Ch11.1-2(真空中的静电场)-lily

1、第二篇第二篇 电磁学电磁学（Electromagnetics） 在两千年以前，人们就认识到了电现象和磁现象。在两千年以前，人们就认识到了电现象和磁现象。起初人们对电现象和磁现象的认识是相互独立的，从起初人们对电现象和磁现象的认识是相互独立的，从而发展成了彼此独立的两个学科而发展成了彼此独立的两个学科电学和磁学。电学和磁学。 1820 年年丹麦的奥斯特发现了电流的磁效应。（揭示丹麦的奥斯特发现了电流的磁效应。（揭示了电与磁之间的联系）了电与磁之间的联系） 18311831年法拉第发现了电磁感应现象。（进一步揭开年法拉第发现了电磁感应现象。（进一步揭开了电与磁之间的联系）了电与磁之间的联系） 18

2、65 年英国物理学家麦克斯韦总结出电磁变化年英国物理学家麦克斯韦总结出电磁变化规律规律的方程组的方程组 Maxwell 方程组方程组。建立了电磁理论系统，。建立了电磁理论系统，形成完整电磁场理论，完成了电磁统一。目前电磁现形成完整电磁场理论，完成了电磁统一。目前电磁现象的研究已深入到物理学和其他各个领域。象的研究已深入到物理学和其他各个领域。电（电（11-1211-12章）章） 磁（磁（1313章）章） 电磁感应（电磁感应（1414章）章） MaxwellMaxwell电磁场理论（电磁场理论（1414章）。章）。 本篇本篇共分共分5 5 章章1905年爱因斯坦建立年爱因斯坦建立狭义相对论狭义相

3、对论1865年麦克斯韦提出年麦克斯韦提出电磁场理论电磁场理论1820年年奥斯特发现奥斯特发现电流对磁针的作用电流对磁针的作用公元前公元前600年年1831年年法拉第发现法拉第发现电磁感应电磁感应古希腊泰勒斯古希腊泰勒斯第一次记载电现象第一次记载电现象电电 磁磁 学学 电能是应用最广泛的能源；电能是应用最广泛的能源；电磁波的传播实现了信息传递；电磁波的传播实现了信息传递；电磁学与工程技术各个领域有十分密切的联系；电磁学与工程技术各个领域有十分密切的联系；电磁学的研究在理论方面也很重要。电磁学的研究在理论方面也很重要。静电场静电场-相对于观察者静止的电荷产生的电场相对于观察者静止的电荷产生的电场稳

4、恒电场稳恒电场不随时间改变的电荷分布从而产生不随不随时间改变的电荷分布从而产生不随 时间改变的电场时间改变的电场 两个物理量两个物理量： 场强、电势；场强、电势； 一个实验规律一个实验规律：库仑定律；库仑定律； 两个定理两个定理： 高斯定理、环流定理高斯定理、环流定理主要内容主要内容：具体要求具体要求：2 2、理解静电场高斯定理和环路定理、理解静电场高斯定理和环路定理, ,掌握掌握用高斯定理计算场强的条件和方法。用高斯定理计算场强的条件和方法。一个定律、两个定理、两个基本物理量一个定律、两个定理、两个基本物理量1 1、掌握场强和电势的概念及叠加原理、掌握场强和电势的概念及叠加原理; ;掌掌握场

5、强和电势的积分关系握场强和电势的积分关系, ,了解其微分了解其微分关系关系; ;能计算简单问题的场强和电势。能计算简单问题的场强和电势。第第1111章章 真空中的静电场真空中的静电场 本章内容：静电场的一个基本（库仑）定律，两本章内容：静电场的一个基本（库仑）定律，两个基本定理（高斯定理与环路定理）和两个基本物个基本定理（高斯定理与环路定理）和两个基本物理量及（电场强度与电势）其相互关系理量及（电场强度与电势）其相互关系 11- -1 电荷电荷 库仑定律库仑定律1电荷电荷电荷的相互作用：同性相斥，异性相吸。电荷的相互作用：同性相斥，异性相吸。 电量：物体所带电（荷）的多少叫电量。换句话电量：物

6、体所带电（荷）的多少叫电量。换句话说，电量是物体带电多少的量度说，电量是物体带电多少的量度 电量的单位：库仑电量的单位：库仑(C)电荷的电荷的种类种类：正电荷、负电荷：正电荷、负电荷电荷的电荷的性质：同号相斥、异号相吸性质：同号相斥、异号相吸电量电量：电荷的多少：电荷的多少 单位单位：库仑：库仑 符号符号：C1911.60217733 10, eCqnee是最小的量子3电荷电荷守恒定律守恒定律 在一个孤立系统内发生的任何的变化过在一个孤立系统内发生的任何的变化过程中，电荷总数程中，电荷总数( (电荷的代数和电荷的代数和) )保持不变。保持不变。基本电现象2电荷的量子化电荷的量子化 电量的最小单

