2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第六章不等式学案

1、第六章不等式第 1 课时 一元二次不等式及其解法重温激材芬实基础 课前”考点引领、婆畫点理自主学习掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系并能灵活运用.模型. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.会解含参数的一元二次不等式.1. （必修 5P 练习 2（2）改编）不等式 3x2 x 4W0的解集是 _ .答案：凶K xw324解析：由 3x x 4 0,得（3x 4）（x + 1）w0,解得一 K x0 的解集是_.答案：歆|x1（21解析： 2x x 10,.（2x + 1）（x 1）0,.x1 或 x0 的解集为 _.答案

2、：x| 3x12解析：原不等式可化为x + 2x 30，得3x0 对一切实数 x 恒成立，则实数k 的取值范围是_ .答案：k2 或 k 22解析：由 = 4 4（k 3）2 或 k0的解集是| -,-，则不等式 x bx av0 的解集是J23答案：x|2x3解析：由题意知一 2, 1 是方程 ax2 bx 1 = 0 的根，所以由根与系数的关系得a = 6,22解得 b = 5,不等式x-bx-av0即为x-5x+6V0,解得2x0（或v0）.因此，可以通过 y = ax2+ bx + c（a丰0）图象与 x 轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如表所示:考点新知 会从实际情境中抽象出一元

3、二次不等式1a，2二次隔数”元二 次方程一元二次不尊 It股 式y = + Aj- +c(a 0)6=bl-4urajr-+hx + t = 0(u0)UJ1bx +c0axL+0m疋=工？X工；x)/V rTgy0(a0)的算法过程将原不尊式化成般殆云血坤肛十心(KQD)题根1 一元二次不等式的解法解关于 x 的不等式：ax2+ (a 2)x 20.#.Vi) )町不等式雜齊舟(xSRl- *-Y求h稈住上+bx+t-0方4i-dx2+A.+=0的两个实数很口巧泣有实玻根题型分娄深度剖折课中技巧点拨要盍导学各个击破1解：当 a= 0 时,3原不等式化为 x+ K0,解得 xw1.4等式的恒成

4、立问题)22)设函数 f(x) = mx mx 1.(1)若对于一切实数 x, f(x)0恒成立，求 m的取值范围；(2)若对于 x 1 , 3 ,f(x) m+ 5恒成立， 求 m的取值范围. 解：若 m= 0,综上，4mc 0.要使 f(x) 5 在 x 1 , 3上恒成立，即1 ?3、mx + 4m 60 时，g(x)在1 , 3上是增函数， 所以 g(x)max= g(3) ? 7m- 60,6 6所以 m7，所以 0m7;当 m= 0 时，一 60 恒成立；当 m 0 时，原不等式化为当 av0 时，原不等式化为2当 a -1，2当 a =-1，当 av1,a综上所述，当 2 =x|

5、x 亍或 xw1/av a=2 时,2 时,2xa2xa (x+1)w0.2解得一 1wxwa;%+1) 0,解得x a 或x-1解得 x = 1；” m 2 解得-w x 2 时,;当一 2vav0 时，不等式的解集为的解集为x|x = 1;当 av2 时，不等式的解集为1;当 a 0 时，不等式的解集为f 2x|-wxw 1 :当 a= 2 时，不等式f214 时，一君一vxv十2a,a x/a2 4a 亠 a+ fa2 4a当 av0 时，xv或 x2a2a题型2 一元二次不要使 mf mx- 10 恒成立， 显然10;mQ2解得一 4mQ = m + 4mQ若 0,5所以 g(x)ma

6、x= g(1) ? m- 60, 所以 m6,所以 m2,_ 23)(1)已知函数 f(x) = x + ax + b(a , b R)的值域为0 ,+)，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为x|mx0 恒成立，则实数 a 的的值域为0,+),2ab 7 =0， f(x)ax+2 丿 c,即一|- cx0,26 m(x x + 1) 60,所以 ms .x x+ 16 6因为函数y=px x +1. - 2(解法 2)因为 x x + 1 =在1 , 3上的最小值为刁所以只需237+ 4ma恒成立，求实数(2)当 x 2, 2时，f(x)a恒成立,解：(1)当 x R 时，f(x)a恒成

7、立，即=a 4(3 a)w0,解得6a恒成立, 立，令 g(x) = x + ax + 3 a, 0, 0,a 的取值范围； 求实数 a 的取值范围.x2+ ax+ 3 a0对任意实数 a的取值范围是6, 2.x 恒成立，则即 x + ax + 3 a 0 对任意 x 2, 2恒成ig(-2) 0解得7 0,題型3 三个二次之间的关系)例取值范围是答案：(1) 9a|a 3解析:a22a4.(1)由题意知 f(x) = x + ax + b= |x + b 丁 f(x)/ f(x) (x + 2x) = g(x)恒成立.而 g(x) = (x + 2x) = (x + 1) + 1 在1,+s

