2018年高中数学黄金100题系列第65题空间角的计算理

1、I 题源探究黄金母题第65题空间角的计算【例 1】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD_底面 ABCD,PD=DC 点 E 是 PC 的中点，作 EF_ PB 交PB 于点 F.(1)血 槪业丄盘皿于点弘刼珂制也OhF血DLlhBg卜卜.酗甌皿D罡 机fiftgGltitiE方飛的中心加G輕断加?*E且屁 ZF,丽铳孰-扫所UFJBSECJiRl PA/.tC. Fl EQC平面TB,巨FA征平顾EIflP0ft PM平面EDD.只丽甜砂也t = 0用臥皿丄临ffiEH EF丄PE冃EFfDE-Er忻Cl. PH丄平质QT-(3)解 :已知 PB_ EF,由可

2、知 PB_ DF,故 EFD 是二面角 C-PB-D 的平面角.设点 F 的坐标为(x,y,z),则PF = (x, y, z -1)因为PF =kPB,所以PB DF=0,所以（1,1,- 1） （k,k,1 -k）=k+k-1+k=3k-1=0,所以(1)求证:PA/平面 EDB;求证:PB _平面 EFD;(3)求二面角 C-PB-D 的大小.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)600.【解析】如图所示建立空间直角坐标系，点 D 为坐标原点设 DC=1.又点所以E 的坐标为FE-?6一1 1 2F 的坐标为（一，,）o3 3 31 1（0,畀），2 21 1 ,），因为 6cos/EF

3、D =TFE FDFE FD1、 /1126333.6、6-*-63即.EFD=6(f,即二面角16 11 23C-PB-D 的大小为 60.【点睛】 直线与平面平行与垂直的证明.面角大小的求解是高热点中的热点，几乎每年必考，而此 例题很好的展现了，用向量方法证明直线与平面 平行与垂直，还给出了用向量方法求二面角的大 小.II 考场精彩真题回放【例 2】【2017 课标 II 理 10】已知直三棱柱3丄三C丄1三iCi中，1=2 ,0- 2,角的范围。【例 3】【2016 高考浙江】如图，已知平面四边形.MC = CCi=1，则异面直线亠与三Ci所成角的余弦值ABCDAB=B(=3,Ct=1,

4、AB.百,/AD(=90.沿为()155直线ACD羽折成丄CD，直线AC与三D【答案】C【解析】分析：如图所示，补成四棱柱ABCD -ABGD,BCQ,；BG= 72,则所求角为BD = 221 -2 2 1 cos600二.3,O1AB1因此cos BC1D二,故选COD、G【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方 法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面 问题来解决，具体步骤如下：1平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所 成的角；2认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计 算：求该角的值，常利用解三角形；(it取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,，当I

5、 2所作的角为钝角时， 应取它的补角作为两条异面直线所成 的角。求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成【答案】【解析】分析：设直线AC与BD所成角为.设O是AC中点，由已知得AC 6，如图,以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由A(O,fo),B(-2,0,0),C(O,f,O),作DH _ AC于H，翻折过程中，DH始终与AC垂直，CH=CA6=，则OH，DH*；琴，因此可设Dcos：,-630 .、, sin：),3则BDJ亘cos-互6 2.630亍)，uirr与CA平行的单位向量为n = (0,1,0),45uuur r所以cos日=c

6、os z【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与C匸平行的单位向量n和三D， 进而可得直线.-.C与三D所成角的余 弦值，最后利用三角函数的性质可得直线-.C与三D所成角的余弦值的最大值.【例 4】【2017 浙江 9】如图，已知正四面体D- ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P, Q R分别为AB BC CA上D- PR- QD.3 Y a【答案】B【解析】 设O为三角形ABC中心， 则O到PQ距离 最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高 相等【例 5】【2017 课标 3 理 16】a,b为空间中两条 互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直，斜边AB以