7、元电量的最小单元( (基本电量基本电量) )：电荷守恒定律电荷守恒定律： 在一个孤立系统内发生的过程中，在一个孤立系统内发生的过程中， 正负电荷的代数和保持不变。正负电荷的代数和保持不变。1库仑库仑C的电荷量规定为的电荷量规定为1A的电流在的电流在1s的时间内流过的时间内流过导线横截面的电荷量导线横截面的电荷量,即即1C=1A.1s电荷的电荷量总是以一个基电荷的电荷量总是以一个基本单元的整数倍出现本单元的整数倍出现 1. 点电荷模型点电荷模型几何形体可以忽略的带电体几何形体可以忽略的带电体（1）抽象的理想化模型）抽象的理想化模型（2）充分小）充分小 当带电体的线度比研究问题中涉及到当带电体的线

8、度比研究问题中涉及到它们之间的距离小得多时，就可将其简它们之间的距离小得多时，就可将其简化为点电荷。化为点电荷。二、库仑定律和静电力的叠加原理二、库仑定律和静电力的叠加原理2. 库仑定律库仑定律点电荷是一个理想模点电荷是一个理想模型，它是一个没有形型，它是一个没有形状和大小而只带有电状和大小而只带有电荷的物体。荷的物体。211221211212 ,rrrrrrrr 显显然然21221211222112 rrqqkFrrqqkF ，或，或矢量式：矢量式：在 SI 制中， 229C/mN109 k叫叫真真空空中中的的电电容容率率令令00 ,41 k22120mNC1085. 841 k 库仑定律仅

9、适用于点电荷。库仑定律仅适用于点电荷。设两个点电荷设两个点电荷1q2q12r12F2. 库仑定律库仑定律21F12F21r12r12r1q2q02211221rrqqkFF 真空中的介电常数。真空中的介电常数。or单位矢量，由单位矢量，由施力物体施力物体指向指向受力物体受力物体。电荷电荷q1作用于电荷作用于电荷q2的力。的力。21F 真空中两个静止的点电荷之间的作用力真空中两个静止的点电荷之间的作用力（静电力静电力），），与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线。方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线

10、。1q2qror041 k0库仑定律：库仑定律：21F为为q2所受到的库仑力所受到的库仑力0rrr12F为为q1所受到的库仑力所受到的库仑力属于作用力与反作用力，牛顿第三定律。属于作用力与反作用力，牛顿第三定律。22902121201094110858 CNmkmNC .讨论讨论库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。(a)q1和和q2同性，则同性，则q1 q20, 和和 同向，同向， 说明说明1排斥排斥221F0r12F21F0r00002121 qqqq斥力斥力022102141rrqqF (b)q1和和q2异性，则异性，则q1 q20的金属球，在它

11、附近的金属球，在它附近P点产生的场强点产生的场强为为 。将一点电荷。将一点电荷q0引入引入P点，测得点，测得q实际受力实际受力 与与 q之比为之比为 ，是大于、小于、还是等于，是大于、小于、还是等于P点的点的0E0EFqF1q2qP点电荷系点电荷系10r1EE2E20r三、场强的叠加原理三、场强的叠加原理1231 NniiFFFFFF因1200000 inFFFFFEqqqqq于是有，根据场强的定义，则有根据场强的定义，则有 场强叠加原理场强叠加原理 niinEEEEE121连续带电体：连续带电体： EdEPdqEd0rEqF 21EEE四、场强的计算四、场强的计算1、点电荷电场中的场强、点电

12、荷电场中的场强 rrQqF41200 P+QP-QE E rrrrQEqFE41 , 200 根据根据如何理解如何理解 r 0 时，时， 呢呢? E)(0 qP0r E0r)(0 qPE设真空中有设真空中有n个点电荷个点电荷q1,q2,qn，则，则P点场强点场强02041iiiiiirrqEE iziziyiyixixEEEEEE ,场强在坐标轴上的投影：场强在坐标轴上的投影：kEjEiEEzyx 2、点电荷系电场中的场强、点电荷系电场中的场强根据场强叠加原理根据场强叠加原理：iniiinrrQEEEE412021 .cos ,cos , cos,222EEEEEEEEEEzyxzyx 整个带

