平面向量单元复习

1、川东大竹海 中国竹世界课题：课题： 平面向量复习课平面向量复习课学习导航学习导航:向量是近代数学重要工具向量是近代数学重要工具,准确掌握向准确掌握向量的运算及其性质是利用向量为工具解决平面几量的运算及其性质是利用向量为工具解决平面几何何,三角三角,空间几何等其它分支学科的基础空间几何等其它分支学科的基础.故同学故同学们应重视复习和巩固向量的知识们应重视复习和巩固向量的知识,并强化建系处理并强化建系处理问题或基底处理向量问题的意识问题或基底处理向量问题的意识.川东大竹海 中国竹世界一一. .基本概念基本概念1.1.向量及向量的模、向量的表示方法向量及向量的模、向量的表示方法1)1)图形表示图形表

2、示2)2)字母表示字母表示3)3)坐标表示坐标表示ABaAB 有向线段有向线段AB:| |aAB 向量的模( , )axiy jx y( , )( , )aOAx yA x y 点(,)NMNMaMNxxyy 川东大竹海 中国竹世界一一. .基本概念基本概念2.2.零向量及其特殊性零向量及其特殊性3.3.单位向量单位向量a0aa0)5(00)4(00)3(a/0)2(0)1( 方方向向任任意意 0)6(a0)7(00|a|a 0aa共共线线的的单单位位向向量量与与非非零零向向量量川东大竹海 中国竹世界一一. .基本概念基本概念4.4.平行向量平行向量5.5.相等向量相等向量6.6.相反向量相反

3、向量方向相同或相反方向相同或相反的非零向量叫做平行向量的非零向量叫做平行向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量.在保持在保持长度和方向不变的前提下长度和方向不变的前提下,向量可以平行移动向量可以平行移动.平移先后两向量相等平移先后两向量相等任一组平行向量都可平移到同一直线上任一组平行向量都可平移到同一直线上( (共线向量共线向量) )区分向量平行、共线与几何平行、共线区分向量平行、共线与几何平行、共线长度相等且方向相反长度相等且方向相反的向量叫做相反向量的向量叫做相反向量.0)a(a, a)a( 川东大竹海 中国竹世界1.向量加法的三角形法则向量加法的三角

4、形法则2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则3.向量减法的三角形法则向量减法的三角形法则abABBCAC ABCDabABADAC 中，abABADDB 首尾相连首尾连首尾相连首尾连首同尾连向被减首同尾连向被减共起点共起点二二. .基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）ABCabab+CABDbab+a川东大竹海 中国竹世界4.4.实数与向量的积实数与向量的积a 是一个向量是一个向量0a,0a0a0aa,0aa0,0a|a|a| 都都有有，则则对对于于任任意意的的实实数数若若方方向向任任意意时时当当反反向向；与与时时当当同同向向；与与时时，当当则则其其方方向向：若若其其长长度度

5、：共线的向量是一个与 aa二二. .基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）川东大竹海 中国竹世界5.5.两个非零向量两个非零向量 的的数量数量积积ab与a b | |cosab向量数量积的几何意义向量数量积的几何意义|cosbba叫做向量 在 方向上的投影可正可负可为零可正可负可为零|a ba 二二. .基本运算（向量途径）基本运算（向量途径）OABB1ab0,向量夹角：向量夹角：首要的是通过向首要的是通过向量平移量平移, ,使两个向量共起点。使两个向量共起点。川东大竹海 中国竹世界ea=ae=|a|cosab ab=0a，b同向同向ab=|a|b|反向时反向时ab=-|a|b| a2=aa

6、=|a|2(aa= )cos=|ab|a|b| |baba2a平面向量的数量积平面向量的数量积ab的性质的性质:川东大竹海 中国竹世界1122(,),(,),1)2)3)4)axybxyababaa b 若则)yy,xx(2121 )yy,xx(2121 )y,x(11 二二. .基本运算（坐标途径）基本运算（坐标途径）2121yyxx 5)|6)cos|aa aa bab 2121yx 222221212121yxyxyyxx 川东大竹海 中国竹世界1./abab 向量 和非零向量2.abab非零向量 和则则若若),y,x(b),y,x(a2211 0yxyx1221 0yyxx2121 三

7、三. .两个等价条件两个等价条件ab有唯一的实数 ，使0a b 川东大竹海 中国竹世界四四. .一个基本定理一个基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理.eeeea, a,ee2122112121基基底底平平面面内内所所有有向向量量的的一一组组叫叫做做表表示示这这一一、把把不不共共线线的的向向量量使使有有且且只只有有一一对对实实数数任任一一向向量量那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的向向量量共共线线的的是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不、如如果果 利用向量分解的利用向量分解的“唯一性唯一性”来构建实系数方程组来构建实系数方程组川东大竹海 中国竹世界向量的有关概念向量的有关概念五五.

