无穷级数复习课

1、 常数项级数 函数项级数及 幂级数傅立叶级数绝对收敛级数任意项级数：利用正项别法（两个条件）交错级数：莱布尼兹判法比值判别法、根值判别比较判别法、正项级数：充要条件、收敛判别法具有相同的敛散性与收敛，收敛加括号性性有限项改变不影响敛散必要条件：性质对收敛、条件收敛任意项级数、收敛、绝数、交错级数级数、部分和、正项级定义)0(,0limcacababaunnnnnnnn常数项级数 正项级数 交错级数任意项级数一般项级数常数项级数敛散性判别法正项级数敛散性判别法正项级数收敛的充要条件比较判别法达朗贝尔比值判别法柯西根值判别法收敛 1nnul正项级数收敛的充要条件正项级数Sn 有界.它的部分和数列l

2、 正项级数敛散性的比较判别法且 0 un vn ( n = 1, 2, ) , 11nnnnvu 与设有正项级数 . , (1)11收敛则收敛若nnnnuv . , (2)11发散则发散若nnnnvu大收小收, 小发大发.比较判别法的极限形式;, 2 , 1( 0 ,nvn且设和为两个正项级数 ,lim ). 0则若开始或从某一项nnnvuN . , 0 ) 1 (11具有相同的敛散性与时nnnnvu. , 0 )2(11收敛收敛时nnnnuv. , )3(11发散发散时nnnnuvl达朗贝尔比值判别法 , lim , 11则存在极限为正项级数设nnnnnuuu(1) 1 ( 包括 = ) 时

3、, 级数发散；(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.l 柯西根值判别法 , lim , 1则存在极限为正项级数设nnnnnuu(1) 1 ( 包括 = )时, 级数发散；(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.等比级数) 0( 11aarnn调和级数1 .1312111nnnP 级数11npn( p 0 )(莱布尼兹判别法)11) 1(nnnu满足条件:(1) (2) un un+1 ( n =1, 2, ) 则交错级数收敛, 且其和 S 的值小于 u1 .0limnnu(级数收敛的必要条件) 若交错级数(单调减少) 级数的绝对收敛和条件收敛 . , | 11必收敛则级数收敛

4、若nnnnuu(1) 1 (包括 = ) 时, 级数发散.(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.(达朗贝尔判别法)则存在若设有级数 , |lim , 11nnnnnuuu(柯西判别法) |limnnnu和函数、收敛半径函数项级数、收敛域、定义性、可积性和函数：连续性、可微除四则运算幂级数：加、减、乘、性质展开条件、步骤、方法唯一性定义泰勒级数幂级数的敛散性阿贝尔定理,0 000）处收敛（在若幂级数xxxxannn. , | | 0幂级数绝对收敛值的则对任何满足xxx 则对任处发散在若幂级数 , 00 xxxannn. , | | 0幂级数均发散值的任何满足xxx 幂级数敛散性定理,

5、0nnnxa对任何一个幂级数都存在一个非负使数 ),0( RR ; , ) ( | 幂级数发散时此时当RRx; , | 幂级数绝对收敛）时（包括当RRx. | 也可能发散 幂级数可能收敛, 时,当Rx 求收敛半径的定理). ), 2 , 1 , 0( 0 ( 0naxannnn设有幂级数.1 ),|lim(|lim 1Raaannnnnn则其收敛半径为或若. 0 , ; , 0 ,RR取时取时其中 幂级数的运算 幂级数的四则运算 幂级数的解析运算幂级数的运算幂级数的四则运算设有两个幂级数)(22100 xfxaxaxaaxannnnn) ,(11RRx)(22100 xgxbxbxbbxbnn