13、电体整个带电体 rrqEEd41d20 电荷元电荷元 dq 的场的场 rrqE4dd20 在直角坐标系下在直角坐标系下：,d ,d ,dzzyyxxEEEEEE 3、任意带电体电场中的场强、任意带电体电场中的场强取电荷元取电荷元dqdq，由点电荷的场强公式对各电荷由点电荷的场强公式对各电荷元的场强求矢量和元的场强求矢量和( (即求积分即求积分):):kEjEiEEzyx )(dydxdq dsdq dvdq 02rrdqE 041=A A）线分布）线分布B B）面分布）面分布C C）体分布）体分布1 1、积分元的选取、积分元的选取 利用以上各式，原则上可计算任意分布电利用以上各式，原则上可计算

14、任意分布电荷的场强，但在电荷分布比较复杂的情况荷的场强，但在电荷分布比较复杂的情况下，往往遇到许多难以解决的积分问题。下，往往遇到许多难以解决的积分问题。 rrlEdldqd41 20 线线电电荷荷rrdSEdSdq 41 20 面面电电荷荷rrdVEdVdq 41 20 体体电电荷荷引入电荷密度的概念电荷元随不同的电荷分布应表达为：电荷元随不同的电荷分布应表达为：矢量积分步骤：矢量积分步骤：02rrdqE 041=（1 1）取坐标系）取坐标系 yyxxdEEdEE（5 5）分别积分）分别积分jEiEEyx （6 6）合场强：）合场强：（4 4）根据几何关系统一积分变量）根据几何关系统一积分变

15、量（2 2）选积分元，写出）选积分元，写出Ed（3 3）写出）写出 的投影分量式的投影分量式EdyxdEdE , E E 例题例题1 电偶极子的场强计算。电偶极子的场强计算。 解：解：P点的场强：点的场强： 220)(41lrqE 方向向右方向向右 220)(41lrqE 方向向左方向向左 总场强的大小为总场强的大小为 22220)(1)(14llrrqEEE 2420222202222)(24)()(4)()(2lllllrrlqrrrqrq 方向：向右方向：向右-qP+qPlrP E E-q+qPl r rr23220)4(41cos2|lrqlEEEX 再计算再计算 P P点的场强：点的

16、场强： 420241lrqEE 方向如图方向如图 0cos22 yyyXXXXEEEEEEEE 42cos22lrl 总场强的大小为总场强的大小为 E沿沿 X 轴负方向。轴负方向。 lr 时，称为电偶极子，时，称为电偶极子， l由由 lqpqq ,称为电偶矩。称为电偶矩。 E E EOxy 当当 时时 ，lr 322222222)4(2)(1)(1rllrlrrrll P 点的场强的大小为点的场强的大小为 3030241241rprqlE P 点的场强的大小为点的场强的大小为 30304141rprqlE 场强方向如图所示。场强方向如图所示。P E E-q+qPl r rrE E EOxy 再

17、求任意点再求任意点 P 处处的场强的场强如图所示如图所示 , rrrlr时时， PPlqPr sin ,cosPPPPr 30304cos2241rPrpErr 30304sin41rPrpE 22 EEEr 方向如图所示方向如图所示方向如图所示方向如图所示方向如图所示方向如图所示 lr-r+r-q+qP q rP P ErEELqdll :处微元处微元在在解解 1 2 OldlxyarxEdyEdEd例题例题2 求均匀带电直线的电场。已知求均匀带电直线的电场。已知 q, L, a, 1, 2 0 ,sin ,cos,420 zyxdEdEdEdEdErdldE ctg )(ctg aal d

18、adl2csc 22222cscalar dadEdadEyx sin4 cos4 00 ，所所以以将上两式积分，得将上两式积分，得 )sin(sin4 cos4120021 adadEEXX)cos(cos4 sin4210021 adadEEyy(1) 无限长直线，无限长直线， 1 = 0， 2 = ，则有则有 aEEyx02 , 0 , ,2221 ）半半无无限限长长的的端端面面上上：（00220, 4424xyxyEEaaEEEa 这这正正是是，与与端端点点垂垂面面成成即即 45 ,43)1(11 EtgEEtgxy )(40jiaE 讨论讨论aEEPyx0122 , 0 , , 3

