高中数学数学必修5《等比数列的前n项和公式》教学设计

1、等比数列的前n项和教学设计（第一课时）普通高中课程标准实验教科书数学必修5一、教学目标1知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，掌握等比数列前n项和公式及应用。这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课程标准的要求2能力目标：培养学生观察问题、思考问题能力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力，提高学生运算求解、数据处理的能力。3情感目标：通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和

2、数学的严谨美。二、教学重点、难点分析教学重点：等比数列前项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看，为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。教学难点：等比数列前项和公式推导方法的理解。从学生认知发展水平看，探究能力和用数学语言交流的能力有待提高。从知识特点看，等比数列前n项和公式的推导与等差数列的前n项和公式的推导的可比性低，无法进行类比推导，需要充分理解等比数列的概念和性质，并能整合知识，做到融会贯通，而这对学生却是比较困难的，何况错位相减法是初次接触，对学生来说是很新鲜的，因此，

3、教师在发挥学生主体性前提下要给予适当的提示和指导。三、教学方法数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，为了体现学生的主动地位，遵循学生的认知规律，教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、公式应用阶段。探索与发现公式推导的方法是本节课的教学难点。如果直接介绍“错位相减法”求和，对于学生无疑就魔术师手中的魔术一般神奇。所以在教学中采用“启发探究”的教学模式以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得推导公式的方法。公式应用是教学的一个重点。为了让学生较熟练掌握公式，可采用变式设计题组的教学手段，通过“选择公式”，“变式的应用公式”两个层次

4、来促进学生新的认知结构的形成。 根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可以利用计算机多媒体和实物投影等辅助教学。四、教学过程教学环节教 学 过 程设计意图教 学 内 容教师学生活动问题情境，引入课题一名高中学生想到私人工厂打暑期工,老板说“你是一名高中生，那我给你一个工资方案：我每天付你10000元薪水。但从工作的第一天开始，第一天你必须给我创造1分钱的财富，第二天创造2分钱的财富，第三天创造4分钱的财富，依此类推，每天创造的财富为前一天的2倍。你愿意为我工作1个月（30天）吗？”学生听了老板的方案后显得很高兴，感觉很划算，但又一想天底下有这么好的事吗？假如你

5、是这名学生你会答应老板的方案吗？ 运用多媒体课件，动画等展示故事情境，展示结束后引导、启发学生分析、思考问题通过故事，感受身边的数学问题，产生解决问题的兴趣并通过自己掌握的知识和经验，建立起两个数列的数学模型学生每天得到的工资为数列an是一个每一项为10000的常数列。学生每天创造的资金为数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列。以学生身边的事情编拟情景，引起学生的极大兴趣，但这“诱人”的条件到底有没有陷井引起学生的思考，学生很自然的参与了情境中的角色，这样可以极大地带动学生的积极性。知识回顾解决问题的问题背景:（1）等比数列的定义（2）等比数列的通项公式（3）数列前项和、的递推公式（4）等差

6、数列前n项和公式的推导过程运用多媒体将问题展现给学生并给于提示，找学生的回答并点评。 回答上面的问题：（1）， 即，（2）（3）：（4）； 两个等式相加得即。思想：消去差异，化繁为简，即“多少”。（1）等比数列中的每一项乘以公比q，就得到与之相邻的后面一项。如果数列中的所有各项都同时乘以q， 每项就向后移了一位。（2）等比数列中每一项都可以用首项和公比表示。（3）这个等量关系式中已经出现了我们要求的未知元Sn，让学生从中得到启发。（4）通过等差数列的求和思想，帮助学生探索等比数列的求和思想。探究问题方案1：观察类比猜想可得S1=1S2=1+2=3S3=1+2+22=7S4=1+2+22+23=

7、15 依此类推，S30=2301方案2：提取公比2，解方程求S30 方案3：bn1，2，22，23，··· 229，2bn2，22，23，···，229， 230，S30=1+2+22+23+2292S30= 2+22+23+24+230S30-2S30=1-230让学生自己探究bn 1，2···229，的求和方法并对学生引导、启发。然后对学生的方案分析、解读。学生通过观察、尝试、讨论、探究并结合知识的回顾拿出3个方案。方案1：部分学生试图找规律，归纳的结果结果，但不严谨，不会证明。方案2：基础较好的学生

8、在师生相互交流中思维逐步展开，结合等比数列的定义、的递推公式推导出来。方案3：课前预习的学生仿照教材上的方法进行类比得到,但并不知其所以然。方案3是学生比较难想到的也是本节课的重点。在推倒中学生主要存在两点疑问：（1）为什么等比数列每一项都乘以公比？（2）为什么两个和式做差？分析:疑问(1)由等比数列的定义，在bn 1，2，22，23，···，229，的每一项乘以公比2，就变成了后一项，所以我们可以建立一个新的数列2bn2，22，23，···，229， 230，会发现2bn和bn的项发生了一个错位，那么bn这的和S30=1+2+22+

