第一矩阵的初等变换-ppt课件

1、扬州大学数学科学学院 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研讨齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并引见用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大. 引例引例)1(求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解以下方程组的过程分析：用消元法解以下方程组的过程2 解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxx

2、xxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代的方法求出解：回代的方法求出解：于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为为任任意意常常数数其其中中c 30340111c

3、x即即2小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元上述解方程组的方法称为消元法法 2一直把方程组看作一个整体变形，用到如一直把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换1交换方程次序；交换方程次序；2以不等于的数乘某个方程；以不等于的数乘某个方程；3一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的k倍倍ij与相互交换与相互交换以交换以交换ik ij以交换以交换ik i3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换j

4、i)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji由于在上述变换过程中，仅仅只对方程组由于在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进展运算，未知量并未参与运的系数和常数进展运算，未知量并未参与运算算假设假设记记 97963422644121121112)(bAB那么对方程组的变换完全可以转换为对矩阵那么对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组方程组1的增广矩阵的变换的增广矩阵的变换定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（

5、对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记记作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定义定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型一样型一样 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r换成换成“c)jirr kri 逆变换逆变换

6、;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或等价关系的性质：等价关系的性质：；反身性反身性）（A A 1A;B , B A 2则则若若对对称称性性）（C. AC,BB, A 3则则若若）传传递递性性（等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组解方程组1：

7、97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 5 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx

8、方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c.54都都称称为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵和和矩矩阵阵BB特点：特点：1、可划出、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；5 00000310003011040101B 2、每个、每个台阶台阶 只需一行，只需一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元.1 5的其他元素都为零的其他元素都为零列列，且这些非零元所在的

9、，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为零行的第一个非零元为即非即非还称为行最简形矩阵，还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B.,A nm和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 留意：行最简形矩阵是由方程组独一确定的，行留意：行最简形矩阵是由方程组独一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组独一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组独一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成规行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成规范形范形 000003100030110401015 B214ccc 3215334ccc

10、c 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF.为零为零阵，其余元素全阵，其余元素全的左上角是一个单位矩的左上角是一个单位矩F标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm特点：特点： 一切与矩阵一切与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价

11、类，规范形称为一个等价类，规范形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.AF1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型一且变换类型一样样3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 ;1 反身性反身性 ;2 对对称称性性 .3 传传递递性性2.2.A初等变换初等变换B. BA知四元齐次方程组知四元齐次方程组 及另一及另一 00:4221xxxxI四元齐次方程组四元齐次方程组 的通解为的通解为 II .,1 , 2 , 2 , 10 , 1

12、, 1 , 02121RkkkkTT .,;,?说说明明理理由由有有若若没没求求出出来来若若有有是是否否有有非非零零公公共共解解与与问问III解解 得得的的通通解解代代入入将将III 0202221212kkkkkk.21kk 的的公公共共解解为为与与故故III TTTkkk1 , 1 , 1 , 11 , 2 , 2 , 10 , 1 , 1 , 0221 所所有有非非零零公公共共解解为为 .01 , 1 , 1 , 1 kkT扬州大学数学科学学院. , 数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变变为为行行阶阶变变换换总总可可经经过过有有

13、限限次次初初等等行行任任何何矩矩阵阵nmA ., 12阶阶子子式式的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式，的的中中所所处处的的位位置置次次序序而而得得变变它它们们在在不不改改元元素素处处的的个个），位位于于这这些些行行列列交交叉叉列列（行行中中任任取取矩矩阵阵在在定定义义kAkAknkmkkkAnm 矩阵的秩矩阵的秩. )(0102等于零等于零并规定零矩阵的秩并规定零矩阵的秩的秩，记作的秩，记作称为矩阵称为矩阵的最高阶非零子式，数的最高阶非零子式，数称为矩阵称为矩阵，那末，那末于于）全等）全等阶子式（如果存在的话阶子式（如果存在的话，且所有，且所有式式阶子阶子的的中有一个不等于中有一个不等于设在

14、矩阵设在矩阵定义定义ARArADrDkA .)( 子子式式的的最最高高阶阶数数中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩阵阵AARAnm ，对于对于TA).()(ARART 显有显有. 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 例例1.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶阶子子式式只只有有一一个个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR例例2.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行行，其其非非零零行行有有是是一一个个行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B, 04002

