实验三 圆周率的近似计算

1、实验三圆周率的近似计算实验三圆周率的近似计算 实验目的：通过对割圆术、韦达公式、级数加实验目的：通过对割圆术、韦达公式、级数加速法、拉马努金公式、迭代法等计算方法的介绍和速法、拉马努金公式、迭代法等计算方法的介绍和计算实验，提高学生对极限和级数收敛性及收敛速计算实验，提高学生对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识。度的综合认识。一、数值积分法2. 2. 梯形公式梯形公式3. 3. 辛普森（辛普森（Simpson）公式）公式 1102)()()(ninixfxfxfnabS 111010)2(4)(2)()(6niniiiinxxfxfxfxfnabS左矩形公式左矩形公式右矩形公式右矩形公式中矩

2、形公式中矩形公式1. 1. 矩形公式矩形公式 10)(niixfnabS niixfnabS1)( 101)2(niiixxfnabS二、蒙特卡罗算法（Monte Carlo）三、割圆术2262226226264221121nnnnaaaa nnnaaSnn2626126234261 nnnSSSS 222其他数学家的工作其他数学家的工作:四、韦达公式四、韦达公式222222222222222 推导过程：推导过程： 8sin8cos4cos2cos84sin4cos2cos42sin2cos2sintttttttttt NnnNNttt12cos2sin2sin NnnNNttttt12cos

3、2sin2sin那么那么 12cossinnnttt)1(2cos16cos8cos4cos211 nn 224cos 2222122214cos8cos 222221222218cos16cos 由归纳法由归纳法)2(222222cos1 n （ 重根号）重根号）n由公式由公式(1)(1)和和(2)(2)可得韦达公式可得韦达公式22222222222222222222cos2111 nnn 思考思考能否利用韦达公式构造一种迭代算法？能否利用韦达公式构造一种迭代算法？五、利用级数计算1. 1. 莱布尼兹级数莱布尼兹级数(1674(1674年发现年发现) ) 012)1(kkk4 121121)

4、1(715131141 nnrnn 2. 2. 欧拉的两个级数欧拉的两个级数(1748(1748年发现年发现) ) 12216kk 022)12(18kk 莱布尼兹级数和欧拉的这两个级数的收敛速莱布尼兹级数和欧拉的这两个级数的收敛速度较慢。度较慢。下面给出加速算法。下面给出加速算法。由泰勒级数由泰勒级数 01212)1(arctankkkkxx 012)1(kkk4 即为莱布尼兹级数即为莱布尼兹级数51tan x51arctan 12512tan1tan22tan22 xx 令令1119120125112522tan12tan24tan22 2391119120111191204tan114t

5、antan 故故 012012239112)1(45112)1(162391arctan51arctan16416kkkkkkkk Machin公式公式由此原理，可以得到由此原理，可以得到2391arctan20571arctan32181arctan48 高斯公式高斯公式斯托梅尔公式斯托梅尔公式2391arctan4571arctan881arctan24 类似公式类似公式)117(cot16503cot)6(cot54111 )268(cot3599cot)8(cot64111 379cot2)7(cot5411 )307(cot8)99(cot5)70(cot3)18(cot124111

6、1 )1393(cot2543452761cot2)10(cot84111 3583371498882cot)515(cot100cot)10(cot841111 )515(cot4239cot)10(cot84111 )307(cot8)239(cot399cot8)18(cot1241111 nnnnn404396263901103) !()!4(980122 1六、拉马努金(Ramanjan)公式改进的计算公式改进的计算公式Chudnovskynnnnnnn3032364032054514013413591409)!3() !()!6()1(64032012 1该级数每增加一项，大约可以

7、提高该级数每增加一项，大约可以提高1414位小数位小数的精度。的精度。 1999年年9月，日本东京大学教授金田康正和其月，日本东京大学教授金田康正和其助手用时助手用时37小时小时21分，计算出了分，计算出了 的的2061.5843亿亿位小数，检验用时位小数，检验用时46小时小时7分钟。分钟。 七、迭代方法七、迭代方法)1(2)1(246111122121404410nnnnnnnnnnnnyyyayaazzyyzy 迭代误差有估计式迭代误差有估计式neann421641 201123025512212111111555( 52) , (2) , ()(7)3725 , 1/ 2(12/ 2)5

8、5(25)2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnycdyyedcdcyaydeeyayayyy 迭代误差有估计式迭代误差有估计式neann51651 练习题练习题1.1.利用勾股定理证明割圆术一节中公式利用勾股定理证明割圆术一节中公式nnnnSSSSaSaannnn 222626226262 )3(23 )2(42 )1(112.2.使用欧拉公式使用欧拉公式 12216kk 022)12(18kk 计算出的前计算出的前3030位小数位小数 和和3.3.使用高斯公式使用高斯公式计算出的前计算出的前5050位小数位小数 和斯托梅尔公式和斯托梅尔公式2391arctan20571arctan

9、32181arctan48 2391arctan4571arctan881arctan24 4.4.使用公式使用公式nnnnnnn3032364032054514013413591409)!3() !()!6()1(64032012 1的前的前 项计算的值对项计算的值对 分别列出计分别列出计算误差算误差 计算时设计算时设$MaxPrecisiion=10000.n 10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 n5.5.利用利用Bailey迭代公式迭代公式 20113025512212111111555( 52) , (2) , (1)(7)23725 , 1/ 2(12/ 2)55(25)2nnnnn