第4.4节--似然比检验

1、第第4 4.4.4节节 似然比检验似然比检验一、似然比检验的基本步骤一、似然比检验的基本步骤二、从似然比检验导出正态总体的几二、从似然比检验导出正态总体的几个检验个检验问题引入问题引入 第二节涉及到的假设检验问题，都是依赖总体第二节涉及到的假设检验问题，都是依赖总体为正态分布。总体服从什么分布，一般预先无法知为正态分布。总体服从什么分布，一般预先无法知晓，因而需要对总体的分布进行各种假设。晓，因而需要对总体的分布进行各种假设。 本节将主要讨论对总体分布的假设检验问题，本节将主要讨论对总体分布的假设检验问题，此类问题通常称为此类问题通常称为非参数统计方法非参数统计方法.本文主要介绍其中常见的本文

2、主要介绍其中常见的3种方法种方法.一、一、 拟合拟合检验法检验法. , )( : , )( : , , 1021的一种方法的一种方法的分布函数不是的分布函数不是总体总体的分布函数为的分布函数为总体总体假设假设来检验关于总体分布的来检验关于总体分布的根据样本根据样本的情况下的情况下这是在总体的分布未知这是在总体的分布未知xFXHxFXHXXXn说明说明(1)在这里备择假设在这里备择假设H1可以不必写出可以不必写出.2 检验法的定义检验法的定义2. 1 : )3(为连续型为连续型若总体若总体 X则上述假设相当于则上述假设相当于).( :0 xfXH的概率密度为的概率密度为总体总体 : )2(为离散

3、型为离散型若总体若总体 X则上述假设相当于则上述假设相当于., 2 , 1, :0 iptXPXHii的分布律为的分布律为总体总体. , , , )( , )4(02然后作检验然后作检验然估计法估计参数然估计法估计参数需要先用最大似需要先用最大似但其参数值未知但其参数值未知形式已知形式已知的的若若时时检验法检验假设检验法检验假设在使用在使用xFH 12100001 21 2,(, ,). , () , , , . , , , , .mmiijiiiiiimA AAAA Aiji jmHpP AiknANpHn 将将随随机机试试验验可可能能结结果果的的全全体体 分分为为个个互互不不相相容容的的事

4、事件件于于是是在在假假设设下下 我我们们可可以以计计算算在在 次次试试验验中中 事事件件出出现现的的频频率率与与往往往往有有差差异异 但但一一般般来来说说 若若为为真真 且且试试验验次次数数又又多多时时 这这种种差差异异不不应应很很大大检验法的基本思想检验法的基本思想2. 2 3.皮尔逊定理皮尔逊定理 0220221100mkiiinniiiiHNnpNnnpnp 设设检检验验假假设设皮皮尔尔逊逊统统计计量量的的统统计计量量为为或或定理定理4.10012 (50), ( ), nHHm 若若充充分分大大则则当当为为真真时时不不论论中中的的分分布布属属什什么么分分布布皮皮尔尔逊逊统统计计量量总总

5、是是近近似似地地服服从从自自由由度度为为的的分分布布. . 2022101()miiniiNnpmnp 近近似似 , ,0下下如果在假设如果在假设于是于是H2220101()(),miiniiNnpmnp . , 00HH否则就接受否则就接受下拒绝下拒绝则在显著性水平则在显著性水平 注意注意005052, , . , , .iinnpnnp在在使使用用检检验验法法时时要要足足够够大大不不太太小小根根据据实实践践 一一般般每每一一个个4. 多项分布的多项分布的 检验法检验法2X设设总总体体 为为离离散散型型分分布布，其其分分布布律律为为1 2, , ,.iiP Xxpim121212121(,)

6、(,)(,),(,)TnTTninmTimiXXXXxxxNXXXiNn NNN 设设为为来来自自总总体体 的的样样本本，为为其其观观测测值值，表表示示中中取取值值为为 的的个个数数，且且分分布布为为1112211!,!mnnmmmmnP Nn NnNnppnn假设检验的问题为假设检验的问题为00101 2:, ,iiiiHppHppim由前面的分析可以看出，选择皮尔逊统计量由前面的分析可以看出，选择皮尔逊统计量 220221100mkiiinniiiiNnpNnnpnp 或或拒绝域为拒绝域为2220101():()miiniiNnpWxmnp 解解例例1试检验这颗骰子的六个面是否匀称试检验这