7、直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：1当直线AB与a成 60角时，AB与b成 30角；2当直线AB与a成 60角时，AB与b成 60角；3直线AB与a所成角的最小值为 45;4直线AB与a所成角的最小值为 60.其中正确的是_ .（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由AC _ a,AC _ b，又ACL圆锥底面，在底面内可以过点B,作BDU a，交底面圆C于点D,如图所示， 连结DE贝UDELBD二DELI b,连结AD等腰ABD中，AB = AD二杠2,当直线AB与a成 60角 时， ABD =60,故BD=厲,又在RtAB D E中

8、，BE =2, DE r 2，过点B作BF/ DE交圆C于点F,连结AF,由圆的对称 性BF =DE =-；2 , .ABF为等边三角形，- ABF =60，即AB与buuurBDnuuurBD n3、9 - 5cos :-所以cos：COST取最大值，则C.a 3 Y的点，AP=PBQC 2，分别记二面角6成 60。角，正确， 错误.由最小角定理可知正确；7很明显，可以满足平面ABCL直线a,直线AB与a所成的最大角为 90,错误.正确的说法为.【例 6】【2017 课标 1 理 18】如图，在四棱锥P-ABCD中,AB/CD，且.BAP二.CDP = 90.AB(1) 证明：平面PABL平

9、面PAD(2) 若PA=PD=AB=DCAPD=90，求二面角APBC的余弦值【解析】分析：(1)根据题设条件可以得出AB丄AP CDL PD而AB/ CD，就可证明出ABL平面PAD进而证明平面PABL平面PAD(2)先找出 AD 中点，找出相互垂直的线，建立 以F为坐标原点，FA的方向为X轴正方向，|AB |为单 位长，的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设n n= (x, y,z)是平面PCB的法向量，m m= (x,y,z)是平面PAB的法向量，根据垂直关系，求出n= (0, -1，-.2)和m m= (1,0,1)，利用数量积公式可求出二面角的平面角解析：(1)由已知.BAP=.

10、 CDP =90，得A吐AP CDL PD由于AB/ CD，故ABL PD，从 而ABL平面PAD又ABu 平面PAB所以平面PABL平面PAD(2)在平面PAD内作PF _ AD，垂足为F， 由(1)可知，AB_平面PAD，故AB_ PF， 可得PF_平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如 图所示的空间直角坐标系F-xyz.由(1)及已知可得A(上2,0,0)，P(0,0,2)，2 2B-2,1,0），Ce-,1,0）.所以2 2PC=（-巨,1,-辽），CB=（.20,0），2 2PA2），AB = （0,1,0）设n = (x, y, z)是平面P

11、CB的法向量，则n鸯0，即nCB =0.2池-x y _ z = 022,2x = 089可取n=(0, 1,、2).设m m= (x, y, z)是平面PAB的法向量，则PA =0可取m=(1,0,1).cosy =0I n |m|3所以二面角A - PB - C的余弦值为【名师点睛】 高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键【例 7】【2017 课标 II 理

12、19】如图，四棱锥RABCDK侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD1AB =BC AD, BAD二/ABC =90,E是PD的中2点。(1) 证明：直线CE/平面PAB(2) 点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角M - AB - D的余弦值。EDB【答案】(1)证明略;【解析】分析：取PA的中点F,连结EF,BF，由题意证得CE/BF，利用线面平行的 判断定理即可证得结论；(2)建立空间直角坐标 系，求得半平面的法向量：m=：0,6,2,n二0,0,1，然后利用空间向量的结论可求得二面角MABD的余弦值为解析：(1)取PA的中点F，连结EF,BF。因为E是PD的