15、30312 而而. 3)( BR例例3 3，求求该该矩矩阵阵的的秩秩已已知知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR做做初初等等变变换换，对对矩矩阵阵 510231202231A另解另解,000031202231510231202231 显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2， . 2 AR此方法简单！此方法简单！., 梯梯形形等等行行变变换换把把他他变变为为行行阶阶总总可可经经过过有有限限次次初初因因为为对对于于任任

16、何何矩矩阵阵nmA 问题：经过变换矩阵的秩变吗？问题：经过变换矩阵的秩变吗？ . ,1 BRARBA 则则若若定定理理证证).()( BRARBA 则则，经一次初等行变换变为经一次初等行变换变为先证明：若先证明：若. 0 )( rDrArAR阶阶子子式式的的某某个个，且且设设时时，或或当当BABAkrrriji 时，分三种情况讨论：时，分三种情况讨论：当当BAjikrr ,.rrDDB相对应的子式相对应的子式中总能找到与中总能找到与在在, rrrrrrkDDDDDD 或或或或由于由于.)(0 rBRDr ，从从而而因因此此行行；行行但但不不含含第第中中含含第第）（行行；行行和和第第中中同同时时

17、含含第第）（行行；中中不不含含第第）（jiDjiDiDrrr321.)(, 0)2(),1( rBRDDDBrrr 故故子子式式对对应应的的中中与与两两种种情情形形，显显然然对对，对情形对情形)3(,rrjijirDkDrkrkrrD , 0 rD若若,非非零零子子式式阶阶行行的的中中有有不不含含第第行行知知中中不不含含第第因因riAiDr.)(rBR , 0 rD若若).()( BRARBA ，则则经经一一次次初初等等行行变变换换变变为为若若 ,AB为为也可经一次初等变换变也可经一次初等变换变又由于又由于.)(, 0rBRDDrr 也也有有则则).()(BRAR 因因此此).()(ARBR

18、故故也也有有 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变 ).()(,BRARBA 也有也有经初等列变换变为经初等列变换变为设设,BA经初等列变换变为经初等列变换变为设设).()(),(, BRARBABA 则则即即经经有有限限次次初初等等变变换换变变为为若若综综上上,TTBA 经初等行变换变为经初等行变换变为则则),()( TTBRAR ),()(),()(TTBRBRARAR 且且).()(BRAR 证毕证毕初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把

19、矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4的的一一个个最最高高阶阶非非零零子子式式秩秩，并并求求的的求求矩矩阵阵设设AAA,41461351021632305023 阶梯形矩阵：阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行作初等行变换，变成行对对A解解 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 1281216011791201134041461 41461351021632

20、305023 A4241rrrr 141332rrrr 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr . 的的一一个个最最高高阶阶子子式式求求 A , 3)( AR . 3阶阶的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为知知A阶子式共有阶子式共有的的 3A . 403534个个 CC阶阶梯梯形形矩矩阵阵为为的的行行则则矩矩阵阵记记),(),(42154321aaaBaaaaaA 的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，考察考察A 000400140161, 3)( B

21、R的的前前三三行行构构成成的的子子式式计计算算B .3阶阶非非零零子子式式中中必必有有故故 B.4个个且且共共有有623502523 1106502523 116522 . 016 那么这个子式便是那么这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.A，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,)(nAR .,EAEA的的标标准准形形为为单单位位阵阵故故.为为满满秩秩矩矩阵阵，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵例例5 5 4321,6063324208421221bA设设 .)

22、(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解),( bABB 的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵为为设设分析：分析：的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是就是则则AA).()(),(BRARbAB及及中中可可同同时时看看出出故故从从 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR(2)(2)初等变换法初等变换法1. 矩阵秩的概念矩阵秩的概念2. 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方

23、法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻觅矩阵中非零子式的最高阶数即寻觅矩阵中非零子式的最高阶数);?)()(,是是否否相相等等与与为为任任一一实实矩矩阵阵设设ARAARAT 相等相等., 0 x因因为为对对于于任任一一实实向向量量,0时时当当 Ax, 0 AxAT必必有有有有时时反之当反之当,0 AxAT0 AxAxTT 即即 0 AxAxT; 0 Ax由此可知由此可知,00同解同解与与 AxAAxT .ARAART 故故扬州大学数学科学学