7、颗骰子的六个面是否匀称?)05. 0 ( 取取根据题意需要检验假设根据题意需要检验假设把一颗骰子重复抛掷把一颗骰子重复抛掷 300 次次, 结果如下结果如下:305260487040654321出现的频数出现的频数出现的点数出现的点数H0: 这颗骰子的六个面是匀称的这颗骰子的六个面是匀称的. )6 , 2 , 1(61:(0 iiXPH或或其中其中X表示抛掷这骰子一次所出现的点数表示抛掷这骰子一次所出现的点数 (可能值可能值只有只有6个个), 在在 H0 为真的前提下为真的前提下, 011 266(, , )ipi262010()iiniiNnpnp 61300)6130040(2 61300

8、)6130070(2 61300)6130048(222016.n 5,1-6 自自由由度度为为,07.11)5(2205. 0 表得表得查查,07.1116.202 所以拒绝所以拒绝 H0, 认为这颗骰子的六个面不是匀称的认为这颗骰子的六个面不是匀称的. 61300)6130060(2 61300)6130052(261300)6130030(2 5. 一般分布的一般分布的 检验法检验法2假设检验的问题为假设检验的问题为00:( )( ),HF xF x 111,mmaa 任任取取个个实实数数, ,使使得得- -00011001001211()(), () ,()iiimmpF aF aim

9、pF apF a 令令121212121(,)(,)(,),(,)TnTTninmTimiXXXXxxxNXXXiNn NNN 设设为为来来自自总总体体 的的样样本本，为为其其观观测测值值，表表示示中中取取值值为为 的的个个数数，且且分分布布为为多多项项分分布布. .经过上述处理，此问题又转化为检验多项分布问题经过上述处理，此问题又转化为检验多项分布问题.选择皮尔逊统计量选择皮尔逊统计量 220221100mkiiinniiiiNnpNnnpnp 或或拒绝域为拒绝域为2220101():()miiniiNnpWxmnp 例例2(p131例例4.11)某盒中装有白球和黑球，现做某盒中装有白球和黑

10、球，现做下面的试验，用返回式抽取方式从盒中取球，直到取下面的试验，用返回式抽取方式从盒中取球，直到取到白球为止，记录下抽取的次数，重复如此的试验到白球为止，记录下抽取的次数，重复如此的试验100次，其结果为：次，其结果为：抽取次数抽取次数1234频数频数433115655 试问该盒中的白球与黑球的个数是否相等试问该盒中的白球与黑球的个数是否相等( =0.05)?解解从题意可知，该总体服从几何分布，从题意可知，该总体服从几何分布，111 2(), ,kP Xkpp k 若黑球白球个数相等，则若黑球白球个数相等，则p=1/2,因此因此11451616,P XP X111123248,P XP XP

11、 X由此可知，检验的问题是由此可知，检验的问题是012345111112481616:,Hppppp计算皮尔逊统计量可得：计算皮尔逊统计量可得： 202103 2 .miiniiNnpnp 查表可得查表可得20 0549 488.( ) . .显然显然 20220 05103 249 488.( ).miiniiNnpnp 因而接受原假设，黑球白球个数相等因而接受原假设，黑球白球个数相等.6. 分布中含有未知参数的分布中含有未知参数的 检验法检验法2假设检验的问题为假设检验的问题为00110:( )( ,):( ),rHF xF xHF xF01,.rF其其中中的的形形式式已已知知 参参数数未

12、未知知121201(,)(,)( ,),TnTnrXXXXxxxF x 设设为为来来自自总总体体 的的样样本本，为为其其观观测测值值，用用最最大大似似然然估估计计首首先先得得到到参参数数的的估估计计. .由由此此可可以以得得到到令令100110011001011121(,), (,)(,)(,), rmmriirirpF apF apF aF aim 由此可以看到，此问题又可以转化为多项分布的由此可以看到，此问题又可以转化为多项分布的假设检验问题，其统计量为假设检验问题，其统计量为 220221100mkiiinniiiiNnpNnnpnp 或或定理定理4.20012 (50), ( ), n

13、HHm 若若充充分分大大则则当当为为真真时时不不论论中中的的分分布布属属什什么么分分布布皮皮尔尔逊逊统统计计量量总总是是渐渐近近地地服服从从自自由由度度为为的的分分布布. . 2022101()miiniiNnpmnp 近近似似2.此此种种检检验验法法称称为为拟拟合合优优度度检检验验法法此类假设检验的拒绝域为此类假设检验的拒绝域为2220101():()miiniiNnpWxmnp 以下举例说明以下举例说明 在一试验中在一试验中, 每隔一定时间观察一次由某种每隔一定时间观察一次由某种铀所放射的到达计数器上的铀所放射的到达计数器上的 粒子数粒子数, 共观察了共观察了100次次, 得结果如下表得结

