工程流体力学第4章旋涡理论和势流理论

1、教学内容教学内容第第0 0章章 绪论绪论第1章 流体的主要物理性质第2章 流体静力学第3章 流体流动的基本方程第4章 旋涡理论和势流理论第5章 相似理论与量纲分析第6章 粘性流体管内流动第7章 粘性流体绕物体的流动第4章 旋涡理论和势流理论4.1 流体微团的运动分析流体微团的运动： 平动+旋转+变形（线变形，角变形）亥姆霍兹速度分解定理4.1.1 线变形速度三维流体微团( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z txxyyzxuxuyuz 单位长度在单位时间内长度的改变量 第4章 旋涡理论和势流理论4.1.2 剪变形角速

2、度流体微团中某一直角的减小速度的一半 1()21()21()2yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy下标剪切变形作用面法线方向4.1.3 平均旋转角速度流体微团中过同一点若干条直线旋转的平均值 第4章 旋涡理论和势流理论1()21()21()2yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy三维空间中流体微团在yz面、 xz面、xy面内某一直角平分线在单位时间内转过的角度。矢量式：1122xyzxyzuuu ijku 线变形速度、剪变形速度、平均旋转角速度为表征流体微团三种运动的特征量。第4章 旋涡理论和势流理论4.2 有旋运动和无旋运动 比较速度场的旋度和平均旋转角速度：111222xyzxy

3、zuuu ijkurot u 流体微团是否旋转无旋运动 =0，即rot u=0有旋运动 0，即rot u0 不能仅从宏观流体流动的特征来判断！ 圆周流动，直线流动无旋即有势！无旋即有势！第4章 旋涡理论和势流理论4.2.1 圆周运动 台风、弯曲水路等，流线为同心圆 1.速度与矢径成正比 台风中心部分速度分布：00 xyuyux 00ruur直角坐标极坐标线变形速度：0,0yxxyuuxy剪变形角速度：0011()()022yxzuuxy第4章 旋涡理论和势流理论平均旋转角速度：00011()()022yxzuuxy=0，=0流体微团形状不变 0 流体运动有旋 2.速度与矢径成反比 诱导速度场

4、台风外围的流场222222xyyuxyxuxy 直角坐标极坐标02ruur第4章 旋涡理论和势流理论线变形速度：222222()()xxyyuxyxxyuxyyxy 剪变形角速度：222221()22()yxzuuyxxyxy平均旋转角速度：1()02yxzuuxy0，0流体微团在运动过程中发生形状改变 =0 流体运动无旋第4章 旋涡理论和势流理论4.2.2 直线运动平行平板间流动，理想流体流动，流线为平行线 1.抛物线形速度分布平行平板间，层流流动2max(2)0 xyuyuyhhu线变形速度：0,0yxxyuuxy剪变形角速度：maxmax12()(2)(1)22yxzuuuuyyxyhh

5、hh第4章 旋涡理论和势流理论平均旋转角速度：max12()2(1)2yxzuuyuxyh 0，0流体微团在做直线运动的同时，有剪切变形，伴随有旋运动。 2.均匀速度分布00 xyuuu线变形速度：剪变形角速度：平均旋转角速度：0 xyz0 xyz0 xyz刚体，运动无旋第4章 旋涡理论和势流理论4.3 理想流体运动微分方程4.3.1 欧拉运动微分方程牛顿第二定律在理想流体中的应用。质量力+表面力=作用于流体上的力，取微元体以x方向上的受力为例：质量力： xfx y z 表面力：px y zx 微元体的质量：mx y z 第4章 旋涡理论和势流理论加速度在x方向上的分量：xxxxxxxyzdu

6、uuuuauuudttxyz对微元体应用牛顿第二定律：mFa在x方向上：xxmaFxxdupx y zfx y zx y zdtx 令,0 xyz ，整理可得：111xxyyzzdupfdtxdupfdtydupfdtz111xxxxxyzxyyyyxyzyzzzzxyzzuuuupuuuftxyzxuuuupuuuftxyzyuuuupuuuftxyzz第4章 旋涡理论和势流理论111xxxxxyzxyyyyxyzyzzzzxyzzuuuupuuuftxyzxuuuupuuuftxyzyuuuupuuuftxyzz理想流体的运动微分方程欧拉运动微分方程质量力表面力惯性力局部变位求解ux，uy

7、，uz，p，需要补充两个方程：连续方程：状态方程：=常数；=f (p)；=f (p,T)0zwyvxut 1dpdtuf 矢量式第4章 旋涡理论和势流理论4.3.2 兰姆运动微分方程将欧拉运动微分方程变形，以x方向为例：222()()()()222xxxxxxyzxyzxyzzyzyyzzyduuuuuxuuuuuudttxyzuuuuuutxuuuxxx同理可得：2()2()2yyxzzxduuuuudtty即：2()2()2xxzyyzduuuuudttx2()2()2zzyxxyduuuuudttz2()22dudttuuu 21()22upt ufu 矢量式：第4章 旋涡理论和势流理论

8、4.4 欧拉积分和伯努利积分 运动微分方程求解困难，在一定条件下可以得到方程的解。前提条件：对不可压缩流体：2()22upUu 0,tu,U f( )f p4.4.1 欧拉积分在无旋流场中的积分， =0 2()02upU矢量式：第4章 旋涡理论和势流理论222()02()02()02upUxupUyupUz 标量式：22upU与空间坐标无关22upU常数欧拉积分方程在重力场中：Uzg 定常流场下的欧拉积分：22puzCgg(流场常数)非定常流场下的欧拉积分：2( )2puzF ttgg第4章 旋涡理论和势流理论4.4.1 伯努利积分沿流线的积分， 曲线坐标S沿流线方向：()0Su 2()0,2