13、中点，所以1EF/AD,EF AD,2由.BAD ABC二90得BC/AD，又1BC AD,2所以 EF丄BC。四边形BCEF为平行四边形，CE/BF。又BF平面PAB,CE二平面PAB,故CE /平面PAB。1011(2)由已知得 BA_AD,以 A 为坐标原点，AB 的方向为面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是x =,y =1,z =3i；3 。设m n分别为平面 a ,3 的法向量，则二面角 B 与m n互补或相等，故有|cos 0 | =|cos|=m n。求解时一定要注意结合由，解得xd2y = 1。.6z二2所以M1,1理,从而AM二、2 6则 A 0,0,0 , B 1,0

14、,0 , C 1,1,0 , P 0,1, 3 ,PC =（1,0, 一 3）, AB =（1,0,0） ,设x0, y0,z0是平面 ABM 的法向量，则mAM二0,设M x, y, z 0 x 1则mAB二0,BM= ：x -1,y, z , PM hx,y 1,z - .3,因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 452一、2 X。2y 丘=0,ix= 0,=0,0,1是底面 ABCD 勺法向量,所以可取m= 0, -1 6,2。所以cos：BM , n = sin45；,于是cos m,n =m n 102 2 2x _1） +y +z2因此二面角M- AB -即x -12y2-z2

15、=0。【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平又 M 在棱 PC 上，设PM VPC,则利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。x轴正方向， AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐12量，则mAC=0,ELAE =同理可得m m= 0, -13.0,(1)证明：平面ACD_平面ABC为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA为(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD( (4 43 3 ) )可取n=n=1, ,1.设m是平面AEC的法向I 3丿实际图形判断所求角是锐角还是钝角。【例 8】【2017 课标 3 理 19】如图，四面体ABCDKAB

16、C是正三角形，ACD是直角三角形，/ABD/CBD AB=BD由题设及(1)知，OA,OB,OC两两垂直，以O分成体积相等的两部分，求二面角D- AE- C 的余弦值.近【答案】证明略；(2)7.【解析】(1)由题设可得，.ABDMQBD,O O - -xyz则A 1,0,0 ,B 0, . 3,0 ,C -1,0,0 , D 0,0,1由题设知，四面体 ABCE1的体积为四面体 ABC 啲体积的丄，从而 E 到平面2从而AD= DC,又-ACD是直角三角形，所以-ACD=900,取 AC 的中点 O,连接 DO,B0则 DOLAC,DO=AO又由于 ABC 是正三角形，故BO _ AC.所以

17、DOB为二1ABC 勺距离为到平面 ABC 勺距离的2即 E 为 DB 勺中点，得 E 3,-.I 2 2面角D-AG B的平面角.在 Rt AOB 中，故= -1,0,1 ,BO2+AO2=AB2.又AB =BD，所以BO2DO=BO2AO=AB2=BD2, 故.DOB=90：.所以平面 ACDL 平面 ABC.(2)AC二-2,0,0 ,AE二设n = x, y,z是平面DAE的法向量,AD郴AE=0,x + z = 0,.73 .1-x y z = 0。2 2单位长，建立如图所示的空间直角坐标系13【母题评析】 需要明确运用空间向量法求解二面角的基本 步骤，建系，找点求出法向量，向量数量

18、积求二面角余弦【思路方法】思路方法上；运用空间向量坐标运算求空间 角的一般步骤为：建立恰当的空间直角坐标系；求 出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计贝V cos n,mn mHH所以二面角D-AE-C的余弦值为7.7精彩解读【试题来源】 新课标人教 A 版 选修 2-1 第 109 页，例题 4【命题意图】 考察空间想象能力及推理论证和计算能力，转化思想。【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择填题或解答题的形式出现，难度中档 【难点中心】 关于空间角计算的难点在于，概念不清， 在较为复杂的几何环境下无法准确的找出 空间角对应的平面角。即空间想象能力不足。14III 理

19、论基础解题原理1.空间角的概念考点一异面直线所成的角(1)定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点0作直线a/a,b/b,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.范围：0, nn.考点二直线和平面所成的角(1) 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.(2) 范围：|0, n .当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90和 0.考点三二面角(1 )定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任 取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射寸线，