14、果如下表:0123456789101112012345678910111215161726119921210iiiNAAAAAAAAAAAAAA 0 1 2 . , , ,!iiNieXP Xiii 其其中中是是观观察察到到有有个个粒粒子子的的次次数数 从从理理论论上上考考虑虑应应服服从从泊泊松松分分布布 0.05)?(! 是否符合实际是否符合实际问问ieiXPi 例例3解解所求问题为所求问题为: 在水平在水平0,05下检验假设下检验假设服从泊松分布服从泊松分布总体总体 :0XH , 2 , 1 , 0! iieiXPi . , 0 故先估计故先估计未具体给出未具体给出中参数中参数由于在由于在

15、 H由最大似然估计法得由最大似然估计法得, 2 . 4 x 根据题目中已知表格根据题目中已知表格, 有估计有估计iXP ,015. 00 2 . 40 eXPp如如 ,185. 0! 32 . 4332 . 43 eXPp ,002. 011211112 iipXPp具体计算结果见下表具体计算结果见下表, , 2 , 1 , 0!2 . 42 . 4 iieiXPpii表表1 1 例例3的的拟合检验计算表拟合检验计算表 1 516172611 9 9 2 1 2 1 00.0150.0630.1320.1850.1940.1630.1140.0690.0360.0170.0070.0030.0

16、021.56.313.218.519.416.311.46.93.61.70.70.30.219.39415.62234.8457.4237.10511.739iAiNip ipn2/iiNnp0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A664.6155.538=106.2810.0780.0652 ,2815. 6592.12)6()1(2205. 0 rk故接受故接受H0, 认为样本来自泊松分布总体认为样本来自泊松分布总体. , 5 ,5 示示如表中第四列化括号所如表中第四列化括号所使得每组均有使得每组均有的组予以合并的组予以合并其中有些其中有些 iinppn, 6118 ,

17、 8 2 的自由度为的自由度为故故并组后并组后 k 自自1965年年1月月1日至日至1971年年2月月9日共日共2231天中天中,全世界记录到里氏震级全世界记录到里氏震级4级和级和4级以上地震级以上地震共共162次次, 统计如下统计如下:(X表示相继两次地震间隔天数表示相继两次地震间隔天数, Y表示出现的频数表示出现的频数)86681017263150403935343029252420191514109540YX 试检验相继两次地震间隔天数试检验相继两次地震间隔天数 X 服从指数分布服从指数分布.0.05)( 解解所求问题为所求问题为: 在水平在水平0.05下检验假设下检验假设例例4的概率密

18、度的概率密度 :0XH . 0, 00,1)(xxexfx . , 0 故先估计故先估计未具体给出未具体给出中参数中参数由于在由于在 H由最大似然估计法得由最大似然估计法得,77.131622231 x X 为连续型随机变量为连续型随机变量, . 9 , 2 , 1),9)0,1 iaakXii子区间子区间个互不重叠的个互不重叠的分为分为可能取值区间可能取值区间将将(见下页表见下页表)503126171086680.27880.21960.15270.10620.07390.05140.03580.02480.056845.165635.575224.737417.204411.9718 8.

19、3268 5.7996 4.0176 9.201655.351927.013227.327016.79808.35307.68606.207314.82695 . 40:1 xA5 . 95 . 4:2 xA5 .145 . 9:3 xA5 .195 .14:4 xA5 .245 .19:5 xA5 .295 .24:6 xA5 .345 .29:7 xA5 .395 .34:8 xA xA5 .39:9=163.563313.2192iAiNip ipn2/iiNnp表表2 例例4的的拟合检验计算表拟合检验计算表2 在在 H0 为真的前提下为真的前提下, X 的分布函数的估计为的分布函数的估

20、计为 . 0, 00,1)(77.13xxexFx有估计有估计概率概率)( iiAPp )(iiAPp 1 iiaXaP),()(1iiaFaF )( 22APp 如如5 . 05 . 4 XP)5 . 4()5 . 9(FF ,2196. 0 ,0568. 0)(1)(8199 iiAFAFp,5633. 0592.12)6()1(2205. 0 rk故在水平故在水平0.05下接受下接受H0, 认为样本服从指数分布认为样本服从指数分布.,5633. 11625633.1632 , 1, 8 rk 下面列出了下面列出了84个依特拉斯坎人男子的头颅的个依特拉斯坎人男子的头颅的最大宽度最大宽度(m

21、m), 试验证这些数据是否来自正态总体试验证这些数据是否来自正态总体?0.1)( 141 148 132 138 154 142 150 146 155 158150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142 141 140145 135 147 146 141 136 140 146 142 137148 154 137 139 143 140 131 143 141 149148 135 148 152 143 144 141 143 147 146150 132 142 142 143 153