9、upUS可得：22upU在同一条流线上与空间点位置无关则在同一条流线上：22upU常数在重力场中：Uzg 212puzCgg(流线常数)伯努利积分方程第4章 旋涡理论和势流理论4.4.2 两种积分的物理意义及应用欧拉积分方程伯努利积分方程伯努利方程理想流体，定常、无旋流动：单位质量流体的总能量在整个流场中处处相等！有旋流动：单位质量流体的总能量仅沿同一条流线守恒！理想非理想，定常非定常，有旋无旋使用伯努利方程时注意区分：例例4-13第4章 旋涡理论和势流理论例平面流场， ，求此流场在点(1,2)处的线变形速度、剪变形速度以及平均旋转角速度。2222,xyux yyuxy x解 平面流场，uz=

10、0,，线变形速度为：22 1 24xxuxyx 22 1 24yyuxyy 线变形速度为：2211()(2)(2 )22113()(2)(12)(1 22)222yxzuuxyxyxyxy xy第4章 旋涡理论和势流理论平均旋转角速度为：22222211()(2)(2 )22117()()(1 2)(12 )222yxzuuxyxyxyxyxy 例判断下列流场是势流还是涡流。 (1) ux=-2y, uy=3x (2) ux=0, uy=3xy 解(1) ，为有旋流动，涡流11()(32)022yxzuuxy (2) ，y=0时为无旋流动，势流；y0时为有旋流动，涡流。113()(30)222

11、yxzuuyyxy第4章 旋涡理论和势流理论4.5 旋涡的基本概念自然界中，绝大部分流体的流动为有旋运动。4.5.1 涡线、涡管速度场与旋涡场，存在一一对应关系：速度场（u）速度 u流线流管流量旋涡场（）平均旋转角速度 涡线涡管旋涡强度第4章 旋涡理论和势流理论1.涡线 某一瞬时的涡线是这样的曲线，在该曲线上各点的平均旋转角速度矢量与该曲线相切。涡线的性质：在定常流场中，涡线形状保持不变非定常流场中，涡线形状发生变化同一瞬时的涡线不可能相交涡线的微分方程：xyzdxdydz第4章 旋涡理论和势流理论2.涡管 在旋涡场中通过任一封闭曲线（非涡线）的每一点做涡线，这些涡线所形成的管状表面涡管。截面

12、积趋于无限小的涡管-涡索4.5.2 涡旋强度(涡通量）ndJdAndA截面上在dA法线方向上的分量dA微元涡管的截面积nAJdA第4章 旋涡理论和势流理论4.6 速度环流和斯托克斯定理4.6.1 速度环流（环量） 有旋运动的流体微团的旋转角速度矢量无法测量，涡通量无法直接计算。 速度环流与旋涡周围速度场有关，建立速度环流与涡通量的关系，计算涡通量。 在流场中任取一封闭曲线C，流速沿曲线C的积分即为曲线C上的速度环流，以表示。()xyzCCdu dxu dyu dzul第4章 旋涡理论和势流理论()xyzCCdu dx u dyu dzul 规定，积分沿l逆时针方向绕行为l的正方向。封闭曲线所围

13、曲面的法线正方向与绕行方向符合右手规则。4.6.2 斯托克斯定理 沿任意封闭曲线C的速度环流C等于通过以该曲线为边界的曲面A的旋涡强度J的2倍。2CJ2lnCAu dldA即第4章 旋涡理论和势流理论4.7 旋涡运动的基本定理4.8 二元旋涡的速度分布和压强分布4.9 速度势和流函数（为什么提出这两个新概念？）4.9.1 速度势 流体的无旋运动满足11022xyzxyzuuuijku yxxzyzuuyxuuzxuuyz可得第4章 旋涡理论和势流理论xyzu dxu dyu dz在直角坐标系中有：,xyzuuuxyz 即为速度的势函数速度势，条件是流动无旋！对不可压缩流体，将速度表达式带入连续

14、性方程：2222220 xyz0不可压缩流体流动的速度势满足拉普拉斯方程。满足上式的速度函数，对应一如下定义的函数 ：第4章 旋涡理论和势流理论1.等势面与流线垂直。0dul2.速度势在任何方向上的偏导数等于速度在该方向 上的投影。lul3.速度势与线积分 的关系：BBAAdulBAdul 在势流场中，沿任意封闭曲线的速度环量为零。速度势 的重要性质：第4章 旋涡理论和势流理论4.9.2 流函数 平面流动中（二维流动），由不可压缩流体的连续性方程可得：yxuuxy 满足上式的速度函数，存在一如下定义的函数 ：()yxudxu dy在直角坐标系中有：,xyuuyx 即为流函数，只有平面流才存在流函数！第4章 旋涡理论和势流理论 在平面不可压缩势流场中，势函数和流函数同时存在，有如下对应关系：,xyuuxyyx 势函数和流函数满足柯西-黎曼条件共轭函数对不可压缩流体的平面无旋运动，=0，则：0yxuuxy22220 xy平面势流的流函数也满足拉普拉斯方程。第4章 旋涡理论和势流理论流函数的重要性质：1.流函数的等值线与流线重合。 只有在平面势流运动中上述关系才成立。在三维流动中没有流函数，但流线仍然存在。 因等势线与流线垂直，等势线与流函数等值线在流场中形成一个流网。2.流函数与流量的关系VBAq 任意两点流函数之差，等于通过连接这两点的任意形状