初中数学经典题型

1、38综合知识讲解目录1.1初中数学的特点.1.2怎么学习初中数学.1.3如何去听课.1.4几点建议.第二章应知应会知识点.2.1代数篇.2.2几何篇.第三章 例题讲解.第四章 兴趣练习.4.1代数部分.384.2几何部分.第五章复习提纲.第一章绪 论I.1 初中数学的特点1._2._3._4._5._6._7. _8._9._10._II._12._13._14._15._16._1.2怎么学习初中数学1，培养良好的学习兴趣。两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，干一件 事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意学，喜 欢学，这就是兴

2、趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达 到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数学学习中，我们把这种从自发 的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为 数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？（1） 课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。（2） 听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老 师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养 思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。（3） 思考问题注意归纳，挖掘你学习的

3、潜力。（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的?5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理解切实可 * ，在应用概念判断、推理时会准确。2，建立良好的学习数学习惯。习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习 数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、 好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复 习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外

4、学习几个方面。学生在学习数学的过程中，要 把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保 证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。3，有意识培养自己的各方面能力 。数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决 问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要 注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、 智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的 实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学

5、习、理解、 训练、应用中得到发展。特别是，教师为了培养这些能力，会精心设计“智力课”和“智 力问题”比如对习题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类，应用模型、电脑等多媒 体教学等，都是为数学能力的培养开设的好课型，在这些课型中，学生务必要用全身心投 入、全方位智力参与，最终达到自己各方面能力的全面发展4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。学好初中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握 的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想， 转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系 数、数学归纳法、分析法

6、、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实 验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽 象与概括等。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵 循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进 退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。5、逐步形成“以我为主”的学习模式。数学不是老师教会的，而是在老师的引导下，自己主动的思维活动去获取的。学习数 学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新 精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，

7、胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫 折的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问 题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题 多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”，只看 书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出 来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。6、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施。记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中扩展的课外知 识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以 便今后将

8、其补上。建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做 到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错 误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。1.3如何去听课认真听好每一节棵。要上好每一节课，数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和规律总结 的习题课，有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识，掌 握学习数学的方法。概念课要重视教学过程，要积极体验知识产生、发展的过程，要把知识的来龙去脉搞清楚， 认识知识发生的过程，理解公式、定理、法则的推导过程，改变死记硬背的方法，这样我 们就能从知

9、识形成、发展过程当中，理解到学会它的乐趣；在解决问题的过程中，体会到 成功的喜悦。习题课要掌握“听一遍不如看一遍， 看一遍不如做一遍， 做一遍不如讲一遍， 讲一遍不如辩 一辩”的诀窍。除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主 动、大胆地讲给大家听，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。在听课 时要注意老师展示的解题思维过程，要多思考、多探究、多尝试，发现创造性的证法及解 法，学会“小题大做”和“大题小做”的解题方法，即对选择题、填空题一类的客观题要 认真对待绝不粗心大意，就像对待大题目一样，做到下笔如有神；对综合题这样的大题目 不妨把“大”拆“小”，以“退”

10、为“进”，也就是把一个比较复杂的问题，拆成或退为 最简单、最原始的问题，把这些小题、简单问题想通、想透，找出规律，然后再来一个飞 跃，进一步升华，就能凑成一个大题，即退中求进了。如果有了这种分解、综合的能力， 加上有扎实的基本功还有什么题目难得倒我们。复习课在数学学习过程中，要有一个清醒的复习意识，逐渐养成良好的复习习惯，从而逐步 学会学习。数学复习应是一个反思性学习过程。要反思对所学习的知识、技能有没有达到 课程所要求的程度；要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法，这些数学思想方法是如何 运用的，运用过程中有什么特点；要反思基本问题 （ 包括基本图形、图像等 ） ，典型问题有 没有真正弄懂弄通