8、)上单调递减, g(x)max= g(1) = 3，故 a 3.实数 a 的取值范围是(一 3,+).备选变式(教师专享)1, 1 是方程 x2+ px+ q= 0 的两实数根,_21212不等式 qx + px + 1 0 可化为一 gx + x + 10，即 x x 6v0，解得一 2vxv3,2 不等式 qx + px + 1 0 的解集为x| 2vxv3.題型,4 一元二次不等式的应用)Z1,4)一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为 p= 160 2x,生产 x 件的成本 R= 500+ 30 x(元).(1)(2) 解:该厂月产量多大时，月利润不少于1

9、300 兀？当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？2(1)由题意知，月利润 y= px R,即 y = (160 2x)x (500 + 30 x) = 2x + 130 x500.由月利润不少于1 300 元，得一 2x2+ 130 x 5001 300, 即卩 x2 65x + 900W0,解得20WxW45,故该厂月产量在 2045 件时，月利润不少于 1 300 元.亠2|65 Y 3 225(2)由(1)得，y= 2x + 130 x 500= 2 x 三 +,由题意知，x 为正整数，故当 x = 32 或 33 时，y 最大为 1 612 ,所以当月产量为 32 或 3

10、3 件时，可获得最大利润，最大利润为1 612 元.备选变式(教师专享)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品 x(百台)，总成本为 G(x)(万元)，其中固定成本为 2 万元，并且每生产 1 百台的生产成本 为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本)；销售收入 R(x)(万元)满足：R(x)=一 0 4x+4.2x0.8,0WxW5,假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题.10.2 , x5,(1)要使工厂有赢利，产量 x 应控制在什么范围内？(2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？解：依题意，G(x) = x+ 2，设利润函数为 f(x

11、)，贝 U产2(2)/ x1,+s)时，f(x)x2+ 2x+ ax0 恒成立，即2x + 2x + a0 恒成立,已知答案:解析:x2+ px+ qv0 的解集为制2x 0 的解集为 _x|2vxv32 x + px + qv0 的解集为由根与系数的关系得12=P，- 2 =q,解得1p=6180.4x+3.2x2.8,0WxW5,f(x)=8.2 x, x5.(1)要使工厂有赢利，即解不等式f(x)0 ,当 0WXW5时，解不等式一0.4X2+3.2x 2.80 ,2即 x 8x + 70,得 1x7,. 15 时，解不等式 8.2 x0,得 x8.2 ,二 5x8.2.综上所述，要使工厂

12、赢利，x 应满足 1x8.2，即产品产量应控制在大于100 台，小于820 台的范围内.(2) 当 OWx5 时，f(x) 0? 2x 1,得函数的定义域为(一 2, 1.I厶2.(2017 苏锡常镇一模)已知集合 U= 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, M= x|x2 6x + 5 0,x Z，则？uMA_.答案：6 , 7解析：M= x|1 x 0,所以 5 x 1 , x 4，则一 2 x 0,4.已知函数 f(x) =i2则不等式 f(f(x)3的解集为_.|x + 2x, x0 ,答案：x|x 0时，f(f(x)= f( x) = ( x) 2x 3，即(x 3)(x +

13、1) 0,解得 2 2 2 2 20 x 3;当一 2vxV0 时，f(f(x) = f(x + 2x) = (x + 2x) + 2(x + 2x) 3,即(x + 2x 1)(x2+ 2x + 3) 0,即一 2VxV0; 当 x 2 时，f(f(x)= f(x2+ 2x) = (x2+ 2x)2 3，解得 x 2.综上，不等式的解集为x|x 0,2i 2若 f(3 a)Vf(2a)，则实数 a 的取值范围是x2x,xv0,答案：(3, 1)2.定义在 R 上的运算：x*y = x(1 y)，若不等式(x y)*(x + y)v1 对一切实数 x 恒成3.1.已知函数 f(x)解析：3 a

14、2画出如图，2a，解得3vav1.f(x)的图象,/ f(3a2)vf(2a),10，则实数 y 的取值范围是答案：一 1 31 2，2 丿解析：2 2 2 2/ (xy)*(x+y)=(xy)(1xy)=xxy+yv1, /. y+yvxx+1,223 一 13要使该不等式对一切实数x 恒成立，则需有y + yv(x x + 1)min=4，解得yv?.11_ 23._ 已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0时，f(x) = x -4x，那么不等式 f(x + 2)5 的解集是_ .答案：x| 7x3222解析：令 x0,vx0时，f(x) = x 4x,. f( x) = ( x

15、) 4( x) = x + 4x.又 f(x)为偶函数，2,x2 4x, x 0, f( x) = f(x)，二 x0 时，f(x) = x + 4x，故有 f(x) = &2再求 f(x) 0,x0,的解，由=2得 OWxv5;由2得一 5x0，即 f(x)5 的解集为(一 5,5) 由x 4x5,x + 4x5 ,于 f(x)向左平移两个单位即得f(x + 2)，故 f(x + 2)5 的解集为x| 7x3 4._已知函数 f(x) =x + 3ax 1 ,g(x) = f (x) ax 5,其中 f (x)是 f(x)的导函数.对 满足Kawl的一切 a 的值，都有 g(x)0，

16、则实数 x 的取值范围是 _.f 2-3x x 20,2即*2解得一石x1.3x + x 80, ax + bx + c0 ,应先讨论 a 与 b 的大小再确定不等式的解，解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程的根的情况)，三写(写出不等式的解集).3.应注意讨论 ax2+ bx + c0 的二次项系数 a 是否为 0.4.要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想.分类讨论要做到“不重” “不漏”“最简”的三原则.备课札记23 j)解析：由题意，知答案:g(x) = 3x ax + 3a 5，令 (a) = (3 x)a + 3x 5, 1waw1.

