第9章电磁波的辐射

1、第七章 电磁波的辐射 7.1 滞后位滞后位（45.46学时）学时）7.2 电基本振子的辐射场电基本振子的辐射场7.3 对偶原理与磁基本振子的辐射场对偶原理与磁基本振子的辐射场7.4 天线的电参数天线的电参数（47.48学时）学时）7.5 对称线天线和天线阵的概念对称线天线和天线阵的概念7.6 面天线的辐射场面天线的辐射场7.7 互易原理互易原理 返回第第45.4645.46学时学时7.1 滞滞 后后 位位 JAkA2222k时谐场中，电荷源和电流源J之间以电流连续性方程 jJ返回 将与J联系起来，而标量位和矢量位A之间也存在一定的关系。这一关系就是洛仑兹条件，即式(5 - 77)： jA电磁场

2、与标量位和矢量位A之间的关系式为 AkAjEAB2)(7.1.1 亥姆霍兹积分及辐射条件亥姆霍兹积分及辐射条件 dSuwwudVuwwuVS)()(22求式(5 - 79)中的标量位，并且导出辐射条件。格林定理中的u和w是任意标量函数，且要求u和w以及它们的一阶和二阶导数在V内连续。 容易验证标量函数 RejkR满足齐次亥姆霍兹方程 022k令格林定理中的u代表标量位，即u=，满足式(5-79)，即 ) () () (22rrkr再令w=，且R=|r-r|，如图7 - 1所示。r是场点；r是源点， 亦即格林定理中的积分变点。 (7 - 6)图 7 - 1 求解式(7 - 6)用图 于是积分在体

3、积V1=V-V2及其表面S1=S+S2上进行： 21) () () () ()() (22SSVdSnrnrdSnrnrdVrr 在S2上积分时，外法线方向指向小球球心P点于是 ； 面元dS=a2d，d是dS对P点所张的立体角元。这样， Rn/) (1) () () (22222danrReeRjkRrdanrReReRrSaRjkRjkRSaRjkRjkR令a0，小球面S2收缩成点P。考虑到 有限，上式中的积分只剩下被积函数是(r)e-jkR/R2的一项不等于零。此时小球面S2上的（r)可以用小球球心处的(r)代替： R/)(4)() (lim22220rdrdaRerSaRSjkRa) (

4、) (41) (41)(dSReRrReRrdVeRrrSjkRjkRVjkR矢量位A的每个直角坐标分量均可用形如上式的积分表示，于是 ) () (41) (4)(dSReRrAReRrAdVeRrJrASjkRjkRVjkRdedejkRRjkRSjkRS考虑无限空间的电磁问题时，取以R为半径的球面作为S，dS=R2d，式(7 - 8)中的面积分可以写成 (7 - 8)(7 - 10) 而要排除在无限远处的场源(设无限远处的场源为零)， 就必须使上式为零。为此，要求R时， 有限值RRlim0limjkRRR在这个限制条件下，式(7 - 10)的第二项积分等于零， 即要求在远离场源处标量位至少

5、按R-1减少；第一项积分在满足 时也等于零。式(7 -11b)称为辐射条件。对于矢量位亦有类似条件。 (7-11b)7.7.2 滞后位滞后位 标量位满足辐射条件式(7-11b)时，排除无限远处的场源，式(7-8)中的面积分一项为零，标量位(r)仅表示向外传播的电磁波，即 VjkRdVRerr) (41)(如果我们把k=/v代入上式，并重新引入时间因子ejt，则得 ) (41),(dVeRrtrVvRtjVjkRdVeRrJrA) (4)(引入时间因子ejt后则有 VRtjdVeRrJtrA) (4),(VdVRrr) (41)(VdVRrJrA) (4)(7.2 电基本振子的辐射场电基本振子的

6、辐射场 图 7 - 2 电流元与短对称振子 7.2.1 电基本振子的电磁场计算电基本振子的电磁场计算 图 7 - 3 电基本振子 取短导线的长度为dl，横截面积为S，因为短导线仅占有一个很小的体积dV=dlS，故有 zzIdleSdleSIdVrJ) (又由于短导线放置在坐标原点，dl很小，因此可取r=0，从而有R=|r-r|r。 jkrzjkRlzeRIdleeRIdlerA44)(sincoszzrrrAeAeAeAeAeA0sincossinsin11)(2zzrrAArerreerArH由此可解得 jkrrekrkrjIdlkHHH2214sin00）（7.2.2 电基本振子的电磁场分

7、析电基本振子的电磁场分析 1. 近区场近区场 当kr1时，r1时，r/2，即场点P与源点距离r远大于波长的区域称为远区。 在远区中， 32)(1)(11krkrkr远区电磁场表达式简化为 jkrjkrjkrjkrerIdljerIdlkjEerIdljerIdlkjEsin24sinsin24sin2 场的方向：电场只有E分量；磁场只有H分量。其复坡印廷矢量为 2*2121*21EeHEeHESrr可见，E、H互相垂直，并都与传播方向er相垂直。因此电基本振子的远区场是横电磁波(TEM波)。 场的相位：无论E或H，其空间相位因子都是-kr，即其空间相位随离源点的距离r增大而滞后，等相位面是r为