11、了，平时碰到的问题中有哪些问题可归结为这些基本问题；要反思自己 的错误，找出产生错误的原因，订出改正的措施。在新学期大家准备一本数学学习“病例 卡”，把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”，并且经常拿出来看看、想想 错在哪里，为什么会错，怎么改正，通过你的努力，到高考时你的数学就没有什么“病 例”了。并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行，通过运用，达到深化理解、发展 能力的目的，因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举一反三、 熟练应用，避免以“练”代“复”的题海战术1.4几点建议1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的 课外知识

12、。如：我在讲课时的注解。2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取 做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把 错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。3、记忆数学规律和数学小结论。4、与同学建立好关系，争做“小老师”，形成数学学习“互助组”。5、争做数学课外题，加大自学力度。6、反复巩固，消灭前学后忘。7、学会总结归类。从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类。总之，对初中生来说，学好数学，首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学，积极展开思维的翅 膀，主动地参与教育全过程，充分发挥自己的主观能动性，愉快有效地

13、学数学。其次要掌握正确的学习方法。锻炼自己学数学的能力，转变学习方式，要改变单纯接受的 学习方式，要学会采用接受学习与探究学习、合作学习、体验学习等多样化的方式进行学 习，要在教师的指导下逐步学会“提出问题实验探究开展讨论形成新知应用反 思”的学习方法。这样，通过学习方式由单一到多样的转变，我们在学习活动中的自主 性、探索性、合作性就能够得到加强，成为学习的主人。第二章 应知应会知识点2.1 代数篇一 数与式（一）有理数1有理数的分类2数轴的定义与应用3相反数4倒数5绝对值6有理数的大小比较7有理数的运算（二）实数8实数的分类9实数的运算10科学记数法11近似数与有效数字12平方根与算术根和立

14、方根13非负数14零指数次幂 负指数次幂（三）代数式15代数式 代数式的值16列代数式（四）整式17整式的分类18整式的加减 乘除的运算19幂的有关运算性质20乘法公式21因式分解（五）分式22分式的定义23分式的基本性质24分式的运算六）二次根式25二次根式的意义26根式的基本性质27根式的运算二 方程和不等式（一）一元一次方程28方程 方程的解的有关定义29一元一 次的定义30一元一次方程的解法31列方程解应用题的一般步骤（二）二元一次方程32二元一次方程的定义33二元一次方程组的定义34二元一次方程组的解法（代入法消元法35二元一次方程组的应用加减消元法）（三）一元二次方程36一元二次方

15、程的定义37一元二次方程的解法（配方法 因式分解法 公式法38一元二次方程根与系数的关系和根的判别式39一元二次方程的应用（四）分式方程40分式方程的定义41分式方程的解法（转化为整式方程 检验）42分式方程的增根的定义43分式方程的应用（五）不等式和不等式组44不等式（组）的有关定义45不等式的基本性质46一元一次不等式的解法47一元一次不等式组的解法48一元一次不等式（组）的应用十字相乘法）函数(一)位置的确定与平面直角坐标系49位置的确定50坐标变换51平面直角坐标系内点的特征52平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置53 对称问题：P(x,y)fQ(x,-y )关于 x 轴对称P(

16、x,y)fQ(-x,y)关于 y 轴对称P(x,y)fQ(-x,-y) 关于原点对称54变量 自变量 因变量 函数的定义55函数自变量 因变量的取值范围(使式子有意义的条件56函数的图象：变量的变化趋势描述(二)一次函数与正比例函数57一次函数的定义与正比例函数的定义58一次函数的图象：直线，画法59一次函数的性质(增减性)图象法)60一次函数 y=kx+b(k 工 0)中 k b 符号与图象位置61待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）62一次函数的平移问题63一次函数与一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程的关系（图象法）64一次函数的实际应用65一次函数的综合应用（1）一次