17、对1waw1,恒有 g(x)0，即 (a)0 , (1) 0,(1) 0,2. (必修 5P86练习 2(1)改编)不等式组*x+ y0,所表示的平面区域的面积是iXW3答案：25解析：直线 x y+ 4= 0 与直线 x+ y= 0 的交点为 A( 2, 2)，直线 x y + 4= 0 与直线 x =3 的交点为 B(3 , 7)，直线 x+ y = 0 与直线 x= 3 的交点为 C(3, 3)，则不等式组表示的 平面区域是一个以点A( 2, 2) , B(3 , 7) , C(3, 3)为顶点的三角形，所以其面积为SABC1=X5X10=25.x0,y 0,3. 设实数 x, y 满足

18、 则 z= 3x + 2y 的最大值是 _.x+yw3,2x + y x ,4. (必修 5P89练习 2 改编)设变量 x , y 满足约束条件：(X + 2ykx+ b 表示直线 y= kx + b 上方的平面区域, y 0,所表示的平面区域的面0wxwt3积为 2,则答案:t 的值为解析:交点 B(t ,ywx+1,不等式组y 0,所表示的平面区域如图中阴影部分所示由0wxwtt + 1).在 y = x+ 1 中，令 x = 0 得 y = 1,即直线 y = x+ 1 与 y 轴的交点为 C(0 ,(1 +t+1)XtI，得 t2+2t-3=0,解得 t=11).由平面区域的面积S=

19、合题意，舍去).。变式训练Jj1A/”=+ L摻若不等式组x+y-2W0,x+2y-20,x-y+2m0答案：1解析：如图,y = x + 1,解得x = t ,一4表示的平面区域为三角形，且其面积等于 3,则要使不等式组表示的平面区域为三角形，则-2m 0,ELI,2)设变量 x, y 满足 x+ y 30,则目标函数 z = 2x + 3y 的最2xy3W0,小值为;x+y 0,(2)变量 x, y 满足约束条件 x 2y+ 20,若 z = 2x y 的最大值为 2，则实数 m=!mx yw0.答案：7(2) 1解析：(1)作出可行域如图所示，目标函数 z = 2x+ 3y 的几何意义是

20、直线 y = |x + 在y 轴上的截距为彳，因此 z 的最小值也就是直线截距的最小值，平移直线 y = fx,经过点 B(2,331)时，Zmin= 2X2+ 3X1= 7.x + y 0,(2)如图所示，目标函数 z = 2x y 取最大值 2，即 y = 2x 2 时，画出*表x2y+20示的区域，由于 mx y0,yw2.(1)若 z = ，求 z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；x(2)若 z = x2+ y2，求 z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围.xy+1w0,解：由 x0,作出可行域，如图中阴影部分所示.yw2,答案：15/t/ Xyy(1) z =表示可行域内任一

21、点与坐标原点连线的斜率，因此的范围为直线 0B 的斜率到xx一x y + 1 = 0, 一直线 OA 的斜率(直线 OA 的斜率不存在，即 Zmax不存在)环得 B(1 , 2)，二 k0By= 2,2=1 = 2,即 Zmin= 2,. z 的取值范围是2 , +m).(2) z = X2+ y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.因此X2+ y2的值最22xy+1=0,小为 oA(取不到)，最大值为OB.由弋得A(O, 1),x = 0,0A2= 02+ 12= 1, 0 扌=12+ 22= 5.Zmax= 5, Z 无最小值. z 的取值范围是(1 , 5.題型匚 1,3 线

22、性规划的实际应用)EX1,3) 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料 3吨，B 原料 2 吨，生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，销售每吨乙产品可获得利润3 万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过 13吨，B 原料不超过 18 吨，求该企业可获得的最大利润.12x+3y3w0,1.（2017 课标H）设 x, y 满足约束条件2x 3y + 30,贝Uz = 2x + y 的最小值是y + 3 0,解：设甲、乙两种产品分别需生产z 万元，则 z= 5x + 3y.由题意可得,3x+yw13,2x + 3y 0,

23、y 0.作出可行域如图所示.由图可知当z = 5x+ 3y 经过可行域中的点(3 , 4)时，直线 z = 5x+ 3y 在 y 轴上的截距最大，故该企业可获得的最大利润Zmax= 5X3+ 3X4= 27（万兀）.回克性规划町实玩商用一x, y 吨，利润为答案：1512192. (2017 南京、盐城)已知实数 x,解析：目标函数即 y= 2x+ z，其中 z 表示斜率为 k = 2 的直线系与可行域有交点时 z= 12 3= 15.y满足彳x+yW7，则;的最小值是-X + 2 1,贝 U z = 3x 2y公yw0,的最小值为答案：5解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,易求得 A