24、院 .01nARxAnnm 矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理的的解解讨讨论论线线性性方方程程组组的的秩秩，和和增增广广矩矩阵阵如如何何利利用用系系数数矩矩阵阵bAxBA 问题：问题：证证必要性必要性. . ,nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个那么在那么在设设 ,根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只需零解个方程只需零解所对应的所对应的 nDn从而从而有非零解，有非零解，设方程组设方程组0 Ax这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾， .nAR 即即不不能能成成立立nAR )(充分性

25、充分性. . ,nrAR 设设.个自在未知量个自在未知量从而知其有从而知其有rn 任取一个自在未知量为，其他自在未知量为，任取一个自在未知量为，其他自在未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解 .个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含则则rA证证必要性必要性,有解有解设方程组设方程组bAx ,BRAR 设设那么那么B B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，盾方程， .,2的的秩秩阵阵的的秩秩等等于于增增广广矩矩矩矩阵阵的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有解解元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理bAB

26、AbxAnnm 这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾. .BRAR 因此因此并令并令 个自在未知量全取个自在未知量全取0 0，rn 即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性充分性. . ,BRAR 设设 ,nrrBRAR 设设证毕证毕个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵中含的行阶梯形矩阵中含则则rB其他其他 个作为自在未知量个作为自在未知量, ,rn 把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自在未知量非自在未知量, ,r小结小结有独一解有独一解bAx nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷多解. .bAx 方程组的通解方程组的通解性性程组的任一

27、解，称为线程组的任一解，称为线定义：含有个参数的方定义：含有个参数的方齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判别其能否有解假设有解，化成行阵，便可判别其能否有解假设有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；最简形矩阵，便可写出其通解；例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221施行初等行变换：施行初等行

28、变换：对系数矩阵对系数矩阵 A13122rrrr 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 , 0342, 0352432431xxxxxx ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形形式式，把把它它写写成成通通常常的的参参数数令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 13243214

29、3214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵B进展初等变换，进展初等变换， 322122351311321B13122rrrr 10450104501132123rr 200001045011321, 3)(, 2)( BRAR显显然然，故方程组无解故方程组无解例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵B进展初等变换进展初等变换 2132111311101111B 2121001420001111.00000212100211011 , 2 BRAR由由于于故方程组有解，且有故

30、方程组有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx.02102112000011424321 xxxxxx.,42任任意意其其中中xx所以方程组的通解为所以方程组的通解为例例 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情况况下下，是是有有解解的的充充要要条条件件证证明明方方程程组组. 054321515454343232121 aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进展初等变换，进展初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为 543211000111000011000011000011aaa

31、aaB 5143210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiaBRAR. 051 iia是是方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组 454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：由此得通解： 544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax .5为为任任意意实实数数x例例 设有线性方程组设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,有有无无穷穷多多个个解解有有解解取取何何值值时时问问 解解 21111111 B 11111112 作作初初等等行行变变换换

32、，对对增增广广矩矩阵阵),(bAB 2222111011011 32222120011011 22112100111011 ,11时时当当 000000001111B ., 3 方方程程组组有有无无穷穷多多解解 BRAR其通解为其通解为 33223211xxxxxxx .,32为为任任意意实实数数xx ,12时时当当 22120011011 B这时又分两种情形：这时又分两种情形： :, 3,2)1方方程程组组有有唯唯一一解解时时 BRAR .21,21,212321 xxx .,故故方方程程组组无无解解BRAR ,2)2时时 300063304211B nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷

33、多解. .bAx 非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax nAR ;0只只有有零零解解 Ax nAR .0有有非非零零解解 Ax;有有唯唯一一解解bAx .,?,12105, 3153, 363, 1324321432143214321求求出出一一般般解解况况下下情情在在方方程程组组有有无无穷穷多多解解的的有有无无穷穷多多解解有有唯唯一一解解方方程程组组无无解解取取何何值值时时当当讨讨论论线线性性方方程程组组tptxxxxxxpxxxxxxxxxx tpB121051315133163113211解解 191260066402242013211tp 530