17、函数与方程综合（2）一次函数与其它函数综合（3）一次函数与不等式的综合（4）一次函数与几何综合（三）反比例函数66反比例函数的定义67反比例函数解析式的确定68反比例函数的图象：双曲线69反比例函数的性质（增减性质）70反比例函数的实际应用71反比例函数的综合应用（四个方面 面积问题）四）二次函数72二次函数的定义73二次函数的三种表达式（一般式 顶点式 交点式）74二次函数解析式的确定（待定系数法）75二次函数的图象：抛物线 画法（五点法）76二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）77 二次函数 y=ax2+bx+c（a 工 0）中 a b c 与特殊式子的符号与图象位置关系78求二次

18、函数的顶点坐标 对称轴 最值79二次函数的交点问题80二次函数的对称问题81二次函数的最值问题（实际应用）82二次函数的平移问题83二次函数的实际应用84二次函数的综合应用（1）二次函数与方程综合2）二次函数与其它函数综合3）二次函数与不等式的综合（4）二次函数与几何综合2.2 几何篇1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短7经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行9同位角相等 两直线平行10内错角相

19、等 两直线平行11同旁内角互补 两直线行12两直线平行 同位角相等13两直线平行 内错角相等两直线平行 同旁内角互补三角形两边的和大于第三边三角形两边的差小于第三边 三角形三个内角的和等 180 直角三角形的两个锐角互余 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 全等三角形的对应边 对应角相等 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (AAS) 有三边对应相等的两个三角形全等 (SSS) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角

20、形全等 (HL) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合1415161718192021222324252627282930等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等31等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和高互相重合33等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 6034等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也 相等（等角对等边 ）35三个角都相等的三角形是等边三角形36有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形

21、37在直角三角形中 如果一个锐角等于 30那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42关于某条直线对称的两个图形是全等形43如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对直角三角形两直角边 a b 的平方和 等于斜边 c 的平

22、方 即 a+b=c 如果三角形的三边长 a b c有关系 a+b=c 那么这个三角形是直角三角形 四边形的内角和等于 360四边形的外角和等于 360多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）X180 任意多边的外角和等于 360平行四边形的对角相等平行四边形的对边相等 夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形的对角线互相平分两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行相等的四边形是平行四边形45称464748495051525354555657585960矩形的四个角都是直角61矩形的对角线相等62有三个角

23、是直角的四边形是矩形63对角线相等的平行四边形是矩形64菱形的四条边都相等65菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角66 菱形面积二对角线乘积的一半即 S=(axb) - 267四边都相等的四边形是菱形68对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形的四个角都是直角四条边都相等70正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角71关于中心对称的两个图形是全等的72关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分73如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一 点平分 那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条

24、对角线相等76在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等79经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰80经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边81三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半82梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的 一半L=(a+b) S=L_Xh83如果 a:b=c:d那么 ad=bc如果 ad=bc 那么 a:b=c:d84如果 a/b=c/d那么(a b)/b=(c d)/d85如果 a/b=c/d= =m/n(b+d+n0) 那么(a+c+ +

25、m)/(b+d+ +n )=a/b86三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例87平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例88如果一条直线截三角形的两边 ( 或两边的延长线 )所得的对应线段成比例 那么这条直 线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角 形三边对应成比例90平行于三角形一边的直线和其他两边 ( 或两边的延长线 )相交 所构成的三角形与原三 角形相似91两角对应相等 两三角形相似 (ASA)92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93两边对应成比例且夹角相等 两三

26、角形相似 (SAS)94三边对应成比例 两三角形相似 (SSS)95如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似96相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97相似三角形周长的比等于相似比98相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大

27、于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111平分弦 （不是直径 ）的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧112圆的两条平行

28、弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦的弦心距相等115在同圆或等圆中如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117同弧或等弧所对的圆周角相等 ; 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等118半圆（ 或直径）所对的圆周角是直角 ;90 的圆周角所对的弦是直径119如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形120圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角121直线 L 和。O

29、相交 dvr2直线 L 和。O 相切 d=r3直线 L 和。O 相离 d r122经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123圆的切线垂直于经过切点的半径124经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等130圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等131如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132