6、nnn) ,(22RRx, 0 , ,21为收敛半径式中RR则有以下运算规则1. 加、减法, ,min 21RRR 取中则在 ) ,( RR000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa2. 乘 法 ( 对角线法 ), ,min 21RRR 取中则在 ) ,( RR00nnnnnnxbxa0011110)(nnnnnnxbabababa0nnnxc0a0a0a0a1a1a1a1a2a2a2a2a3a3a3a3a0b0b0b0b1b1b1b1b2b2b2b2b3b3b3b3b0c1c2c3c1幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的) ,()(0RRCxfxannn3幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性

7、 dd)(00 0 0 nxnnxnnnttatta2幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性 . )(dddd00nnnnnnxaxxax定理 , )U( )( 0内具有任意阶导数在设xxf内处的泰勒级数在在点则 )U( )( 00 xxxf的充要条件是收敛于 )( xf0)(limxRnn )( )( ,0处泰勒公式的拉在为其中xxfxRn. 格朗日余项函数展开为幂级数推 论, 0 ), 2, 1, (0, | )(| )U( )(0为常数内若在MMxfxn )U( )( 0内可展开为泰勒级数在则xxf. )U( ,)(! )()(0000)(xxxxnxfxfnnn)U( ,)()( 000

8、xxxxaxfnnn . ), 2, 1, 0( ! )( 0)(nnxfann则定理即点处可展开成幂级数，在若0)(xxf函数展开为幂级数直接展开法间接展开法),(,),(),()()1()(xfxfxfxfn 的各阶导数求出的幂级数：展开成将函数xxf)(),0(,),0(),0()(nfff 并求出写出幂级数)2( nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0()(2并求出收敛半径考察)3(1)1()!1()(lim)(limnnnnnxnfxR是否为零。)0(之间与在x从一些已知函数的泰勒展开式出发, 利用幂级数的四则运算和解析运算性质, 以及进行适当的变量代换来求出另外一些函数的

9、泰勒公式的方法, 称为间接展开法. . ) ,( , ! 0 xnxennx) ,( ! ) 12() 1(sin012xnxxnnn) ,( ! )2() 1(cos02xnxxnnnnnnxxxxx21111 ) 1 , 1(x、傅立叶级数正交序列、傅立叶系数定义：狄利克雷定理收敛定理：0:,lllll，定义在奇延拓与偶延拓周期延拓：定义在非周期函数上展开在上展开在周期函数傅氏展开 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数: 且假定三角级数可逐项积分 则 dxxfa)(10 nxdxxfancos)(1(n 12) nxdxxfbnsin)(1(n 12) )sincos(2)(

10、10nxbnxaaxfnnn周期函数的傅立叶级数周期函数的傅立叶级数傅里叶系数傅里叶系数傅立叶级数收敛的充分条件傅立叶级数收敛的充分条件一类间断点；）连续或只有有限个第（ 1的傅立叶级数收敛于则)(),(xfx在一个周期为周期的函数，若是以设)(2)(xfxf内满足狄利克雷条件：，）至多有有限个极值点（ 2。)0()0(21xfxf 如果f(x)为奇函数那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数 1sinnnnxb 如果f(x)为偶函数那么它的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数 nxaanncos210 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数 llndxlxnxflbsin)(1(n1 2 )

11、其中 llndxlxnxflacos)(1(n0 1 2 ) 设周期为2l的周期函数f(x)满足狄利克雷定理的条件则它的傅里叶级数展开式为v定理定理 )sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 一般周期函数的傅立叶级数一般周期函数的傅立叶级数周期延拓周期延拓 延拓前 yf(x)延拓后 yF(x)非周期函数的傅立叶级数奇延拓与偶延拓奇延拓与偶延拓奇延拓偶延拓120), 2 , 1( , 0.1nnnana），（收敛，常数且设.)tan()1(1nnnann则级数有关敛散性与发散条件收敛绝对收敛.DCBA,32)12()1(,011 , 0(arctan)(.2202nnnxxxxxf且已知设10.)(dxxf试求22.2)1(1.3nnn的和求级数)(21) 1() 1 (41处处收敛，则此级数在在若xxxannn收敛性不能确定发散绝对收敛条件收敛.DCBA.75