24、( 1, 1) , B 3，越大，z 就越小，所以当直线 z= 3x 2y 过点 A 时，z 取得最小值, 1)2X1= 5.|x | 在 y所以 i 的最小值为 3X(轴上的截距x 1，4. (2017 无锡期末)设不等式 x yw0,表示的平面区域为x+yW4M 内的点，则实数 k 的取值范围是_ .答案：2 , 5解析：由约束条件作出可行域，如图阴影部分所示.因为函数M.若直线 y= kx 2 上存在y= kx 2 的图象是过点A(0， 2)，且斜率为 k 的直线 I，由图知，当直线 I 过点 B(1 , 3)时，k 取最大值 5,当直线 I 过点 C(2 ,2)时，k 取最小值5 20

25、21精融题屋丄型導)|yWx1,1.已知实数 x, y 满足 xw3, 则 z = 2x y 的最大值是x + y 4,答案：5解析：作出可行域如图阴影部分所示，发现当直线z= 2x y 过点 C(3, 1)时，目标函数z 取最大值，且最大值为 5.2.若实数 x, y 满足 y x 10,若不等式 4x2+ y2 axyW0恒成立，则实数 a 的最 y 4 0,y4w0,yy 4x得2wxw4.由已知得a】+则实数a的最小值为 5.y 4xx+4y13W0,4.已知变量 x, y 满足约束条件 2y x+ 10, x + y 4 0, 个点(x , y)使目标函数 z = x + my 取得

26、最小值，则 答案：1且有无穷多mi=解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示.L -04-13=0 2 3 45 6若 m= 0，则 z= x，目标函数 z = x + my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若222311 z说 0,则目标函数z=x+rny 可看作斜率为-m 的动直线 y 一 mx+mi若 m0,数形结合知使目标函数z = x + my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；1一若 m0,则m0(0,0, kx + b(,0 时，求目标函数 z= ax + by+ c 的最值的步骤：(1)作出可行域；(2)作出直线 lo： ax+ by = 0;(3)平移

27、直线 10： ax+ by = 0,依可行域判断取得最值的最优解的点；(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最值.3.常见的非线性目标函数的几何意义：(1),x2+ y2表示点(x , y)与原点(0 , 0)的距离；(2), (x a)2+( y b)2表示点(x , y)与点(a , b)的距离；y(3)三表示点(x , y)与原点(0 , 0)连线的斜率值；y b(4)表示点(x , y)与点(a , b)连线的斜率值.备课札记x a|騷难指岂/24第 3 课时 基本不等式（对应学生用书（文）、（理）9798 页）.二重溫教材夯实基破,课前考点盲 要蛊梳理自主学习：?1S J

28、tffi考点靳舟）咚菽少*套存夸夸少*吝实再*寻少衿*寻夸*專直夸球夸少*晦夸少审寻夸审*总*来夸余审寻事审吝*夸来来少*亩寻BBSE1._（必修5F99练习 4 改编）若实数 a, b 满足 a+ b = 2,贝U3a+ 3b的最小值是 _ .答案：6解析：由基本不等式，得 3a+ 3b2：3a 3b= 2 3a+ b= 6，当且仅当 a= b= 1 时取等号, 所以 3a+ 3b的最小值是 6.12._（必修5Pi05复习题 9 改编）若 f（x） = x+ - 2（xV0），贝Uf（x）的最大值为 _X答案：423._ (必修5屜复习题10改编)若 x 3，则 x+ x3 的最小值为 _

29、.答案：2 2 322 ! 2解析： x+30,.x+x=(x+3)+x32(x+3)Xx3=2 頁3,解析: 因为 xT7 三a恒成立，所以ax12* I .又 T=Wx 十 3x 十 1 max x + 3x 十 11x + 一十 3x1 1x =-，即 x = 1 时等号成立，所以 a5.5.（原创）已知 a0, b0,若不等式-十二2 1m2叫恒成立，则 m 的最大值为a b 2a+ b答案：9解析：原不等式恒成立等价于(2a+ b) I ，而|+1i(2a 十 b) = 5+2b十半_minva b/a bmin 5 十 2. 2b 2a=9,当且仅当a= b 时等号成立.所以m 0

30、,b 0;(2)等号成立的条件：当且仅当等号；(3)结论：两个非负数 a, b 的算术平均数不小于其几何平均数.3.几个重要的不等式(1)重要不等式：a2+ b2 2ab(a , b R).当且仅当 a = b 时取等号.abwa= b 时取等号.ab(a , b R)，当且仅当a= b 时取等号.备课札记2651已知 x2)在 x= a 处取最小值，则 a =_ .x 2答案：(1)1(2) 351(1解析：(1)因为 x0，则 f(x) = 4x- 2 + x二 5 =- 5-4x + 頁不 + 32，所以 x 20,则 f(x) = x+ 口 = (x 2) + 口 + 22/ (x 2