8、.应用举例应用举例川东大竹海 中国竹世界例例2 化简化简（1）（）（AB + MB）+ BO + OM （2） AB + DA + BD BCCA利用加利用加法减法运算法则，借助结论法减法运算法则，借助结论AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0进行变形进行变形.解：解：原式原式= AB +（BO + OM + MB）= AB + 0 = AB（1）（2）原式原式= AB + BD + DA （BC + CA）= 0BA = AB五五. .应用举例应用举例向量加减法则向量加减法则川东大竹海 中国竹世界五五. .应用举例应用举例例例3.3.如图平行四边形如图平行四边形OADBOAD

9、B的对角线的对角线ODOD、ABAB相交于相交于点点C,C,线段线段BCBC上有一点上有一点M M满足满足BC=3BM,BC=3BM,线段线段CDCD上有一上有一点点N N满足满足CD=3CN,CD=3CN,OAa OBba bMN 设试用表示平面向量基本定理平面向量基本定理.ONOM、分析：先求川东大竹海 中国竹世界例4、如图，在平行四边形ABCD中，已知， ， ， 求：（1） ；（2） ； | 4AB | 3AD 60DAB AD BC AB DA BACD解：解：因为因为AD BC 且方向相同，且方向相同，所以所以AD 与与BC 夹角是夹角是0所以所以|cos033 19AD BCADB

10、C 所以所以AB DA 与与的夹角为的夹角为120 60 因为因为AB 与与AD 的夹角是的夹角是，所以所以1|cos12043 ()62AB DAABDA （1）（2）的值。试求的中点，分别是、思考：若AFAEDCBCFE五五. .应用举例应用举例EF平面向量的数量积平面向量的数量积20川东大竹海 中国竹世界例例5 设设a，b是两个不共线向量。是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共线则共线则k=_(kR)解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k=-1 k=-1五五. .应用举例应

11、用举例向量共线定理向量共线定理川东大竹海 中国竹世界例例7. 已知已知a =(1，-1)，求，求a共线共线的单位向量。的单位向量。例例6. 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三顶点的三顶点 A(1, 3)，B(3，1)，C(5，2)，求第四个顶点，求第四个顶点D和和中心中心M的坐标的坐标D(1，2)1(2,)2M)22,22(0a例例8. 已知向量已知向量a=(1，5)，b=(3，2)，求，求a在在b方向上的正射影的数量。方向上的正射影的数量。713| cos,|13a baa bb川东大竹海 中国竹世界例9已知 ， ，且 与 夹角为120求 ； 与 的夹角。4|a2|bab)()2(ba

12、ba|2|ba aba 五五. .应用举例应用举例向量的长度与夹角问题向量的长度与夹角问题川东大竹海 中国竹世界7123 21323abkkababkabab 例 、已知（， ）， （， ），当为何值时，（）与垂直？（ ）与平行？平行时它们是 同向还是反向？（1）k=19（2） , 反向31k五五. .应用举例应用举例平行与垂直问题平行与垂直问题例10川东大竹海 中国竹世界练习练习: 1、若、若a=(1,2)，b=(-2, ), 且且a与与b的的夹角为钝角，则夹角为钝角，则的取值范围是的取值范围是的坐标。，求点且上，在直线点），（已知点CABCAABCBA3),5 , 4(,11. 2）或（1

13、7,14-)19,16(4-1且川东大竹海 中国竹世界特别注意：特别注意：00cos0为锐角或ba为钝角或0cos0ba 由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共线。川东大竹海 中国竹世界4、已知 O，N，P 在ABC所在平面内，且,0OAOBOC NANBNC， 且PA PBPB PCPC PA，则点 O，N，P 依次是ABC的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心,0OAOBOCOABCNANBNCOABC由知为的外心；由知， 为的重心; 00,PA PBPB PCPAPCPBCA PBCAPBAPBCP，同理，为 ABC的垂心， 思考：C川东大竹海 中国竹世界向量垂直的判定向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（向量平行的判定向量平行