19、则则点在中垂面上时点在中垂面上时）当）当（例例2 2、求均匀带电直线外任一点的场强、求均匀带电直线外任一点的场强1)1)建立坐标系建立坐标系2)2)选积分元选积分元22041yadydE 3)3)分量式分量式 sincosdEdEdEdEyx4)4)统一积分变量，分别积分统一积分变量，分别积分2222041yaayadydEx dydq dyEd1L2L p1L2L dyEd 212222014xxLLEdEdyaayay2122220214LLaaLaL2222021114yEaLaLjEiEEyx 2122220214xLLEaaLaL2222021114yEaLaL0;2,)3(021

20、yxEaEaLL0;4)(,)2(202121 yxEaLLEaLL(1)(1)中垂线上，中垂线上，0 yE202024141d 2 :rdlRqrdqEdlRqdqdl 圆圆环环上上取取解解 EdEdEdPx rOxRdlq例题例题3 均匀带电圆环轴线上的电场强度。圆环半径均匀带电圆环轴线上的电场强度。圆环半径为为 R，带电为，带电为 q，求距环心求距环心 x 处处 P 的点的场强。的点的场强。由对称性可知，垂直分由对称性可知，垂直分量之和为总场强为量之和为总场强为 x 方方向分量之和向分量之和, 即即2/322022202)( 41 )(2 41cosd cos23xRxqxRRxdlqE

21、dEdEERoRox 2020max18336 ,2; 0 , 0RqRqEERxEx 时时时时、若若 q 为正电荷，为正电荷， 沿沿 x 方向；方向； q 为负电荷，为负电荷， 指向指向 O 点。点。 EE课堂练习课堂练习求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q ,L,a204)xaL(dqdE L)xaL(dxE0204 )(aLa 1140 aPLXOxdxEd)()(aLaqaLaLqL 0044 2123)(12)(2220R0220 xRxxrrdrxdEE 轴轴方向沿方向沿的圆环的圆环宽为宽为取半径为取半径为解解 )(42 2 , :232

22、20 xxrrdrxdEdrrdqdrr 总场强总场强 方向沿方向沿 x 轴。轴。例题例题4 均匀带电圆盘轴线上的电场。圆盘半径均匀带电圆盘轴线上的电场。圆盘半径 R，面电荷密为面电荷密为 ( 0)，求轴线上，求轴线上 x 处处 P 点的点的 。EEdPxOxRdrr 02 1 ERx时时，）讨讨论论：（2020244 2 xqxRERx 时时，）（例例3 求一均匀带电圆环轴线上任一点求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。处的电场。已知：已知： q 、a 、 x。dlaqdldq 2 idEEd /kdEjdEEdzy 204rdqdE yzxxpadqr/Ed EdEd 当当dq位置发生

23、变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。由对称性由对称性a.yzxdqEd0 zyEEyzxxpadqr/Ed EdEd cos/EdEdE 2122)(cosxarrx cos220241rldaqEa cos2041rq 2322041)(xaqx i)ax(xqE232204 讨论讨论（1）当当 的方向沿的方向沿x轴正向轴正向当当 的方向沿的方向沿x轴负向轴负向Eq，0 Eq，0 （2）当当x=0,即在圆环中心处，即在圆环中心处，0 E当当 x 0 Ei)ax(xqE232204 2ax 时时0 dxdE23220242)aa(qa

24、EEmax （3）当当 时，时， ax 222xax 2041xqE 这时可以这时可以把带电圆环看作一个点电荷把带电圆环看作一个点电荷这正反映了这正反映了点电荷概念的相对性点电荷概念的相对性i)ax(xqE232204 (1) 注意电荷分布的对称性；注意电荷分布的对称性；(2) 注意微元及坐标系选取的技巧；注意微元及坐标系选取的技巧；(3) 正确确定积分限。正确确定积分限。注意：注意： （2）计算）计算 此矢量积分不易计算时，此矢量积分不易计算时， 化为分量的积分。化为分量的积分。 ,d EE （1） 将连续分布的带电体分成无限多电荷元将连续分布的带电体分成无限多电荷元 dq ， 每个每个 dq 视点电荷，求视点电荷，求 。 Ed总结：求总结：求 的步骤的步骤E1.1.求均匀带电半圆环圆心处的求均匀带电半圆环圆心处的 ，已知，已知 R、 E204RdqdE 电荷元电荷元dq产生的场产生的场根据对称性根据对称性 0ydE 0204sinRRdsindEdEEx 0204)cos( RR02 课堂练习：课堂练习：oRXY d dqEdOXY R204RdldE cosRdldEEy204224202020 sincosRdRR 取电荷元取电荷元dq则则 0 xdE由对称性由对称性方向：