30、从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项133从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上135两圆外离 d R+r 两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rvdr)两圆内切 d=R-r(R r) 两圆内含 dvR-r(R r)136相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137把圆分成 n(n 3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形138任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆这两个圆是同心圆139正

31、n 边形的每个内角都等于(n-2)X180 /n140 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形141正 n 边形的面积 Sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长142正三角形面积V3a/4 a 表示边长143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角由于这些角的和应为360 因此 kX(n-2)180 /n=360。化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式：L=nnR/180145扇形面积公式:S 扇形二nnR/360=LR/2146内公切线长 = d-(R-r) 外公切线长 = d-(R+r)【例1】如图 10,平行四边形 ABCD 中，A 吐

32、 5, BO 10, BC 边上的高 AM=4, E 为 BC 边上的一个动点(不与 B、C 重合)过 E 作直线 AB 的垂线，垂足为 F. FE 与 DC 的延长线相交于点 G 连结DEDR(1)求证： BEFACEG(2)当点 E 在线段 BC 上运动时， BEF 和厶 CEG 勺周长之间有什么关系？并说明你的理由.(3)设 BE= x, DEF 的面积为 y,请你求出 y 和 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为 何值时，y 有最大值，最大值是多少？所以B GCE , G BFE所以 BEF CEG(2)BEF与厶CEG的周长之和为定值.理由一：过点 C 作 FG 的平行线交直线 A

33、B 于 H,AVV*第二早例题讲解因为 GFLAB,所以四边形 FHC 助矩形所以 FHkCG FG= CH=3因此，BEF与厶CEG的周长之和等于 BC+ CH BH由 BC= 10, A 吐 5, AMk4,可得 CH= 8, BHk6,GCBFEF BE,5 BE, GE5所以， BEF 的周长是12BE,5又 BE+ CEk10,(3)设 BE= x,5CE,12 ECG勺周长是一CE5因此VBEF与VCEG的周长之和是 24.EF4x, GC53(10 x)51所以y -EFgDG1 432号迄(1x)56222x x 255配方得：y625552121(x孑E所以，当x55时，y

34、有最大值.10 分【例2】 如图二次函数 y = ax2+ bx+ c(a0)与坐标轴交于点 A B C 且 OAk1OB=OC2(1)求此二次函数的解析式.(2)写出顶点坐标和对称轴方程.(3)点MN 在 y= ax2+ bx+ c 的图像上(点 N 在点 M 的右边)且MN x轴 求以 MN为直径且与 x 轴相切的圆的半径.解析过程及每步分值(1 )依题意A( 1,0,B(3,0), C(0,3)分别代入y ax2bx c .解方程组得所求解析式为y x22x 3.2 2(2)y x 2x 3 (x 1)4.顶点坐标(1, 4)，对称轴 x 1(3) 设圆半径为r，当 MN 在x轴下方时，

35、N 点坐标为(1 r,r) 8 分圆的半径为 卫 或1卫 10 分把 N 点代入y x22x 3得r1 717.2同理可得另一种情形r1*172【例 3】已知两个关于X的二次函数yi与讨2,Yia(x k)22(k 0),yx26x 12，当 x k 时，y 17;且二次函数y2的图象的对称轴是直线 x 1 .(1) 求 k 的值；(2) 求函数Y1，Y2的表达式；(3)在同一直角坐标系内，问函数 的图象与Y2的图象是否有交点？请说明理由. 解析过程及每步分值(1)由Y1a(xk)22，Y1yx26x 12得y2(Y-iy2) y1x26x 12a(xk)22x26x 10 a(x k)2.又

36、因为当 x k 时，y217，即k26k 10 17，解得k11，或k27(舍去)，故 k 的值为 1 .(2)由 k 1，得Y2x26x 10 a(x 1)2所以函数Y2的图象的对称轴为x2a 6，2(1 a)于是，有亘61，解得 a 1，2(1 a)所以Y12 2x 2x 1，y22x 4x 11.(1 a)x2(2a 6)x 10 a，2(3)由yi(x 1)2，得函数yi的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1,2);由y 2x24x 11 2(x 1)29，得函数y的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(1，);故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点.【例 4】如