20、这两条射线所构成的角叫做二面角 的平面角.范围：10,7：12.用向量求空间角的方法：(1)线线角：直线与直线所成的角贝UCOST=|coa,b |.贝U sinJ=|coa, n.(3)面面角：两相交平面所成的角0，两平面的法向量分别为n1,n2,则COS0 =|COSm, n2|.判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况来决定COS0 =|COSm,n2 | 还是COS0 =|COSm, n2 |.IV .题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选填题或解答题的形式出现，难度中档。【技能方法】1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平

21、行线平移；利用 特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.2 .线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中 求解.0，如两直线的方向向量分别为a,b,(2)线面角：直线与平面所成的角0，如直线的方向向量为a,平面的法向量为n,153 利用综合法求线面角与二面角的步骤：(1) 找：根据图形找出相关的线面角或二面角.(2) 证：证明找出的角即为所求的角.(3) 算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角.【易错指导】两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角 可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.V.举一反三

22、触类旁通 考向 1 空间线与线所成的角【例 1】【2018 哈尔滨模拟】如图，正方体ABCDABGD中，点M是AB的中点，贝U DB与CM所成角的余弦值为()B.1570C.157FD.155【解析】建立如團所示的空间直甬坐标系设正方f本棱长为2,则城24宀)口竝那(220) )4叽劭二CM=(2, -1, 0),2)fCM DiE_2_V15|CM| |D|辰2更155 谒与CM所成角的余弦值为芈、故选 Ucos A M B【答案】C16【例 2】【2018 兰州模拟】已知直三棱柱 ABC-ABC 中，/ ABC= 120, AB= 2, BC= CG= 1，则异面直线 AB与 BC 所成角

23、的余弦值为 _.【答案】-45【解析】方法一；建立如團所示的空间直甬坐标系则心,6 o)5 o)也(U M(弓右1)所滋皿,坯兮当j故异面直线成角侮弦。音嚅方法二：如图，将该直三棱柱补充成直四棱柱，其中CD/ AB且CD= AB,则可得AB/DC且AB=DC,图中/BCD即为异面直线AB与BC所成的角或所成角的补角在BCD中，BC =2,DQ5,BD=寸 4 + 1 2X 2X 1X 2=萌，所以cos /BCD=.故异面直线AB与BC所成角的余弦值为.105_2 + 5 3_2X；2517【例 3】【2018 海淀区校级期末】如图，在直四棱柱ABCt ABCD 中，底面 ABCD 是边长为

24、2 的正方形，E,F 分别为线段 DD, BD 的中点.(1) 求证：EF/平面 ABCD;(2) 四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的外接球的表面积为 16n，求异面直线 EF 与 BC 所成的角的大小.【答案】2【解析】 连接BDi,在ADDIB中，E、F分别为线段DD叭BD的中点， 二EF为中位线，二EF/D1B, DiBc面ABCiDj EFQ面ABC1D1,二EF /平面ABCiDij（2）由（1）知 EF/DiB,故/DiBC 即为异面直线 EF 与 BC 所成的角，四棱柱 ABCD- ABCD 的外接球的表面积为 1 6n ,四棱柱 ABCD- A B CiD 的外接球的半径

25、 R=2,设 AA=a，则.-1 j. = 0疗十0设直线皿?与平面血F所成的角为a a、则3叔 Wsx ，无A|=I旳 =: |-|50| 2因此直线BCBC与平面/BF所成的角为彳，设点H （u,v,w），因为点H在棱PC上，所以可设PH = PC（0：1）,即（u, v, w - 2） = （2,1, -2），所以u=2，,v=，,w = 2- 2，,因为向量n是平面ABF的法向量，所以nAH =0,24 2 2即（0,-1,1） *（2,，,2-2，） = 0，解得 ，所以点H的坐标为（一，,），33 3 3所以PH = （4）2（2）2（2）2=2.V 333考向 3 二面角【例 1