34、00422001121013211tp;, 4)()(,2)1(方方程程组组有有唯唯一一解解时时当当 BRARp 1000021000112101321153000420001121013211ttB有有时时当当,2)2( p;, 4)(3)(,1方方程程组组无无解解时时当当 BRARt 0000021000302108000100000210001121013211B且且., 3)()(,1方方程程组组有有无无穷穷多多解解时时当当 BRARt 组为组为与原方程组同解的方程与原方程组同解的方程).(203801204321Rkkxxxx , 2, 32, 84321xxxx故原方程组的通解为故

35、原方程组的通解为扬州大学数学科学学院定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵. .E三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种根本运算，运矩阵的初等变换是矩阵的一种根本运算，运用广泛用广泛. 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk. 30. 2. 1，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)(,jirrjiE对调两行或两列对调两行或两列、1 1101111011)

36、,(jiE行行第第 i行行第第 j，得得左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用nmijmaAjiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j).( jirrjiAA行对调行对调行与第行与第的第的第把把：施行第一种初等行变换施行第一种初等行变换相当于对矩阵相当于对矩阵，右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列对调列对调列与第列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一

37、种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵 02乘乘某某行行或或某某列列、以以数数 k).()(0 kiEkriki矩阵矩阵，得初等，得初等行行乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第以数以数 1111)(kkiE行行第第 i；行行的的第第乘乘相相当当于于以以数数)(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211)(行行第第 i类类似似地地，左左乘乘矩矩阵阵以以AkiEm)( ).( )(kciAkAkiEin 列列的的第第乘乘相相当当于于以以数数，其其结结果果矩矩阵阵右右乘乘以以上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以数数)()(03 k，列列上上列列加加到

38、到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(kkijE行行第第i行行第第j，左左乘乘矩矩阵阵以以AkijEm)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211)().(jikrrikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第把把 ).()(ijnkccjkiAAkijE 列上列上加到第加到第列乘列乘的第的第把把，其结果相当于，其结果相当于右乘矩阵右乘矩阵类似地，以类似地，以 mnmjmjmimnjjinjjinaakaaaaakaaaaakaaakij

39、AE1222221111111)( 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵 ),(),(1；则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换. )()()(

40、1kijEkijErkrkrrjiji 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换 定理定理2 设设A为可逆方阵，那么存在有限个初为可逆方阵，那么存在有限个初等方阵等方阵.,2121llPPPAPPP 使使证证 , EA使使即存在有限个初等方阵即存在有限个初等方阵,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即即.,: BPAQQnPmBAnm 使使阶阶可可逆逆方方阵阵及及阶阶可可逆逆方方阵阵存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵推推论论,AE 经经有有限限次次初初等等变变换换可可变变故故利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：，有有时时，由由当当lPPPAA21

41、0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22

42、 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换例例.341352,343122321 , BABAXX，其其中中使使求求矩矩阵阵解解.1BAXA 可可逆逆，则则若若 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325r

43、r ， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr .1 CAY即即可可得得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA , 1作作初初等等列列变变换换，则则可可对对矩矩阵阵如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列变换列变换),)( ,(),1TTTTCAECA （列变换列变换TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得. ,1000110011102222A1, njiijAAn式之和式之和中所有元素的代数余子中所有元素的代数余子求求方阵方阵已知已知解解例例

44、3 3, 02 A.可逆可逆A.1* AAA且且 10001000010011000010111000012222EA 100010001100010001100010001210001,100011000110001211 A,21* AA njiijA1,故故. 1)1()1(21 2 nn1. 1. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. .一次初等变换一次初等变换2. 利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是: ;1 EAEA或或构造矩阵构造矩阵 .,(,211 AEEAEAAEEAEA对应部分即为对应部分即为后后划为单位阵划为单位阵将将变换变换施行初等列施行初等列或对或对对

45、应部分即为对应部分即为右边右边后后化为单位矩阵化为单位矩阵将将施行初等行变换施行初等行变换对对.010102001的的乘乘积积表表示示成成有有限限个个初初等等方方阵阵将将矩矩阵阵 A解解可以看成是由可以看成是由3阶单位矩阵阶单位矩阵 经经4次初等变换次初等变换,AE 3331321,1,2,crccrr 而得而得. 而这而这4次初等变换所对应的初等方阵为次初等变换所对应的初等方阵为:,0101000011 P,1020100012 P,1000100013 P.1000100014 P由初等方阵的性质得由初等方阵的性质得4213PEPPPA .4213PPPP 扬州大学数学科学学院);(),(