8、常数的球面， 所以远区辐射场是球面波。由于等相位面上任意点的E、H振幅不同，所以又是非均匀平面波。E/H=是一常数，等于媒质的波阻抗。 场的振幅：远区场的振幅与r成反比；与I、dl/成正比。值得注意，场的振幅与电长度dl/有关，而不是仅与几何尺寸dl有关。 场的方向性：远区场的振幅还正比于sin，在垂直于天线轴的方向(=90)，辐射场最大；沿着天线轴的方向(=0)， 辐射场为零。这说明电基本振子的辐射具有方向性， 这种方向性也是天线的一个主要特性。 如果以电基本振子天线为球心，用一个半径为r的球面把它包围起来，那么从电基本振子天线辐射出来的电磁能量必然全部通过这个球面，故平均坡印廷矢量在此球面

9、上的积分值就是电基本振子天线辐射出来的功率Pr。因为电基本振子天线在远区任一点的平均坡印廷矢量为 222*sin221212121Re*21RerIdleHeEeHEeHESrrrrav所以辐射功率为 223022202023134222sin222sinsin221IdlIdldIdlddrrIdldSSPSavr以空气中的波阻抗 12000022240IdlPr代入， 可得 式中I的单位为A(安培)且是复振幅值，辐射功率Pr的单位为W(瓦)，空气中的波长0的单位为m(米)。 电基本振子幅射出去的电磁能量既然不能返回波源， 因此对波源而言也是一种损耗。利用电路理论的概念，引入一个等效电阻。

10、设此电阻消耗的功率等于辐射功率，则有 rrRIP221式中Rr称为辐射电阻。 2022802dlIPPrr 例例7 - 1 已知电基本振子的辐射功率Pr， 求远区中任意点P(r, , )的电场强度的振幅值。 解：解： 利用 jmeIIk,2远区辐射场的电场强度振幅为 sin200rdlIEmm2040/rmPdlIrPErmsin103 例例7-2 计算长度dl=0.10的电基本振子当电流振幅值为2 mA时的辐射电阻和辐射功率。 解：解： 8957. 7) 1 . 0(808022202dlRr辐射功率为 辐射电阻 WPIPrr791.158957. 7)102(21212327.3 对偶原理

11、与磁基本振子的辐射场对偶原理与磁基本振子的辐射场 7.3.1 磁基本振子的辐射场磁基本振子的辐射场 图 7 - 4 磁基本振子 lrrjkljkRdlrreIdlReIrA| |44)(| | 上式的积分严格计算比较困难，但因r=ax, r0y，上式可以近似为 0000cossin)cossinsin(cossin)cossinsin()cos1 (2)cos1 (2),(0)sincos(sin00jkrSbbdyyxjkaajkrSPekbkbkakarabEjedxreEjrEcossin)cossinsin(cossin)cossinsin()cos1 (),(kbkbkakaF当r0

12、a、r0b时，可以近似取, 1/r1/r0。如果场点采用球坐标表示，即取x=r0sincos，y=r0sinsin，那么 由上式可知，均匀同相矩形口径场的方向性函数为 00max04jkrSPPerabEjEE222222000max3224SPEbaErPSabPPD220416相等电场强度最大辐射方向在=0处， 此时， 2|44|20SavEababSP7.7 互互 易易 定定 理理 )()()(BAABBA)()()(211221HEEHHEHjJHHjE, 假设空间区域V1中的电流源J1产生的电磁场为E1和H1，空间区域V2中的电流源J2产生的电磁场为E2和H2，两电流源振荡在同一频率

13、上，且空间区域V1和V2及它们之外的空间区域V3中的媒质是线性的，根据矢量恒等式 2121212211221)()()(JEEEHHjEjJEHjHHE1212121122112)()()(JEEEHHjEjJEHjHHE21121221)()(JEJEHEHEdVJEJEndSHEHEVS)()()(211212210)()(1221ndSHEHES1. 洛仑兹互易定理洛仑兹互易定理 设两个电流源J1和J2均在空间区域V外，则空间区域V内为无源空间，因而式(7 - 86)右端的体积分等于零，故其左边的封闭面积也等于零， 即 上式是洛仑兹互易定理的简化形式。 2. 卡森互易定理卡森互易定理 图

14、 7 - 16 卡森互易定理用图 3210)()(21122112VVVVdVJEJEdVJEJE0)(2112dVJEJEV0)(32112dVJEJEV即当两个电流源均在V时， 仍然有下式成立： 注意到空间区域V3为无源区，因此 dVJEdVJEVV211221dVJEdVJEVV21121dlEIdlEIllll21122121综上可见， 由卡森互易定理知， 两种情况下的源与场的关系为 当天线为细导线时，对于线电流，JdV=Idl，从而上式变为 22121211212211122121dlEIdlEIdlEIdlEIllll221112UIUI即 如果天线为理想导体，其上电场切向分量为零，则上式左边第二项积分和右边第一项积分为零；在l1上除输入端mn 处 外， 电场切向分量仍为零，在mn段有由天线2上电压U2产生的短路电流I2=I12。 因此上式左边应等于I12U1。同理，该式右边等于I21U2。于是 mnUdlE111),(),(112121发fKUYI2112YY令天线1对天线