26、】【2017 山东理 17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点(I)设P是CE上的一点，且AP _BE，求.CBP的大小;(n)当AB =3,AD =2，求二面角E-AG-C的大小.【答案】(I). CBP =30 (n)60.【解析】试题分析：(I )利用府丄月眄证得占E丄平面血P,利用玉 PuPu平面血巴 得到BEBEP Pf f结合30120可得ZCBPZCBP(II)两种思路，一是几何法，二是空间向量方法，其中思路一：取 亜的中盘 H H , ,连接咼GGHGH , ,V得四边形BEHCBEHC为菱形，30

27、得到AEAE = = GEGE CC 二 GCGC 二肘+于=、砖.取AG中点M，连接EM,CM,EC.得到EM _ AG,CM _ AG,从而.EMC为所求二面角的平面角据相关数据即得所求的角思路二：以B为坐标原点，分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系写出相关点的坐标，求平面AEG的一个法向量口=(捲，,乙)平面ACG的一个法向量n =(x2,y2,z2),计算cos：m, n巴卫-即得|m |n | 2试题解析：(I)因为AP_BE,AB_BE,AB,AP二平面ABP,ABp| AP = A, 所以BE_平面ABP，又BP二平面ABP,所以BE _

28、 BP，又EBC =120，因此CBP =30(n)解法一：31A取EC的中点H，连接EH,GH,CH.因为.EBC =120，所以四边形BEHC为菱形,所以AE二GE二AC二GC = ,3222= ,13.取AG中点M，连接EM,CM,EC.则EM _ AG,CM _ AG，所以.EMC为所求二面角的平面角.又AM -1，所以EM =CM、莎刁=2 ._3.在BEC中，由于EBC=120,由余弦定理得EC2=2_ 22-2 2 2 COS120 =12，所以EC =2、3，因此.EMC为等边三角形，故所求的角为60.解法二：AD以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，

29、建立如图所示的空间直角坐标系 由题意得A(0,0,3)E(2,0,0)，G(1八3,3)，C(1八3,0)，故AE =(2,0, -3)，AG =(1八3,0)，32CG =(2,0,3),、mAE=0为3乙=0,设m=（xi,yi,zj是平面AEG的一个法向量.由可得_jm，AG = 0 x x3yi= 0,取Zi=2，可得平面AEG的一个法向量m（3,-、.3,2）.设n =(X2, y2, Z2)是平面ACG的一个法向量n AG = 0 x2r 3y2=0,jn CG = 02x23z2-0,取互-2，可得平面ACG的一个法向量n =(3, - 3, -2).所以cos：m, n叮-.因

30、此所求的角为60.|m| n| 2【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等【例 2】【2016 高考新课标 1 卷】如图，在以A B C D E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形,AF=2FDNAFD=90，且二面角DAEE与二面角C-BE-F都是60.（I ）证明：平面ABE巳平面EFDC（II ）求二面角EBGA的余弦

31、值.【答案】（i）见解析（ii）2 = 191933【解析】分析： 先证明AF丄平面EFDC結合AFu平面ABEF,可得平面ABEH丄平面EFDC . (II)* +建立空间坐标系汾别求出平面BCE血去向量m m以平面BCE的法向量n n再刹用cos(朿mm=专?求二面甬一试题解析：1) )由已知可得AF丄DF.AF丄FE所以AF丄平面EFDC .又AF u平面ABEF，故平面ABEF丄平面EFDC (II)过D作DG 1EF,垂足为G，由(1)知DG丄平面ABEH .以G为坐标熄点吊的方向为x轴正方向闵为单位长度琏豈如图所示的空间直角坐标系G-砂.由(I)知6E为二面SD-AF-E的平面角*