9、23+229和2bn的和2S30= 2+22+23+24+230的项也行成错位，所以乘以2就为了形成错位.疑问(2)由等差数列前项和公式的推导思想消去差异化繁为简，所以上边两式只能做差才能消去中间差异. 得到-S30为两项的差.解答两个疑问,难点突破，强调形成错位、两式作差是关键，就把这种方法叫错位相减法。通过引言实例的探究解决，使学生感受数学的应用价值，同时也为下面的学习作好铺垫，在特殊具体的问题情境中蕴涵着一般的规律和方法，激励学生模仿创新，作好认知准备。归纳类比,推导公式一般化，等比数列前n项和怎么求错位相减法： 于是（1q）Sn=当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na1。让学生类比以

10、上做法推导等比数列前项和Sn在教师指导下，从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，自己探究公式,基本能用错位相减法推导出结果，但不完善，在此设置两个探讨. 1、由能否直接得到?2、结合等比数列的通项公式an=a1qn-1, 如何把sn用a1、an、q表示出来？在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生探究公式，体验学习的成就感学生很容易在公式整理的时候忽视了1-q为0的情况,在这里引导学生对q进行分类讨论，培养了学生的分类思想情景解答(分) 1073(万元)万元远大于30万元有助于学生积极思考并从中从中体会数学在实际生活中的广泛应用把引入课题时的悬念给予解释，从计算结果中

11、让学生明确实际问题的解决离不开数学，在市场经济中必须有敏锐的数学头脑应用公式，深化理解例1已知是等比数列，请完成下表：题号nSn(1)8(2)28(3)-2-96-63变式：例2、求数列的前n项和。适时适当点拨提示，引导学生分析，启发学生思维，师生合作交流，用变式设计题组，深化学生对公式的认识和理解，并且在不知道公比是否为1的情况下,利用等比数列求和公式求和时一定要对公比进行分类讨论。自主练习，个别学生板书，在老师的指导和启发下，训练自己的思维，强化对知识的应用，感受变式教学对思维的熏陶，达到巩固、灵活运用知识的目的。例1通过表格的形式直观的展现出等比数列求和中出现的五个量,并且通过直接套用公

12、式、变式运用公式、研究公式特点让学生感受到五个量中任意知道三个都可求另外两个.例2解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想 总结归纳1、等比数列前n项和公式及推导方法：“错位相减法”2、等比数列前n项和公式的应用：（1）q的取值是利用公式的前提；（2) 要根据题意，适当选择公式。提问，师生相互交流，帮助学生整合所学知识。回忆总结所学知识，加深印象。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。课后作业，分层练习必做题：1在等比数列an中，Sn=k()n，则实数k

13、的值为（ ）（A） （B）1（C） （D）任意实数3等比数列an的公比q=，a8=1，求它的前8项和S8。思考题：求以练习纸的方式呈现给学生，让他们课后独立,认真的完成。必做题: 加深学生对公式的理解思考题:注意分层教学，为学有余力的学生提供思考的空间五、板书设计 等比数列前n项和 Sn=a1+a2+an1+an=？的推导 例1： 例2：投 1.学生方案影 方案1: 屏 方案2: 幕 方案3: 变式练习: 小结: 2.等比数列求和公式 六、教学反思教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享

14、学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发，借助于变式教学的模式，培养学生思维的发散性，加深学生对知识的理解。巩固练习层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练习，强化对公式的理解和运用。通过例题的板书和分析，进一步强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系，加强对数学思想方法的感悟。等比数列的前n项和教学设计说明1情境设置生活化.本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，

15、本节课以学生身边的事情编拟情景引入课题，引起学生的兴趣，通过这“诱人”的条件让学生想到会不会有陷井而引起学生的思考，学生很自然的参与了情境中的角色，这样可以营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲，让学生感受数学的应用价值，通过问题的解决，在特殊方法之中蕴涵一般规律，使学生自己去体会其中的思想方法，为进一步学习奠定基石。2问题探究活动化如何更好地引导学生自主探究并获得结论是我们以往经常忽视的地方，所以本节课深挖等比数列求和的知识背景，从等比数列的定义、等比数列的通项公式、数列前项和、的递推公式、等差数列前n项和公式的推导过程几个方面引导学生进行思考，使学生自主的思考，为探究公式打下基础。通过

16、学生独立思考、讨论交流，获得了推导公式的三种方法。在三种方法中跟学生主要分析并研究了第三种方案“错位相减法”，从学生存在两点疑问“为什么等比数列每一项都乘以公比？”“为什么两个和式做差？”进行展开。教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力。在由特殊到一般推倒等比数列的前n项和时我设置了两个探究：1、由能否直接得到？2、结合等比数列的通项公式an=a1qn-1, 如何把sn用a1、an、q表示出来？这样可以培养学生的分类思想和思维的严谨性。3巩固提高梯度化在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练习，强化对公式的理解和运用。例1首先直观的展现出等比数列求和中出现的五个量,并且通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点让学生感受到五个量中任意知