第4章-能带理论

1、第四章 能带理论 Energy Bond Theory 4.0 引言n单电子近似的基本思想n布洛赫定理n金属自由电子的空晶格模型n能带的一般性n电子在外场中的运动n金属、半导体、绝缘体能带的差别一、基本内容二、学习要点熟练掌握以下内容n布洛赫定理及能带的一般性n能带的起因的物理解释，能带的一般特点n固体导电性与能带结构的关系4.1 单电子近似一、复杂性的起源多体问题晶体的总哈密顿量薛定谔方程12121212(, ,)(, ,)aaNNeNNeHER RRr rrR RRr rr4.1 单电子近似二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似4.1 单电子近似二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似4.1

2、 单电子近似二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似问题：绝热近似后，电子体系的哈密顿中含有电子坐标的交叉项，薛定谔方程依然不能求解4.1 单电子近似三、晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似电子在周期势场中运动若可以找到近似的势函数，使得体系的哈密顿量及薛定谔方程为：22( )2jjjeHVm r221212( ) ( ,)( ,)2jjNNjeVEm rr rrr rr分离变量求解，获得N个形式完全相同的薛定谔方程，只须求解一个方程，多电子问题化简为单电子问题4.1 单电子近似三、晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似单电子周期势场示意图4.2 布洛赫（Bloch）定理一、Bloch定理内容rk

3、rrikkeu)()(uk(r): 与晶格平移周期一致的周期函数1 12233123( )()( , , )kklluullll l lrrRRaaa为整数价电子的基本特征： 1. 价电子的局域性 2. 价电子的非局域性 晶体中价电子可用被周期调制的自由电子波函数描述 周期函数反映了电子的局域特性 自由电子波函数反映了电子的非局域特性二、Bloch定理的物理理解4.2 布洛赫（Bloch）定理晶体具有平移周期性|2必然具有同晶体一致的周期性uk(r)必然具有同晶体一致的周期性波函数可以有任意常复数因子二、Bloch定理的物理理解4.2 布洛赫（Bloch）定理布洛赫波示意图三、Bloch定理的

4、严格证明4.2 布洛赫（Bloch）定理( ) ( )()TffRrrR , 0H T 平移算子和哈密顿可以有相同的本证函数，设平移算子的本证函数为：C(R)引进平移算符()()()( )( )iiueeuk r Rk rrRrRrr四、波矢k的物理意义4.2 布洛赫（Bloch）定理单电子波函数和本征值与k有关hk不是电子动量的本征值但波矢的变化表征了电子同其它准粒子相互作用或外场作用的动量变化五、波矢k的取值()( )1,2,3iiNrikkra周期性边界条件：312123123lllNNNkbbb4.3 中心方程与能带利用Bloch定理，可以将Bloch电子的薛定谔方程写为如下形式一、中

5、心方程22()( )( )( )2iVuE umkkkkrrr将周期势函数和布洛赫函数的周期函数部分作傅立叶展开( )( )iiVV euu eG rG rGkGGGrr结合上述结果并令傅立叶系数相等，可以得到2()( )( )2GuV uE umGGG-GkGGkkk中心方程这是一组关于uG的线性齐次方程组，其非零解的条件是系数行列式为零4.3 中心方程与能带一、能带中心方程系数行列式（这个行列式只能中中间写起）为零，可以得到以下结论：每给定一个k值，便可以得到一组Ek, k1E1(k1), En(k1), En(k1), k2E1(k2), E2(k2), En(k2), 能带是周期势函数

6、中运动的Bloch电子的必然属性,4.4 能带的基本性质一、二、4.4 能带的基本性质4.4 能带的基本性质能带的表示方法周期区图示简约区图示EgEg4.4 能带的基本性质能带的表示方法周期区图示每个能带的状态总数由周期性边界条件可以得出每个能带所能填充的能带总数为单胞数目的2倍4.5 能带的空晶格模型物理上理解能带的一种方法金属中的准自由电子（价电子）模型 金属中的自由电子除去与离子实相互碰撞的瞬间外，无相互作用。电子所受到的势能函数为常数。 电子波函数仍然为自由电子波函数 电子受到晶格的散射，当电子的波矢落到布里渊区 边界时，发生Bragg衍射f f = Aeikxr r (x) = |f

7、 f |2Emk)(E22k4.5 能带的空晶格模型f f = Aeikxf f = Ae-ikxf f + = Aeikx+ Ae-ikxr r+ = 4A2cos2(kx)f f = Aeikx- Ae-ikxr r = 4A2sin2(kx)Emk)(E22kEgResulted from r r+Resulted from r r-p/a2p/ap/a2p/a0k (G/2) = (G/2)2时：自由电子波满足Bragg方程，行波不存在，代之于驻波解，形成能带能带结构是晶体的普遍属性能带结构是晶体的普遍属性价电子的基本特征： 1. 价电子的局域性 2. 价电子的非局域性Bloch定理：

8、rkrrikkeu)()(uk(r): 与晶格平移周期 一致的周期函数 晶体中价电子可用被周期调制的晶体中价电子可用被周期调制的自由电子波函数描述自由电子波函数描述 周期函数反映了电子的局域特性周期函数反映了电子的局域特性 自由电子波函数反映了电子的非自由电子波函数反映了电子的非局域特性局域特性 由于电子波函数的空间位相有自由于电子波函数的空间位相有自由电子波函数一项决定，由电子波函数一项决定，Bragg衍射同样发生衍射同样发生 能带必然存在，能带结构是晶体能带必然存在，能带结构是晶体的必然属性的必然属性4.5 能带的空晶格模型4.6能带与原子能级劈裂Solid of N atomsTwo atomsSix atomsnFor the total number N of atoms in a solid (1023 cm3), N energy levels split apart within a width E.Electrons must occupy different energies due to Pauli Exclusion principle.S带、P带、杂化带等说法4.7布洛赫电子在外场中的运动电子群速度与能带形状的关系4.7布洛赫电子在外场中的运动满带不