31、)21+ 2 = 4,当且仅当 x 2=，即 x= 3 时取等号.x 2所以当 f(x)取最小值时，x = 3, 即卩 a= 3. 。变式训练9、 2y 9x/2y 9x厂由题意可得 x+2y=(x+2y)x+y =19+719+2厂19+6 2，当且仅当乎=牛,即9X2=2y2时取等号，故 x+加的最小值为19+62.2通过常数代1 通过配凑法)1)若4vxV1，求2x 2x+ 21解： 2x 2= 2 4Vxv12x 2x + 2二、宀的最大值.2x 2(x 1)2+111x= 2(x1)+xI=1(x 1) 0,0.(x 1)从而(X1)+-2,-(X1丿1; 12 ( x 1 )1W1

32、,当且仅当一(x 1)=，即 x = 0 时取等号.即(x 1 )备选变式(教师专享)19正数 x, y 满足-+ = 1.x y求 xy 的最小值；求 x + 2y 的最小值.1 9鬥_91(1)由 1 = - + -2得 xy 36,当且仅当-=x y x yx(1)解:2x 2x + 21+( x 1 )=1.2x 2 max9y，即x=2，y=18时取等号,題型要点导常各个击就利用基本不等式求最值27换法或消元法利用基本不等式求最值)28822)(1)已知 x0, y0 且 x+ y = 1,则-+ -的最小值为(2) 已知 x0, y0, x + 3y + xy = 9，则 x +

33、3y 的最小值为 _.答案：29解析：(1) 186(1)(常数代换法)/ x0y0 且 x + y= 1, 8+2=x y+ y) = 10 +8y+2x 10 + 2 x y8yx2x=18. y8y 2x=，即 x = 2y 时等号成立， x y218 2当 x = , y =石时，-有最小值 18.33x y9 3y由已知得 x=.1 + y(解法 1 ：消元法)当且仅当x0，y0 ,y0 , y0,. 9 (x + 3y) = xy = gx (3y) 0，则 t + 12t 1080, (t 6)(t + 18) 0.又 t0 , t 6.故当 x= 3, y = 1 时，(x +

34、 3y)min= 6.。变式训练(1)已知正实数 x, y 满足 xy + 2x + y = 4，则 x + y 的最小值为_(2)若 x, y (0 ,+)且 2x+ 8y xy = 0，则 x+ y 的最小值为答案：(1) 26 3 (2) 184 2x6解析：(1)由 xy + 2x + y = 4,解得 y =x+，贝 V x+ y = x 2+ x+1 = (x + 1) +x+1326 3，当且仅当 x=6 1 时等号成立.(2) 由 2x+ 8y xy = 0，得 2x+ 8y = xy, 82、 8y 2xX+y=(x+y)x+厂10+7+厂10+22 8+ =1,y x4y

35、x+一10+2X2xy4yxy=18,当且仅4y x当，即 x= 2y 时取等号.又 2x+ 8y xy = 0,二 x = 12, y = 6,即当 x= 12, y = 6 时，x + y 取最小值 18.题型3 基本不等式与函数的综合应用)3) 已知函数 f(x)2x + ax + 11-1-(a R)，右对于任意xN,f(x)3恒成立，则 a 的取值范围是30(8、x + 3.8*设 g(x) = x+ -，x N .x g(x)在(0 , 2 农上单调递减，在2 寸 2,+m)上单调递增，而 xN,Ag(x)在 x 取距离 2 2 较近的整数值时达到最小，而距离 2 2 较近的整数为

36、 2 和 3,且 g(2) = 6, g(3)=亍41x+x+3x2=xy + 6x2,答案：|-3,解析：对任意-pmx N*, f(x)3恒成立，即2 x + ax + 11x+ 1可得 g(2)g(3), g(x)min=178、 8- - x+x +3- 3,故 a 的取值范围是3。变式训练要制作一个如图的框架(单位：m),要求所围成的总面积为19.5 m1 2,其中四边形 ABCD是一个矩形，四边形 EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h = AB, tan / FED=3，设 AB= x m , BC=y m.(1)求 y 关于 x 的函数解析式；怎样设计 x, y 的长度，才能使所用

37、材料最少?解:H H(1)如图，作 DHLEF 于点31/ x 0, y0,所求解析式为 y= I9-0vxv65.2x 6 i533(2) 在 Rt DEH 中，Ttan /FED-,Asin / FEB?45DE =基丄 5=5x,sin / FED 236，设框架的周长为 I m.395=2y+6x=厂 3x+6x AB = 3 m, BC= 4 m 时，能使整个框架所用材料最少.湮型匚I,4 基本不等式的实际应用）ELI,4）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成的按设计要求扇环面的周长为 30 m,其中