37、图,抛物线y x24x与 x 轴分别相交于点 B 0,它的顶点为 A,连接 AB,把 AB 所的直线沿 y 轴向上平移，使它经过原点 0,得到直线 I,设 P 是直线 I 上一动点.(1) 求点 A 的坐标；(2) 以点AB O P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接 写出这些特殊四边形的顶点 P 的坐标；(3)设以点 A、B、O P 为顶点的四边形的面积为 S,点 P 的横坐标为 x,当4 6.2 S 6 8-、2时,求 x 的取值范围.解析过程及每步分值解：(1)Ty x24x (x 2)24-A(-2,-4)(2) 四边形 ABPO 为菱形时，Pi(-2,4)24四

38、边形 ABOP 为等腰梯形时，Pi(-,-)55四边形 ABPO 为直角梯形时，Pi(4,8)5 5四边形 ABOP 为直角梯形时，Pi(- ,2)55(3)由已知条件可求得 AB 所在直线的函数关系式是 y=-2x-8,所以直线 I 的函数关系式是y=-2x当点 P 在第二象限时，xvO,1 POB 的面积SPOB- 4 ( 2x) 4X2 AOB 勺面积SAOB 4 4 8,2二s SAOBsPOB4x 8(X 0)v4 6、.2 S 6 8、2,S 6 8.24x 8 4 6.24x 86 8、 一22 3.2x21 4 2 S2 x 的取值范围是1 4、222 3.2x2当点 P 在第

39、四象限是，x0,过点 A、P 分别作 x 轴的垂线，垂足为 A、P则四边形 POA A 的面积1AA B 的面积SAAB丄4 242SpoA ASAAB4x 8( x 0)/4 6.2 S 6 8、2,xS462即4x846、2.S6 8.24x86 8.2 x的取值范围是3.2224.21232 224. 2 12【例 4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图 所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利

40、润yi与y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能 获取的最大利润是多少？解析过程及每步分值解：（1）设 ykx,由图所示，函数 ykx 的图像过（1，2），所以 2=k 1， k 2故利润y1关于投资量x的函数关系式是yj=2x ；因为该抛物线的顶点是原点，所以设y2=ax2，由图 12-所示，函数y2=ax2的图像过（2, 2），所以2 a 22，a 2故利润y关于投资量x的函数关系式是y1x2；2（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0 x 8），则投入种植树木（8 x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得121212

41、z=2（8 x）+x2= x22x 16=（x 2）2142 2 2当 x 2 时，z的最小值是 14;因为 0 x 8，所以 2x26所以(x 2)236所以l(x 2)2182所以!(x 2)214 18 1432，即 z 32，此时 x 82当 x 8 时，z的最大值是 32.【例 5】如图，已知A( 4,0)，B(0,4)，现以 A 点为位似中心，相似比为 9:4，将 OB 向右侧放大，B 点的对应点为 C.(1) 求 C 点坐标及直线 BC 的解析式；(2)一抛物线经过 B、C 两点，且顶点落在 x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；(3) 现将直线 BC 绕 B 点旋转

42、与抛物线相交与另一点 P,请找出抛物线上所有满足到直线 AB 距离为3.2的点P.解析过程及每步分值解：(1)过 C 点向 x 轴作垂线，垂足为 D,由位似图形性质可知:AO AB3AACD 二AOBO 4CD 9.由已知A( 4,0)，B(0,4)可知：AO 4,BO 4. AD CD 9 .AC点坐标为（5,9）.直线 BC 的解析是为：以口9 45 0化简得：y x 44 c(2)设抛物线解析式为y ax2bx c(a 0)，由题意得：9 25a 5b c,2b 4ac 014A解得抛物线解析式为yi x24x 4或y2 x2- x 4.2554又Iy2x2-x 4的顶点在 x 轴负半轴