46、ccrrjiji记记作作列列对对调调矩矩阵阵的的两两行行);(,)(0 kckrkii 记记作作中中的的所所有有元元素素列列乘乘某某一一行行以以数数).(,)()( ckcrkrkjiji 记记作作对对应应的的元元素素上上去去列列倍倍加加到到另另一一行行所所有有元元素素的的列列把把某某一一行行换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换初等变换 逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换同一类型的初等变换)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrjiji )()(ckcrkrjiji

47、 .,BABABA记记作作等等价价与与称称矩矩阵阵就就矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成如如果果矩矩阵阵反身性反身性传送性传送性对称性对称性; AA;,ABBA则则若若.,CACBBA则则若若三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵为初等矩阵E).(:,)(),(rrjiAAaAjiEmjiijnmm 行行对对调调行行与与第第的的第第把把施施行行第第一一种种初初等等行行变变换换当当于于对对矩矩阵阵相相左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用换法变换：对调两行列，得初等换法变换：对调两

48、行列，得初等矩阵矩阵).(:,),(,ccjiAAAjiEnjin列列对对调调列列与与第第第第的的把把施施行行第第一一种种初初等等列列变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵用用类类似似地地),(jiE倍法变换：以数非零乘某行倍法变换：以数非零乘某行列，得初等矩阵列，得初等矩阵);(,)(kriAkAkiEim 行行第第的的乘乘相相当当于于以以数数左左乘乘矩矩阵阵以以).(,)(kciAkAkiEin 列列第第的的乘乘相相当当于于以以数数右右乘乘矩矩阵阵以以k)( kiE消法变换：以数乘某行列加到另消法变换：以数乘某行列加到另一行列上去，得初等矩阵一行列上去，得初等

49、矩阵);(,)(rkrikjAAkijEjim 行行上上加加到到第第以以行行乘乘的的第第相相当当于于把把左左乘乘矩矩阵阵以以).(,)(ckcjkiAAkijEijn 列列上上加加到到第第以以列列乘乘的的第第相相当当于于把把右右乘乘矩矩阵阵以以k)(kijE经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为为0 0；每个台阶只需一行，台阶数即是非零行的；每个台阶只需一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线每段竖线的长度为一行行数，阶梯线的竖线每段竖线的长度为一行后面的第一个元素为非

50、零元，也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元一个非零元例如例如 00000310000111041211经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为个非零元为1 1，且这些非零元所在列的其它元素都，且这些非零元所在列的其它元素都为为0 0例如例如 00000310003011040101对行阶梯形矩阵再进展初等列变换，可得到对行阶梯形矩阵再进展初等列变换，可得到矩阵的规范形，其特点是：左上角是一个单位矩矩阵的规范形，其特点是：左上角是一个单

51、位矩阵，其他元素都为阵，其他元素都为0 0例如例如 00000310003011040101ccccccccc214433215334 00000001000001000001.,),(,数数梯形矩阵中非零行的行梯形矩阵中非零行的行就是行阶就是行阶其中其中三个数完全确定三个数完全确定此标准形由此标准形由化为标准形化为标准形换和列变换换和列变换行变行变总可以经过初等变换总可以经过初等变换矩阵矩阵任何一个任何一个rrnmOOOErFnmnm 一切与一切与A A等价的矩阵组成的一个集合，称为一等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，规范形是这个等价类中外形最简单的个等价类，规范形是这个等价类中外形

52、最简单的矩阵矩阵F定义定义., 2阶阶子子式式的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式的的位位置置次次序序而而得得到到的的中中所所处处不不改改变变它它们们在在个个元元素素行行列列交交叉叉处处的的位位于于这这些些列列行行和和任任取取中中矩矩阵阵在在kAkAkkkAnm 定义定义. 0).(, 0)(1,0 并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩等等于于记记作作的的秩秩称称为为矩矩阵阵数数的的最最高高阶阶非非零零子子式式称称为为矩矩阵阵那那么么全全等等于于如如果果存存在在的的话话阶阶子子式式且且所所有有阶阶子子式式的的中中有有一一个个不不等等于于设设在在矩矩阵阵ARArADrDrA ;)(,1rARrA 则