38、大圆弧所在圆的半径为10 m.设小圆弧所在圆的半径为 x m 圆心角为9（弧度）.（1）求9关于 x 的函数解析式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求 y 关于 x 的函数解析式，并求出 x 为何值时，y 取得最大值.解：(1)由题意可得，30=9(10 + x) + 2(10 x)，所以9=(0vxv10).10 十 x所以当 x = 1 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.备选变式（教师专享）去年冬季，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销.某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为

39、 8 元，月销售 5 万只.（1）据市场调查，若售价每提高 0.5 元，月销售量将相应减少 0.2 万只，要使月总利润 不低于原392x0,解得 0vxv工6565则 l = (2x + 2y)5+2Xx+639x当且仅当3913即 x= 3 时取等号,此时 y392x5x = 4,6装饰总费用为x1 2+ 5x 十 50170+10 x=99（10 十 x）十 8（10 x） = 170 十 10 x，所以花坛的面积与装饰总费用的比x2 5x 5010 (17 十 x)丄103243t尸而当且仅当 ty=18时取等129= 1122X3x+2 23答案：732来的月总利润（月总利润=月销售总

40、收入一月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？33(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价投入 w(x 9)万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每只售价每提高51.(2017 苏北四市模拟)若实数 x, y 满足 xy + 3x = 3 0 xv是_.答案：8313111解析：由已知得 x =,而 0 x 3.则：+= y + 3+= y 3+y 十 32x y 一 3y 一 3y 一 3x(x 9)元，并0.5 元，月销售量将相应减少0.2(x 8)则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.解：(1)设每只售价为x 元(x8)x 85研X0

41、.2 (x 6) (8 6)X5,二378 25 (x 8)5答：当 x = 10 时,2.4 0.4x 1x 8 5x+T -、26,2(x5-4x 85(x8) + -5-x 8，即 x = 10 时取等号，ymax= 14.6) (x 9)=74+ 5=4，当且仅当2555 (x 8)5下月的月总利润最大，且最大利润为14 万元.13411解析：由 x+y=1得 X+2+y+1=4, xT2 + yT7 =；+ 1 +4Jxf+x 1(5 + 4) = 4,当且仅当 1ii = 9y + 1 min 4.x + 2 + y + 1) = 442 1x =2, y = 3 时取等3. (2

42、017 泰州、南通模拟)若正实数 x, y 满足 x + y = 1,则?+牛的最小值是答案:解析:8y41 x 4_+ _ =xy xy+ = -+4(x + y) 1=y+4x+ 48.当且仅当-=4x，即幺 Wx yx y1 x=-,y =3 y2 时取等号.4. (201a 217 苏锡常镇二莫)已知 a, b 均为正数，且ab- a-2b=0，则才-2 + b2的最小值为号即答案：7343“、1 、十 68,当且仅当 y= 4, x =刁时等号成立.即一十=8.7幺 y 3 _min352a2+b422a 221 a2_ +b 匚=-7+b17.4a b 45. (2016 江苏卷)

43、在锐角三角形 ABC 中，若 sin A = 2sin Bsin C ，贝 U tan Atan Btan C 的最小值是.答案：8解析：(解法 1)Tsin A = 2sin Bsin C , sin A = sin(B + C)= sin Bcos C + cos Bsin C , / sin Bcos C +cos Bs in C = 2s in Bsi n C ,两边同除以 cos Bcos C，可得 tan B + tan C = 2tan Btan C ,tan B + tan Ctan Atan Btan C = tan(B + C)tan Btan C = tan Btan C

44、 =1 tan BtanC22 (tan Btan C )解析：Ta , b 均为正数，且ab a 2b= 0, 即卩 a+ 2b = ab,. - + b = 1.a b2 2则冷a+bb=I+/1.当且仅当 a= 4, b = 2 时取等号.2+b2 8，当且仅当a= 4, b= 2 时取等号.7.忽视最值取得的条件致误)1 2典例 (1)已知 x0, y0,且 x + y = 1，贝 U x + y 的最小值是 _3(2) 函数 y= 1 2x(xv0)的最小值为 _.x易错分析：(1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件.如：xy 2 2 , x + y 2 xy 4 2,. (x

45、+ y)min= 4 2.(2)没有注意到 xv0 这个条件，误用基本不等式得2x +2 6.解析：(1) / x 0, y 0,x+y=(x+y) 1+* 2=3+气3+22(当且仅当 y= .2x时取等号),a一2b2b- a1 -b+tan Ata n Bta n C 8,当且仅当 tan A = 2tan Btan C = 4 时取等号.363,4，利用线性规划，可知z= 3x + 8y 分别在 （2 , 3）和 3, 4 处取最值，可得3a；8b的取值范围是27 , 30.ac c c f 54. (2017 无锡期末)已知 a0, b0, c2，且 a + b = 2,贝 U +