43、上，不合题意，故舍去.255A满足条件的抛物线解析式为y x24x 4(准确画出函数y x24x 4图象)(3)将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P,设 P 到直线 AB 的距离为 h,故 P 点应在与直线 AB 平行，且相距 3.2 的上下两条平行直线l1和12上.由平行线的性质可得：两条平行直线与 y 轴的交点到直线 BC 的距离也为 32 .如图，设 h 与 y 轴交于 E 点，过 E 作 EF 丄 BC 于 F 点,在 Rt BEF 中EF h 3、2,EBF ABO 45,a2ai解得：b1q25b2C2 BE 6 可以求得直线li与 y 轴交点坐标为（0,10）同理

44、可求得直线12与 y 轴交点坐标为（0, 2）两直线解析式l1: yx10;l2: y x2.根据题意列出方程组: y x24x4.y2x4x 4y x 10yx 2解得：X1 6;X21.X32 .x43y16y29y30y41满足条件的点P有四个,它们分别是R(6,16),P2(1,9),P3(2,0),巳(3,1).【例 6】如图，抛物线L1:yx22x 3交x轴于 A、B两.占交八、y 轴于 M 点.抛物线L1向右平移 2 个单位后得到抛物线L2,L2交x轴于 C、D 两点.（1） 求抛物线L2对应的函数表达式；（2） 抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点 N,使以 A，C, M

45、 N 为顶点的四边 形是平行四边形.若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 若点 P 是抛物线L1上的一个动点（P 不与点 A、B 重合），那么点 P 关于原点的 对称点 Q 是否在抛物线L2上，请说明理由.解析过程及每步分值例 7】如图，在矩形 ABCD 中，AB 9 ,AD 3、3，点 P 是边 BC 上的动点(点 P 不与 点 B，点 C 重合)，过点 P 作直线PQ/BD，交 CD 边于Q点，再把PQC沿着动直 线PQ对折，点 C 的对应点是 R 点，设 CP 的长度为x，PQR与矩形 ABCD 重叠部 分的面积为y(1) 求CQP的度数；(2) 当x取何值时，点 R

46、 落在矩形 ABCD 的 AB 边上？(3) 求 y 与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的 ?270 xW23,SACPQiCP CQixg3x于x2,解析过程及每步分值解:(1)如图，Q四边形 ABCD 是矩形,AB CD, AD BC .又 AB 9,AD 3 3,C 90o,CD 9,BC 3.3.BC長otan CDBCDB 30.CD 3Q PQ/BD,CQPCDB 30o.(2)如图 1,由轴对称的性质可知,RPQ CPQ，RP CP .RPQCPQ,由(1)知CQP 30。,RPQCPQRPB 60, RP 2BP .QCP x ,PR x,PB 3

47、3 x.在厶 RPB 中，根据题意得：2(3,3 x) x,解这个方程得：x 2 3.(3) 当点 R 在矩形 ABCD 的内部或 AB 边上时,而r.5加，所以当0 x2乜时，y的值不可能是矩形面积的土；Q RPQ6CPQ，当0 x=小时，yI3当 R 在矩形 ABCD 的外部时（如图 2）,2、3 x3、3,在 Rt PFB 中，QRPB60,PF 2BP 2(3、3x),又 Q RP CP x ,RFRP PF 3x 6 3,在 RtAERF 中,Q EFR PFB 30o,ER .3x 6.13J32SAERF2ER FRTx18x 18、3,Q ySARPQSAERF,x 3-一3时

48、，y.3x218x18、3.综上所述,y 与x之间、.3xy 2、3x218x 18.3(2i3 x 3.3)2(0 x2 3)矩形面积9 3、3 27. 3，当0 x23时函数y于x2随自变量的增大而增大，所以y的最大值是6-.3，而矩形面积的的值当2. 3 x 3,3时，根据题意，得：、3x218x 18.3 7、.3，解这个方程，得x 3.32，因为3二.2 3.3,所以X 3、.3、2不合题意，舍去.所以x 3. 3 ,2.综上所述，当x 3、3.2时，PQR与矩形 ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的727.第四章兴趣练习4.1 代数部分1.已知：抛物线y ax2bx c与 x 轴