32、故ZDFE- = 60s|DF| = 2,|DG|= 3,PJ得*(1,4.0),B H 4E(7 0?0),D (a a 列由已知，厶2/；：F,所以厶2/平面I FDC又平面 二ECD平面上FDC =DC,故丄三/CD,CD/；：F由2；:ZF,可得M.平面:FDC ,所以.C F为二面角C-2：-F的平面角 C；：F =60；.从而可得C -2,0,-、3.所以C =1,0, 3，悝=0,4,0，丄C二 一3,-4,.3，-4,0,0设n= x,y,z是平面2C；：的法向量，则；，C一,即n E =0 x . 3z = 04y =0所以可取n司3,0,-、3设m是平面三CD的法向量，则m

33、二 一0“ AEJ =0同理可取n mm=0,3,4.贝U cos；n,m.：=n m = 2.19192、1919故二面角上-2 C -上的余弦值为3435【例 3】【2018 佛山模拟 】如图 2，三角形PDC所在的平面与 长方形ABCD所在的平面垂直，PD = PC = 4,AB =6,BC =3.点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG = 2GB.(1) 证明：PE _ FG；(2) 求二面角P- AD - C的正切值； 79 .5【答案】(1)见解析；(2)3； (3)25.【解析】(I证明：丁PD=PCEPD=PCE为CD的中点，二PELDCPEL

34、DC , ,又平面PDC1.PDC1.平面ABCDABCD , ,且平面PDCViPDCVi平面ABCDABCD = = CDCDf fPffu平面PDC,二PE丄平面ABCD,ABCD,又FGu平面ABCDABCD , ,二PEPE丄FGFG (2)TABCD是矩形，AD丄DC,又平面PDC丄平面ABCD,且平面PDCCl平面ABCD二CD,AD平面ABCD, AD_ 平面PCD，又CD、PD二平面PDC,. AD _ DC,AD _ PD,PDC即为二面角P_ AD _C的平面角,在Rt PDE中,PD =4,DEAB =32PE二PD2- DE27(3) 求直线PA与直线FG所成角的余弦

35、值.36tanPDC旦二二-DE3即二面角P AD C的正切值为3；(3)(3)如下團所示，连接AC,AC,J E-/ / AF=1FBAF=1FB , ,CG -2GB即仝匚=2,FBFB GBGB二ACHFG,ACHFG,二为直线刃与直线加所成角或其补釦在APACAPAC中，PAPA = = -JPD-JPD2 2ADAD2 2=57ACAC = =V+CD1= 3；9.5直线PA与直线FG所成角的余弦值为25【跟踪练习】1.【2018 湖南师大附中模拟】如图 6,四棱柱ABCA1BiCiD1的所有棱长都相 等，AC C1BD=O,ACiriBiDi=Oi,四边形ACCiA 和四边形BDD

36、E为矩形.(1)证明：O1O_ 底面ABCD;若.CBA =60,求二面角Ci-OBi-D的余弦值.田ftcos/PAC =由余弦定理可得2 2 2PA AC- PC2 PA AC5 3、52一42_兰253.525?3738【解析】证明:丁四棱柱ABCDABCD一砧GUGU的所有棱长都相等二四边形ABCDABCD和四边形4月均为菱形v/CDRD=04GgDRD=04GgD =0=0“ ：. .0Q分另U为BO】。中点v四边形ACC.A.ACC.A.和四边形BDDBDD、BB为矩形00YH CCYHBBY且eq丄AaBBAaBB丄RDRD , ,二00丄BD,OQ丄/C又vACfBDACfBD

37、= 0且ACAC: :BDBDU 底面ABCDABCD , , ：.O.Oq丄底面期CD法 1:过Oi作BiO的垂线交BiO于点H,连接HOi,HC不妨设四棱柱ABCD - ABQiDi的边长为2a.：001_底面ABCD且底面ABCD /面AiBiCiDiOOi面A BiCiDi，又*OiC面AiBiCiDi.pOiCi丄0Oi四边形A BiG Di为菱形OCI丄OIB又；*0iCi 00i且00( 0iCi= 0i,0i0,0iBi匚面0BQ一 面0BQ，又，耳0面0BQ，耳0 _ 0iCi又7日0 _01H且01Cjl 01H =01,01C1,0iH面01HC1 BQ面01HC1，-