46、的最小值为b ab 2 c 2答案：，10+ ,5ac c c /5 ia 115解析：由a0,b0,c2,且a+b=2,得 ac+不-2+c2=cb+爲-2+三当 x = ；2 + 1, y = 27：/.2 时，(x + y)min= 3 +2:：.、:23(2)/ xv0,. y = 1 - 2x-= 1 + ( - 2x) +1+ 2 (-2x ) -x = 1 + 2 护,等号，故 y 的最小值为 1 + 2 6.答案：（1）3 + 2 2（2） 1 + 2 6特别提醒：（1）（2） 尽量避免多次使用191._ 已知正数 a, b 满足+ -=yab- 5，贝 U ab 的最小值为

47、_ab，得 ab ab-60,解得 /ab6, ab36.2.已知牛取最小值时，实数 a的值是答案：-解析:21 * |a|a+屮1 a2|a| b 4|a| bb = 4 时等号成立.3. （2017 南京三模）已知 a,b,c 为正实数，且 a+ 2b 8c,232 3a + 8b計萨c，则 V 的取值范围是_.答案：27 , 30解析：因为 a，b，c 为正实数,a 2 b2a+2b8c的左右两边同除以c，得 a+/8；对 a+32,2c 3cw-的左右两边同乘 c,得一+ 0,Iy 0,ax = _,c.x0,y 0,y=b，则条件可转化为x + 2yw8,再进行化简，可得 x + 2

48、yw8,2 3 + -_+,2 2x 233转化为线性规划的问题，画出可行域，对y= 2+2 求导，并令导函数值为-8 可得切点横坐标为 3，代入曲线，计算出切点坐标为当且仅当 x=-a+ b = 2,1= 3，当且仅当 a=- 2,卜丄+乩一1 + 24|a|4|a| b 437=10+5.当且仅当 c= 2+ 2 时等号成立.疑唯指m/m/a + ba, b R,而一厂 ab 成立的条件是 a0,时要注意公式成立的前提条件.2.在运用基本不等式时，要特别注意拆、 拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“一正”（即条件中字母为正数）“二定”（不等式的另一边必须为定值）“三相等”（等号取得的条

49、件）.3.正确理解定理：“和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小”.4.连续使用公式两次或以上，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.5.掌握函数 y = ax+ -（a0, b0）的单调性，特别是当运用基本不等式不能满足“三相X等”时.备课札记c（2a2+2ab）卜吕由 2=上乎）2,可得22( a + b)亠22a + ab222a + 2 ab25a + b2abc 222ab2ab葺誥二#，当且仅当 b = 5a 时等号成立，则原式-25c +52=，訂（c 2）4ab1+ +1c 21. a2+ b2 2ab 成立的条件是b 0,使用(c 2 )丄 + 1 c 238第 4

50、课时 不等式的综合应用（对应学生用书（文）、（理）99100 页）.二重溫教材夯实基破,课前考点盲 要蛊梳理自主学习：?1S Jtffi考点靳舟）咚菽少*套存夸夸少*吝实再*寻少衿*寻夸*專直夸球夸少*晦夸少审寻夸审*总*来夸余审寻事审吝*夸来来少*亩寻回归教材41._ （必修5RO2习题 7 改编）函数y = x + -（x丰0）的值域是 _X4,47-=4 ;当 x pq，所以方案丙提价 最多.（1、x|3.设 x R, f（x）=；，若不等式 f（x） + f（2x）Wk对于任意的 xR 恒成立，则实数 k 的取值范围是_ .答案：k22 84.（必修5PW6复习题 16 改编）已知 x

51、0, y0 且满足+ - = 1,贝 U x + y 的最小值是答案：18 伦 8、2y 8x(掌握不等式的综合应用；掌握基本不等式的综合应用；掌握不等式与其他函数方程等知识的综合应用.解决应用性问题的基本思路：读题（背景、结论）一条件一建模一解题一反思一作 答.答案：(一a,4U4,+)4解析：当 x0 时，y = x + x次提价%其中 pq0,上述三种方案中提价最多的是解析：不等式转化为kA冈 +|2x,因为1|x|2 (0,1，所以 kA2.39解析： x0, y0, x + y = (x + y) += 2 + 8+ A10+ 2 16= 18,当且仅x yxy2y 82 8当一=时

52、等号成立.又-+-= 1 , 当=6, y = 12 时，x+ y 有最小值 18.yx yocxi-思疋魁媳 6Aqe.OA哮JOA(L十哮)0哮)J品o+yAe + q+BHqe亘粵CXIAq十eeoAq02曲直s(oo+ol -Mw亘o+q+enqeBq 6報HT.9412解：由 x x 20 得 xv1 或 x2,由 2x2+ (5 + 2k)x + 5kv0 得(2x + 5)(x + k)v0, 因为一 2 是原不等式组的解，所以kv2.亠亠 5由(2x + 5)(x + k)v0 有一vxvk.因为原不等式组的整数解只有一 所以一 2v kw3, 故 k的取值范围是 。变式训练际

53、问题中的应用)中 k 为常数，且 60wkw100.(1)若汽车以 120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过 9 L ,求 x 的取值范围；(2)求该汽车行驶 100 km 的油耗的最小值.解：(1)由题意，当 x = 120 时，1x k+由1x 100 + 45wxw100./ 60wxw120,60wxw100.课中技巧点拨要点导常各个击就題型分翼谦度剖析1 含参数的不x+ 5kv的解集中所含整数解只有-2,2,即一 3wkv-3,2).ax 1 0 (a x + 1解：原不等式等价于(ax 1)(x 当a = 0 时，解关于 x 的不等式当 a