49、交于AB 两点，与 y 轴交于点 C.其中点 A 在 x 轴的 负半轴上，点 C 在 y 轴的负半轴上，线段 OA 0C 的长(OAOC 是方程x25x 4 0的 两个根，且抛物线的对称轴是直线 x 1 .(1)求AB C 三点的坐标；(2)求此抛物线的解析式；(3)若点 D 是线段 AB 上的一个动点(与点AB 不重合)，过点 D 作 DE/ BC 交 AC 于点 E,连结 CD 设 BD 的长为 m CDE 勺面积为 S,求 S 与 m 的函数关系式， 并写出自变量 m 的取值范围.S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此 时 D 点坐标；若不存在，请说明理由.2.已知，如图 1,过点

50、 E 0, 1 作平行于x轴的直线 I，抛物线y lx2上的两点A B的横4坐标分别为 1 和 4,直线 AB 交 y 轴于点 F ,过点 A、B 分别作直线 I 的垂线，垂足分别为点 C、D，连接 CF、DF .(1)求点AB、F 的坐标;(2)求证：CF DF ;1(3)点 P 是抛物线y x2对称轴右侧图象上的一动点，过点 P 作PQ丄PO交x轴于4点Q，是否存在点 P 使得OPQ与厶 CDF 相似？若存在，请求出所有符合条件的得到PEC，再在 AB 边上选取适当的点。,将厶 PAD 沿 PD 翻折，得到PFD，使得直线 PE、PF 重合.(1) 若点 E 落在 BC 边上，如图，求点

51、P、C、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；(2)若点 E 落在矩形纸片 OABC 的内部，如图，设OP x,AD y,当x为何值时，y 取得最大值？(3) 在(1)的情况下，过点 P、C、D 三点的抛物线上是否存在点 0,使厶PDQ是以 PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.3.已知矩形纸片 OABC 的长立平面直角坐标系;亍在的直线为x轴，O 为坐标原点建A 不重合)，现将POC 沿 PC 翻折勺4,宽为 3,以长 OA 所P 是 OA 边上的动点(与点4. 如图，已知抛物线y x24x 3交x轴于 A、B

52、两点，交 y 轴于点 C, ?抛物线的对称轴 交x轴于点 E,点 B 的坐标为(1 , 0).(1) 求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；(2) 在平面直角坐标系 xoy 中是否存在点 P,与AB C 三点构成一个平行四边形？若 存在，请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D,在抛物线上是否存在点 M 使得直线 CMC5.如图，已知抛物线y ax2bx 3(0)与 x 轴交于点 A( 1, 0)和点 B (-3, 0), 与 y 轴交于点 C.(1) 求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点 M 问在对称轴上是否存在点卩，使厶 CMF

53、 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.(3) 如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE CE 求四边形 BOC 面积的最 大值，并求此时 E 点的坐标.6.如图，在梯形 ABCD 中，DC / AB, A 90AD6 厘米，DC 4 厘米，BC 的坡度i 3：4,动点 P 从 A 出发以 2 厘米/秒的速度沿 AB 方向向点 B 运动，动点Q从点 B 出发以 3 厘米/秒的速度沿 B C D 方向向点 D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达 终点时，另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为t秒.(1) 求边 BC 的长；(2) 当t为何值时，PC 与BQ相互平分；(3)连结PQ,设厶PBQ的面积为y,探求 y 与t的函数关系式，求t为何值时，y 有最大 值？最大值是多少?、动态几何117.已知： 直线y -x 1与 y 轴交于A,与x轴交于 D,抛物线y- x2bx c与直线交于2 2A、E 两点，与x轴交于 B C 两点，且 B 点坐标为（