38、01HC1为二面角G -OBD的平面角,则cos 0iHC1HHC1CBA=60且四边形ABCD为菱形【答案】详见解析2.571939O1C1:二a,B1O1二.3a, OO1二2a, B0二.BQ；OO1二.7a,则OjH法 2:因为四棱柱ABCD -AB1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形,因此AC _ BD,又0Q_面ABCD,从而OBQCQQ两两垂直，如图以0为坐标 原点，OB, 0C, 001所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立三维直角坐标系，不妨设AB = 2,因为ECBA=60,所以0B = 3,0C = 1,于是各点的坐标为：0 0,0,0启-3,0,2 , G

39、0,1,2,已知口 =0,1,0是平面BDD1B1的一个法向量，设n2二x, y,z是平面OB的一个法向量，则仏竺二0,3x 2z=0,取z.$3,则X =2,y =23n_OC0y 2z =0所以n2=（2,2屈一石），cos日=cos v n n2S2 .【2016 高考新课标 2 理数】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0,AB=5,AC=6，点E,F5分别在AD,CD上，AEMF：，EF交BD于点H再由ClHCi的勾股定理可得则COS/OJHCJO1HHC12. 21a2、5719,所以二面角G -OBi- D的余弦值为2, 57192.571919=BQisinOiBQ =

40、BQi _jO1_B1OHCi*OiH2OiG272/572540所以可以取n=0, -3,1.于是cos：m, nz14_ _ 7、5、50 10252/95sin：m, n =.因此将DEF沿EF折到D EF位置，ODJIO.(I)证明：D H平面ABCD；(n)求二面角BDAC的正弦值.2,9525.因此EFEF丄 ,从而EFEF丄D Dr rHABHAB= , MC =石得=4由EFUACEFUAC得鬻二蛊斗馭込一于是。推+曲占+如,故D Dr rH H OHOH y.Dy.Dr rH H LEFLEF,而OHrsEFOHrsEF = = H H7 7所以丄平面4BCD(II )如图，

41、以H为坐标原点，HF的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系H - xyz,可以取m = 4,3, -5.设n二x2,y2,勺是平面ACD的法向量，则n竺一，即6x2-0n AD = 03x2+ y2+3Z2= 0【解析】订)由已知得ACLBD,ACLBD, ADAD叫又由込餌得乔二耐故的曲一则H 0,0,0,A -3, -2,0,B 0, -5,0,C 3,-1,0,D0,0,3,AB二（3,二6,0,0,AD 3,1,3.设口=为，,乙 是平面ABD的法向量，则m AB二0g Im AD = 0即眦-4%、3为 +yi+ 3z（=0，所以【答案】(I)详见解析;|m| |n|41面角B一D

42、 A _C的正弦值是95253.【2017 北京理 16】如图，在四棱锥P-ABCD，底面ABCD正方形，平面PADL平面ABCD点M在线段PB上，PD/平面MAC PA=PD=，AB=4.（I ）求证：M为PB的中点；【解析】分析： （I设交点为瓦 连接磁，因为线面平行，PD打平面血。根据性质走理, 可般戋线平即PDPD! ! 1M1ME E冷为月辺的中点，所以M为期的中点只II）因为平面丄平面ABCD,ABCD, PAPD,PAPD,所以取如的中点O为嫌点建立如團空间直角坐标系，根据向量法先求两平面的法向量，辰和 兀再根据公式co5”，求二面角的大小，（皿根据（II）的结论，直接求Mtf=|cos| -解析：解：（I ）设AC, BD交点为E,连接ME因为PD/平面MAC,平面MAC Pl平面PBD =ME，所以PD/ME.因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点（II ）求二面角BPDA的大小;【答案】（I）详见解析:3；（）竿42