22、149 146 149 138142 149 142 137 134 144 146 147 140 142140 137 152 145例例5 5解解所求问题为检验假设所求问题为检验假设的概率密度的概率密度 :0XH.,21)(222)( xexfx ., , , 220 故先估计故先估计未具体给出未具体给出中参数中参数由于在由于在 H由最大似然估计法得由最大似然估计法得,0 . 6, 8 .14322 ,7),(个小区间个小区间分为分为可能取值区间可能取值区间将将 X(见表见表3)在在 H0 为真的前提下为真的前提下, X 的概率密度的估计为的概率密度的估计为 1 4103324 9 30

23、.00870.05190.17520.31200.28110.13360.0375 0.73 4.3614.7226.2123.6111.22 3.156.7941.5524.4010.02=87.67iAiNip ipn2/iiNnp5 .1345 .129:2 xA5 .129:1xA5 .1395 .134:3 xA5 .1445 .139:4 xA5 .1495 .144:5 xA5 .1545 .149:6 xA xA5 .154:75.0914.374.91表表3 例例5的的拟合检验计算表拟合检验计算表2 .,621)(2262)8 .143( xexfx有估计有估计概率概率)(

24、iiAPp )( 22APp 如如 5 .1345 .129 xP 68 .1435 .134 68 .1435 .129 .0519. 0)38. 2()55. 1( 0 10 1222152124 6053 67.()()( ).,mr故在水平故在水平0.1下接受下接受H0, 认为样本服从正态分布认为样本服从正态分布.二、柯尔莫哥洛夫及斯米尔诺夫检验二、柯尔莫哥洛夫及斯米尔诺夫检验00:( )( )HF xF x 不不成成立立1. 检验法的缺点检验法的缺点2 此种检验依赖于区间划分，划分的巧合可能导此种检验依赖于区间划分，划分的巧合可能导致检验的错误致检验的错误,例如例如10001()()

25、()(),.iiiiiF aF aF aF apim 但但是是当当划划分分巧巧合合时时，也也可可能能会会出出现现这样的结果不会影响皮尔逊统计量的值，因而可这样的结果不会影响皮尔逊统计量的值，因而可以导致接受错误的假设以导致接受错误的假设. 本节将介绍柯尔莫哥洛夫斯米尔诺夫检验法，本节将介绍柯尔莫哥洛夫斯米尔诺夫检验法，柯尔莫哥洛夫检验法可以检验经验分布是否服从某柯尔莫哥洛夫检验法可以检验经验分布是否服从某种理论分布，斯米尔诺夫检验法可以检验两个样本种理论分布，斯米尔诺夫检验法可以检验两个样本是否服从同一分布。是否服从同一分布。2. 柯尔莫哥洛夫检验柯尔莫哥洛夫检验首先看两个定理，这是柯尔莫哥洛

26、夫检验的基础首先看两个定理，这是柯尔莫哥洛夫检验的基础.定理定理4 4.3.3 设设F是连续的分布函数，则是连续的分布函数，则12sup |( )( )|nnxP DFxF xyn 113212221321121222002112, ,(,)dd, ,nyyynnnnnnyyynnnyf x xxxxnyn 其其他他，1212010!, ,(,), nnnxxxf x xx 其其中中其其他他，定理定理4 4.4.4 设设F是连续的分布函数，则是连续的分布函数，则limsup |( )( )|( )nnxPnFxF xyK y 2220010, ,() e, .kk ykyy 上述两个定理证明略

27、。它们将是柯尔莫哥洛夫检验上述两个定理证明略。它们将是柯尔莫哥洛夫检验法的理论基础法的理论基础.假设检验的问题为假设检验的问题为0010:( )( ):( )( ),HF xF xHF xF x1212( )(,)(,)TnTnF xXXXXx xx其其中中为为连连续续分分布布函函数数。设设为为来来自自总总体体 的的样样本本，为为其其观观测测值值，统统计计量量选选为为0sup |( )( )|nnxDFxF x 只要原假设不真，则统计量的值就会偏大，因而只要原假设不真，则统计量的值就会偏大，因而给定显著性水平给定显著性水平 ，可以选择临界值使得，可以选择临界值使得,nnP DD3456,().

