcxT1b(x)uA(x)x.xcsT1 1）多输入情况：多输入的各个控制是以什么方式起到控制作用）多输入情况：多输入的各个控制是以什么方式起到控制作用? ? 考虑考虑 ，于是系统在此切换流形上应满足下列方程，于是系统在此切换流形上应满足下列方程 （7-67-6）如果从方程

22、如果从方程（7-67-6）中可以确定或解出）中可以确定或解出u u，则由此得到的形式解，则由此得到的形式解u u就可视为系统就可视为系统（7-47-4）在切换流形）在切换流形s(x)=0s(x)=0上系统所施加控制的等效或平均作用量。用此形式上系统所施加控制的等效或平均作用量。用此形式解作为系统解作为系统（7-47-4）右端函数在）右端函数在s=0s=0上的取值，则可以消除描述变结构控制系统上的取值，则可以消除描述变结构控制系统（7-47-4）的微分方程右端函数在）的微分方程右端函数在s=0s=0上的不确定性。我们把由式上的不确定性。我们把由式（7-67-6）求出的）求出的控制量控制量u u称

23、为等效或等价控制量，用记号称为等效或等价控制量，用记号 表示表示。0.s0u)x,f(t,xstss.equ为讨论方便，我们仅讨论下列仿射控制系统为讨论方便，我们仅讨论下列仿射控制系统 （7-77-7）其中其中f, Bf, B为适当维数的连续光滑函数。对这类系统由式为适当维数的连续光滑函数。对这类系统由式（7-67-6）及式）及式（7-77-7）可）可以推出以推出 （7-87-8）因此，如果选取的切换函数因此，如果选取的切换函数s(t,x)s(t,x)满足满足可逆，则由可逆，则由（7-87-8）可以得到唯一的等效控制量）可以得到唯一的等效控制量 将此控制量代如式将此控制量代如式（7-77-7）

24、就得到在理想情形下滑动模应满足的微分方程）就得到在理想情形下滑动模应满足的微分方程 （7-147-14）f(t,x)B (t,x)ux 0u)x,f(t,xstss.BxsG1ssuG(f)txeq 11ssIB GfB Gttx 变结构控制系统变结构控制系统的趋近律的趋近律 变结构控制系统的运动过程是由两部分组成的，即由两个阶段的运变结构控制系统的运动过程是由两部分组成的，即由两个阶段的运动组成。动组成。第一阶段是正常运动第一阶段是正常运动，它全部位于切换面之外，或有限次穿越，它全部位于切换面之外，或有限次穿越切换面；切换面；第二阶段是滑动模态，第二阶段是滑动模态，完全位于切换面上的滑动模态

25、区内。完全位于切换面上的滑动模态区内。 分开看每一段运动的品质均与所选的切换函数分开看每一段运动的品质均与所选的切换函数s(x)s(x)及及 控制函控制函数有关。选择数有关。选择 使其接近过程，即正常运动段的品质得到提高，选使其接近过程，即正常运动段的品质得到提高，选择择s(x)s(x)使滑动模态的运动品质得到保证和改善。使滑动模态的运动品质得到保证和改善。 )(xu)(xu滑动模的到达条件滑动模的到达条件理想滑动模态理想滑动模态 实际滑动模态实际滑动模态 将变结构控制系统中发生的运动过程分为三个部分，以便将变结构控制系统中发生的运动过程分为三个部分，以便分别加以考虑。分别加以考虑。1)1)趋

26、近运动。即从任一初始状态于有限时间内到达切换面趋近运动。即从任一初始状态于有限时间内到达切换面的运动。这一运动也可称为非滑动模态。的运动。这一运动也可称为非滑动模态。2)2)滑动模态。其品质对整个运动过程的品质起着重要的影滑动模态。其品质对整个运动过程的品质起着重要的影响。可进行极点配置、最优控制等来保证其品质。响。可进行极点配置、最优控制等来保证其品质。3)3)稳态误差。控制过程会出现抖振现象，稳态误差。控制过程会出现抖振现象， 正常运动的品质正是要求此趋近过程良好，比如快正常运动的品质正是要求此趋近过程良好，比如快速。因此可以提出趋近律的概念和公式，来保证正常运速。因此可以提出趋近律的概念

27、和公式，来保证正常运动的品质，可以设计出各种各样的趋近律。各学者提出动的品质，可以设计出各种各样的趋近律。各学者提出了各种趋近律。了各种趋近律。 滑动滑动模的到达条件模的到达条件2 2）多变量系统：）多变量系统： 相当于在切换流形的邻域内非线性系统状态轨线关于切相当于在切换流形的邻域内非线性系统状态轨线关于切换流形换流形s=0s=0的稳定性。到达条件决定变结构控制律。就是说，的稳定性。到达条件决定变结构控制律。就是说，在设计变结构控制器时，我们将用到达条件导出变结构控制在设计变结构控制器时，我们将用到达条件导出变结构控制律的数学表达式。律的数学表达式。 1 1）单变量系统：）单变量系统： 直观

28、上看要使系统轨线在有限时间内到达切换曲线，其直观上看要使系统轨线在有限时间内到达切换曲线，其切向量必须指向这条切换曲线，也即当切向量必须指向这条切换曲线，也即当s0s0 s0 时，时， 。因此，这就是单变量系统实现滑动模的充分。因此，这就是单变量系统实现滑动模的充分条件。条件。0s 0s 最先提出的到达条件为最先提出的到达条件为 ，当，当s(x)0s(x)0 s(x)0 （7-107-10）或它的等价表示式或它的等价表示式 （7-117-11） 当这种到达条件成立时，希望于当这种到达条件成立时，希望于 时从任意状态时从任意状态 出发的相轨线出发的相轨线 能于有限时刻到达切换面能于有限时刻到达切

29、换面 s(x)=0s(x)=0。 切换函数切换函数s(x)s(x)应满足以下条件：可微；过原点，即应满足以下条件：可微；过原点，即s(0)=0s(0)=0。 条件条件（7-107-10）中，）中，s(x)s(x)表示从表示从x x到切换面到切换面s(x)=0s(x)=0的距离，的距离，s(x)0s(x)0时时x x位于位于s(x)=0s(x)=0的一侧，的一侧，s(x)0s(x)0时时x x位于位于s(x)=0s(x)=0的另一侧。的另一侧。(x )0s(x )0ss(x)s(x)00t0 x),(00tt xx 由于由于x x取任意值，即取任意值，即x x离开切换面可以任意远，故到达条件离开切换面可以任意远，故到达条件（7-107-10）是全）是全局到达条件。但是，这个条件有一个缺点，就是它不能保证有限时