53、则阶子式都为零阶子式都为零中所有中所有如果如果);()(ARART 定理定理);()(,BRARBA 则则若若行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数;)(,rARrA 则则阶阶子子式式中中有有一一个个非非零零的的如如果果. )4(; )3(;)( )2(; )1(EAEAnARAA的的标标准准形形为为单单位位矩矩阵阵的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为 则则阶可逆矩阵阶可逆矩阵为为若若,nA定理定理定理定理.)(0 nARxAnnm 阵阵的的秩秩充充分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩有有非非零零解解的的元元齐齐次次线线性性方方程程组组.),( 的的秩秩的的秩秩等等于

54、于增增广广矩矩阵阵分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩阵阵有有解解的的充充元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组bABAbxAnnm 齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判别能否有解，假设有形矩阵，根据有解判别定理判别能否有解，假设有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解通解定理定理.,;, 阶阶初初等等矩矩阵阵相相应应的的的的右右边边乘乘以以相相当当于于在在施施行行一一次次初初等

55、等列列变变换换对对阶阶初初等等矩矩阵阵左左边边乘乘以以相相应应的的相相当当于于在在变变换换施施行行一一次次初初等等行行对对矩矩阵阵是是一一个个设设nAAmAAnmA 定理定理., 2121PPPAPPPAll 使使则则存存在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵为为可可逆逆矩矩阵阵设设推论推论.,: BPAQQnPmBAnm 使使得得阶阶可可逆逆矩矩阵阵及及阶阶可可逆逆矩矩阵阵存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩二、求解线性方程组二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法求矩阵的秩有以下

56、根本方法求矩阵的秩有以下根本方法计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开场，找到不等于零的子式中阶数最大的一子式开场，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，那么这个子式的阶数就是矩阵的秩个子式，那么这个子式的阶数就是矩阵的秩用初等变换即用矩阵的初等行或用初等变换即用矩阵的初等行或列变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶列变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行或列的个数，而梯形矩阵的秩就是其非零行或列的个数，而初等变换不改动矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩初等变换不改动矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行或列的个数就是原矩阵的秩阵中非零行或列

57、的个数就是原矩阵的秩第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法那么较为简单适用算量很大，第二种方法那么较为简单适用例求以下矩阵的秩例求以下矩阵的秩.34147191166311110426010021 A解对解对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵A 34147191166311110426010021A 3514721015639010426010021,00000000005213010021B . 2)()(, BRAR因因此此留意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可留意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但

58、普通多用初等行变换把矩阵化成以同时兼用，但普通多用初等行变换把矩阵化成阶梯形阶梯形当方程的个数与未知数的个数不一样时，一当方程的个数与未知数的个数不一样时，一般用初等行变换求方程的解般用初等行变换求方程的解当方程的个数与未知数的个数一样时，求线当方程的个数与未知数的个数一样时，求线性方程组的解，普通都有两种方法：初等行变换性方程组的解，普通都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法那么法和克莱姆法那么例求非齐次线性方程组的通解例求非齐次线性方程组的通解)1(. 2255, 1222, 132, 123, 1323214321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解对方程组的

59、增广矩阵解对方程组的增广矩阵 进展初等行变换，使进展初等行变换，使其成为行最简单形其成为行最简单形B 2025511222111321112311321B 000002035411132202552045331323425rrrrrrrr 00000001011113220255002022124rrrr 00000000001113202011001012213214rrrrr 00000000001560002110001011221332rrrrr 00000000006165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr.,16567650616161 )1(

60、,43214取取任任意意常常数数的的通通解解是是可可得得方方程程组组令令自自由由未未知知量量kkxxxxxkx 由此可知，而方程组由此可知，而方程组(1)中未知中未知量的个数是，故有一个自在未知量量的个数是，故有一个自在未知量.3)()( BRAR4 n . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解a解法一系数矩阵的行列式为解法一系数矩阵的行列式为AaaA32311121211111 3050212010101111 a