28、nDp其其中中临临界界值值可可以以查查表表 参参见见附附表表则此检验法的拒绝域为则此检验法的拒绝域为,:( )nnWx DxD当当n 100时，利用极限分布定理时，利用极限分布定理5.4可得可得117,()nDn 可可由由附附表表 得得到到例例6(p1366(p136例例4 4.13).13)某矿区煤层厚度的厚度的某矿区煤层厚度的厚度的123个个数据的频数分布如下表所示，试用柯尔莫哥洛夫检数据的频数分布如下表所示，试用柯尔莫哥洛夫检验法检验煤层的厚度是否服从正态分布？验法检验煤层的厚度是否服从正态分布？202.852.60-2.909121.251.10-1.404192.452.30-2.6

29、0850.950.80-1.1033.052.151.85组中值2.90-3.202.00-2.301.70-2.00厚度间隔1076组号2191.551.40-1.7052560.650.50-0.8022410.350.20-0.501频数频数组中值厚度间隔/m组号ixininix解解用用X表示煤层厚度，欲假设检验表示煤层厚度，欲假设检验20:( ,).HXN 总总体体 服服从从正正态态分分布布分分布布由于参数未知，因而首先对参数进行估计由于参数未知，因而首先对参数进行估计2221 8840 576*., .nxs201 884 0 576 :( ., .).HXN则则总总体体 服服从从正

30、正态态分分布布1 8841 8840 5760 5761 8840 576.(). ().iiiixXF xP XxPx ()()ninivxFxn 00 034sup|()()|.inniixDFxF x11 3670 050 123123123,.,.,nD 查查附附表表 ，取取显然显然0 1230 0343,.,nnDD 因此接受原假设，认为煤层厚度服从正态分布因此接受原假设，认为煤层厚度服从正态分布.注注分布函数分布函数F(x)的置信区间的置信区间11nP Dn 由由于于111( )( )( )nnP FxF xFxnn 3. 斯米尔诺夫检验斯米尔诺夫检验假设检验的问题为假设检验的问题

31、为01:( )( ):( )( ),HF xG xHF xG x121212( )( )(,)( )(,)( )TnTnF xG xXXXF xY YYG x其其中中、为为两两个个总总体体的的连连续续分分布布函函数数。设设为为来来自自总总体体的的样样本本，为为来来自自总总体体的的样样本本，并并且且假假设设两两个个总总体体独独立立，统统计计量量选选为为1212,sup |( )( )|n nnnxDFxGx 12( )( )nnFxGx其其中中与与分分别别是是两两个个总总体体的的经经验验分分布布函函数数. .为了得到显著性水平下的拒绝域，需要如下定理：为了得到显著性水平下的拒绝域，需要如下定理：

32、定理定理4 4.5.5 如果如果F(x)=G(x),且且F是连续函数，则是连续函数，则1212,sup |( )( )|n nnnxP DFxGxx 221011111, ,(), , ,nnjcjnnnnjcxnCxCnx 定理定理4 4.6.6 121212limsup |( )( )|( )nnnxn nPFxGxxK xnn 2220010, ,() e, .kk xkxx 上述两个定理证明略。它们将是斯米尔诺夫检验上述两个定理证明略。它们将是斯米尔诺夫检验法的理论基础法的理论基础.如果如果F(x)=G(x),且且F是连续函数，则是连续函数，则只要原假设不真，则统计量的值就会偏大，因而

33、只要原假设不真，则统计量的值就会偏大，因而给定显著性水平给定显著性水平 ，可以选择临界值使得，可以选择临界值使得121212,n nn nn nnP DDP DD12123467,().nn nnDnnp1-1-其其中中, ,临临界界值值可可以以查查表表n n参参见见附附表表得得到到 则此检验法的拒绝域为则此检验法的拒绝域为12,:( )n nnWx DxD例例7(p1397(p139例例4 4.14).14)工人刚接班时，先抽取工人刚接班时，先抽取150个零件作为样本，在自个零件作为样本，在自动车床工作两小时后，再抽取动车床工作两小时后，再抽取100个零件作为第二次个零件作为第二次样本，测得

34、每个零件距离标准的偏差样本，测得每个零件距离标准的偏差X，其数值列其数值列入下表，试比较两个样本是否来自同一总体入下表，试比较两个样本是否来自同一总体?在自动车床上加工某一零件，在在自动车床上加工某一零件，在频频 数数偏差偏差X的的测量区间测量区间/ m频频 数数偏差偏差X的的测量区间测量区间/ m30380, 5)29235, 10)-5, 0)-10, -5)-15, -10)1020, 25)17431115, 20)72715810, 15)0101 jn2 jn1 jn2 jn1150n 2100n 解解欲假设检验欲假设检验01:( )( ):( )( ),HF xG xHF xG x111( )()nnivxFxn 计算两个样本对应的经