三重积分的计算方法与例题

1、三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看：Z2如果先做定积分f(x,y,z)dz，再做二重积分F(x,y)d，就是“投弓D影法”也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完Z2成“后二”这一步。f(x,y,z)dvf(x,y,z)dzdD召C2如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分F(z)dz，就是“截面Dzq法”也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面z°与zc2之间，即z

2、C1,C2，过z作平行于xoy面的平面截，截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分f(x,y,z)d，完成DzC2了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分F(z)dz，完成“后ClC2一”这一步。f(x,y,z)dvf(x,y,z)ddzCiDz当被积函数f(z)仅为z的函数(与x,y无关)，且Dz的面积容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)(1)D是X型或丫型，可选择直角坐标系计算(当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)(2) D是圆域

3、(或其部分)，且被积函数形如f(x2y2),fd)时,x可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)(3) 是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2y2z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；截面法(先二后一)：Dz是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算S°z。因而中

4、只要za,b,且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2. 对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或Zf(x2y2)时，可考虑用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1:计算三重积分Izdxdydz，其中为平面xyz1与三个坐标面x0,y0,z0围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”0z1xy0003计算11xdx001(1y)2dy2(1x)2y(1x)y22011(160x)3dxA%4124解2“截面法”1.画出。2.0,1过点z作垂直于z轴的平面截得Dz。Dz是两直角边为x,y的直角

5、三角形，x1z,y1z3计算zdxdydz补例2:计算z(xy)dz22(10解1“投影法”ydv，其中是x21.画出及在xoy面投影域D.1zdxdydzzdxdydz0Dz1zSddzz0z)(1z)dz11(z2z220z3)dz24z2和z=1围成的闭区域。2y2消去z，y21即D:y212.“穿线”x2y21,X型D:.22.1xy.1x2，2Jxy1x22'xyz13计算x2y2dv1xdxdy-,;1x22px2Txy1*'x2y2dzdxx2y2(1x2y2)dy16注：可用柱坐标计算。解2“截面法”2z2ydxdydzd00z轴的平面截2得Dz:xz2ydv补

6、例3:化二重积分Izr2drdz023r30dzi0z3dz6f(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中zx22y2及z2x2所围成的闭区域解：1.画出及在xoy面上的投影域D.z2x2y2由z22x消去z，得x2y21即D:2xy212“穿线”x22y2z2x21x1X型D:.,C2；.2.1xy.1x1 x1I12；2-:.1x2y.1x222x2yz2x3计算I3计算I1j1x22x2f(x,y,z)dxdydzdxdyf(x,y,z)dz1x22y2注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算补例4:计算zdv,其中为z补例4:计算zdv,其中为z6x2y2及zx2y2所围成

7、的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域用柱坐标计算2.解“穿线”3.计算zdv6r2rcosrsin化zdzrdrdr的边界曲面方程为:2z=6-r,z=rD:26rrdr0zdzriz0厶262rdr2r(60解2“截面法”2)2dr(36r13r20)dr92。31.画出如图：由zr2及zr围成。2.z0,60,22,6i由z=r与z=2围成；z0,2,Dz:rz2由z=2与z=6r2围成；z2,6，Dz:r、6z022:0r.6z2z6263.计算zdv=zdvzdvzrdrddzzrdrddz120Dz12Dz226226zSd0z1dzzSd2z2dzz0(z2)dzzC、6z)2dz2z3dz06（6z2)dz923注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。补例5:计算（x2y2）dv，其中由不等式0ax2y2z2确定。X解：用球坐标计算。由yzcossinsinsin得的边界曲面的球坐标方程:cos爪PA，连结OP=，其与z轴正向的夹角为P在xoy面的投影为P夹角为,OP=。连结OP，其与x轴正向的(x22)dvd0Az2.2(sina2sind23sin0155Ad(A5253a)sind0a5)11415(A5a5)三重积分的计算方法