54、 0 时,当 av0 时,若-v1,a若- = 1,a若-1,a+ 1) 0.由一(x + 1) 0，得 xv1;x (x + 1) 0，解得 xv1 或 x -;a ，ax-a (x+1)v0；1不等式化为不等式化为即一 1vav0,则一vxv1 ；a即 a=- 1,则不等式解集为空集;1 即av 1,则一 1vxv-.af. 1av1 时，解集为 1x| 1x-；a= 1 时，原不等式无解；1vav0 时,.1aJ2 不等式在实11x 0 时，解集为，x|x=乙路行车安全，要求2) 某辆汽车以 x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公60wxw120)时，每小时的油耗(所需要

55、的汽油量)为1x k +4 500 x，其4500=11.5，所以 k=100.xw9,得 x2145x+4 500w0,解集综上所述,42（2）设该汽车行驶 100 km 的油耗为 yL ,则100y=1令 t=J，则 t|百4 500 x: 1 11 120，60 J=2020k+90 00(60wxw120).:x x2( k y = 90 000t 20kt + 20= 90 000 t 9k9 000|r_150 90.k9 000k2，即 x =时，ymin= 20 ；9 000k9001105 k即 60wkv75,则当 t = ，即 x = 120 时，ymin=.120462

56、0為L；当60wkVk对称轴为直线 t = 9000.T60wkw100,1k1右 9 0001202若丄,9000120答：当 75Wk0, y 0,则二+y的最小值为.xy当且仅当x=型，即 y xx + 8y的最小值为xy16y=18,x1答案：.2 1yx y 1解析：设=t0贝 U+-=一解析:设 x10,则 x + 2y+x 1 + 2t1 1 2 1y=时取等旦x号3.若 x, y, z 均为正实数，且2x2+ y2+ Z2=1，则丄佥严的最小值为答案：3+ 2 2 解析：x, y, z 均为正实数，且y 时取等号，则2 2(z +1)(1 + z)1 + z11rp = 3+

57、2 . 2.当且仅2xyz z (1 z ) z (1 z)31+z)3 2 住1 + z当 z = 2 1, 即卩 x = y= . 2 1 时，取得最小值 3 + 2 2.414.已知 xy 0，且 x + y 2xy，当且仅当 x =答案：9解析：由Tx , y 均为正实数， xy = 8+ x + y8+ 2 xy(当且仅当 x= y 时等号成立)，即 xy 2 xy 80,解得 xy 4，即 xy 16.故 xy 的最小值为 16.变式训练1 x已知 x+ y= 1, y0, x0，则7 的最小值为2x y+1答案：541 xx + y x 1 y 1 y解析：将 x + y= 1

58、代入厂+ 中，得 + +.设=t 0,则原式2x y+ 12x x+ 2y 2 2x 2y x1 +x2 21 +11 2t + 3t + 31(1 + 2t ) + 2t + 1 + 4141=+=一(1+2t)+1 X21+ 2t 2 (1 + 2t )41 + 2t41 + 2t4+ 1)-)11+ 2t+ 2tX245461平行四边形 ABCD 的面积为S?ABC=2X X1X2sin 1201-L/3当点 F 与点 D 重合时，SACFE=CE- CD- sin 120 =x.1SACFE=4S?ABCD E 是 BC 的中点.当点 F 在 CD 上时，1SACFE=sin 1202

59、1 CF =_.x在厶 CFE 中，EF= CE+ CF 2CE- CF- cos 120 y = 寸 x2+ *+ 13，当且仅当 x= 1 时取等号, 此时 E 在 BC 中点处且 F 与 D 重合，符合题意；当点 F 在 DA 上时, DF = 1 x.(i) 当 CE DF 时，过 E 作 EG/ CD 交 DA 于 G,在厶 EGF 中，EG= 1, GF= 2x 1,ZEGF= 120。，由余弦定理得 y= , 4x2 2x +1 ;由（i） , （i）可得 y= .4x2 2x + 13此时 E 在 BC 的八等分点（靠近 C）处且 DF= 4 百米，符合题意; 由414 (x

60、y) x+ 3y4 (x y)xV3y(X + 3y) + (x y)x + 3yx y5当且仅当 2（x y） = x + 3y，即 x= 5y= 3 时，取得最小值5. （2017 苏州期中）如图，有一块平行四边形绿地ABCD 经测量 BC= 2 百米，百米，/ BCD= 120,拟过线段 BC 上一点 E 设计一条直路 EF（点 F 在四边形 ABCD 勺边上， 不计路的宽度），EF 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3 倍设 EC = x 百米，EF=y 百米.（2）当点 F 与点 D 重合时，试确定点 E 的位置; 试求 x 的值，使路 EF 的长度 y 最短.CD = 1解:13=一